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27.1 图形的相似 达标训练
一、基础·巩固达标
1.在比例尺为1 40 000
∶
的工程示意图上，于年9 月1 日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心
至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )
A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km
2 如图27.3－4，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，BC=12，则DE 与BC 的比是( )
图27.1－4 图27.1－5
A.1 4∶ B.1 3∶ C.1 2∶ D.2 3∶
3.(1)若
，则
=__________；
(2)若
,则k=__________.
4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1 米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为
5 米，已知小明的身高为1.5 米，则这棵槟榔树的高是__________米.
5.图27.1－6 中，两组图形是否是相似图形?
图27.1－6
6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.
图27.1－7
7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z 的长度和∠α、∠β 的度数.
图27.1－8
二、综合•应用达标
8.矩形相框如图27.1－9 所示，图中两个矩形是否相似?
图27.1－9
9.判断下列各组线段是否成比例?
(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；
(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.
10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8 个相似的小正方形.
图27.1－10
11.在如图27.1－11 所示的相似四边形中，α 比β 大15°，求未知边x、y 的长度和角度α、β 的
大小.
图27.1－11
三、回顾•展望达标
12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们
就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,
就可以称它们为相似图形.
现给出下列4 对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指
出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.
13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，
则称
这个图形是自相似图形.
探究：
(1)如图甲，已知△ABC 中，∠C=90°，你能把△ABC 分割成2 个与它自己相似的小直角
三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原
三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.
我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1 阶分割(如图1)；
把1 阶分割得出的4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2 阶分
割(如图2)，…
依次规则操作下去，n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n 为正整数)，设
此时小三角形的面积为Sn.
①若△DEF 的面积为10 000，当n 为何值时，2<Sn<3?
(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1 时，请写出一个反映Sn －1，Sn，Sn+1之间关系的等式(不必证明)
图乙 图1(1 阶) 图2(2 阶) 图3(3 阶)
参考答案
一、基础·巩固达标
1.在比例尺为1 40 000
∶
的工程示意图上，于年9 月1 日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心
至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )
A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km
思路解析：可设这两地的实际距离为x cm (要注意统一单位)，根据比例尺=
得
54.3 x=1 40 000
∶
∶
，解得：x=2 172 000(cm)=21.75(km).
答案：C
2 如图27.3－4，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，BC=12，则DE 与BC 的比是( )
图27.1－4
A.1 4∶ B.1∶3 C.1 2∶ D.2 3∶
[来源:学+科+网]
思路解析：DE 是△ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一
半.
答案：C
3.(1)若
，则
=__________；
(2)若
,则k=__________.
思路解析：连等式时，可用比例系数(即公比)的办法解决.
(1)由
，得到a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入
中解得;
(2)用“若
=k(b+d+…+n≠0)，则
”，但要注意只有当
x+y+z≠0 时才成立.
本题中，还需考虑x+y+z=0 的情况，此时x=－(y+z)，y=－(z+x)，z=－(x+y)，
所以k=－1.
答案：(1)0.5,(2)
或－1
4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1 米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为
5 米，已知小明的身高为1.5 米，则这棵槟榔树的高是__________米.[来源:学+科+网]
图27.1－5
思路解析：相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x 米，则1.5 1=x 5
∶
∶，解得x=7.5
答案：7.5
5.图27.1－6 中，两组图形是否是相似图形?
图27.1－6
思路解析：比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角
形，但角的大小不同，形状不同，不相似.
答案：两组图形都不相似
6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.
图27.1－7
思路解析：在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后[来源:学科
网]
的位置，再由这些点构造新图形.
答案：(不唯一)
7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z 的长度和∠α、∠β 的度数.
图27.1－8
思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、z 的比例
式，并得到∠D= D′=α
∠
、∠C= C′=110°
∠
，再由梯形的定义和平行的性质即可求出α 和β.
解：因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.
所以
且∠D= D
∠
′=α，∠C= C′=110°.
∠
解得:x=3 y=6 z=3.
因为梯形ABCD 中，AB CD,
∥
所以α=180°－62°=118°,β=180°－110°=70°.
二、综合•应用达标
8.矩形相框如图27.1－9 所示，图中两个矩形是否相似?
图27.1－9
思路解析：矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键
就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.
解：由图可知：大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；
而小矩形的长为：14－2－2=10，宽为：8－2－2=4，四条边分别是10,4,10,4.
14 10≠8 4,
∶
∶
∵
∴这两个矩形不相似.[来源:学§科§网]
9.判断下列各组线段是否成比例?
(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；
(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；
(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.
思路解析：要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时)，把它们
按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四
条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积
等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.
解：(1)四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.
3×7≠4×5
∵
，即3 4≠5 7
∶
∶，
3 cm,4 cm,5 cm,7 cm
∴
这四条线段不成比例.
(2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.
12×50=15×40
∵
，即12 15=40 50
∶
∶
，
12 mm,5 cm,15 mm,4 cm
∴
这四条线段成比例.
(3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.
5×20=10×10
∵
，即5 10=10 20
∶
∶
，
5
∴
mm,1 cm,10 mm,2 cm 这四条线段成比例.
10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8 个相似的小正方形.
图27.1－10
答案：
11.在如图27.1－11 所示的相似四边形中，α 比β 大15°，求未知边x、y 的长度和角度α、β 的
大小.
图27.1－11
思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、α 和β
解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以12 6=8 y=x 3.
∶
∶
∶解得y=4，x=6.
由α+β+115°=360°，α=β+15°，
得α=100°，β=85°.
三、回顾•展望达标
12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们
就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,
就可以称它们为相似图形.
现给出下列4 对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指
出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.
思路解析：根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.
答：①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；
②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；
③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形
状不同；
④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.
13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：
(1)如图甲，已知△ABC 中，∠C=90°，你能把△ABC 分割成2 个与它自己相似的小直角
三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原
三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.
我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1 阶分割(如图1)；
把1 阶分割得出的4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2 阶分
割(如图2)，…
依次规则操作下去，n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n 为正整数)，设
此时小三角形的面积为Sn.
①若△DEF 的面积为10 000，当n 为何值时，2<Sn<3?[来源:学#科#网]
(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)
②当n>1 时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn+1之间关系的等式(不必证明)
图乙 图1(1 阶) 图2(2 阶) 图3(3 阶)
思路解析：本题是阅读理解题，n 阶分割实际是把原三角形分为4n个相同的小三角形，
所以每个小三角形的面积是原三角形的
.
解：(1)正确画出分割线CD(如图，过点C 作CD AB
⊥
，垂足为D，CD 即是满足要求的分割
线).
理由：∵∠B= B
∠，∠CDB= ACB=90°
∠
，
BCD
ACB.
∴△
△
∽
(2)
DEF
①△
经n 阶分割所得的小三角形的个数为
.
S
∴
n=
. http://www.czsx.com.cn
当n=5 时，S5=
≈9.77;
当n=6 时，S6=
≈2.44;
当n=7 时，S7=
≈0.61.
∴当n=6 时，2＜S6＜3.
②
=Sn－1×Sn+1.
