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锐角三角函数—知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，
∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即
；
锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即
；
锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即
.
同理
；
；
．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，
，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记
号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，
、
、
常写成
、
、
．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，
，
，tanA＞0．
A
B
C
a
b
c
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道
了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若
，则锐角
．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、
、
的值依次为
、
、
，而
、
、
的值的顺序
正好相反，
、
、
的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°．
(1)互余关系：
，
；
(2)平方关系：
；
(3)倒数关系：
或
；
(4)商数关系：
．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算
时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、锐角三角函数值的求解策略
INCLUDEPICTURE
"https://resource.etiantian.com/ett20/resource/99b01980a53a49c1ecacbfc2256cb47b/images/
mb04_080317.gif" \* MERGEFORMATINET
1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A．2 B．
C．
D．
【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【答案】D．
【解析】
解：如图：
，
由勾股定理，得
AC=
，AB=2
，BC=
，
∴△ABC 为直角三角形，
∴tan∠B=
=
，
故选：D．
【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB 的长，再求正切函数．
举一反三：
【高清课程名称：锐角三角函数 高清ID 号： 395948
关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】
【变式】在RtΔABC 中，∠C = 90° ，若a = 3 ，b = 4 ，则c = ，
sinA = ， cosA = ，sinB= ， cosB = ．
A
B
C
a
b
c
【答案】c = 5 ，sinA =
， cosA =
，sinB=
， cosB =
．
类型二、特殊角的三角函数值的计算
2．求下列各式的值：
(1)（2015•茂名校级一模） 6tan230°﹣
sin60°
2sin45°
﹣
；
(2)（2015•乐陵市模拟）
sin60°
4cos
﹣
230°+sin45°•tan60°；
(3)（2015•宝山区一模）
+tan60°﹣
．
【答案与解析】
解：（1）原式=
=
．
(2) 原式=
×
4×
﹣
（
）2+
×
=
3+
﹣
=
；
(3) 原式=
+
﹣
=2
+
﹣
=3
2
﹣
+2
=
．
【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，
再进行化简．
举一反三：
【高清课程名称： 锐角三角函数 高清ID 号：395948
关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】
【变式】在RtΔABC 中，∠C = 90° ，若∠A=45°，则∠B = ，
sinA = ， cosA = ，sinB= ， cosB = ．
【答案】∠B = 45°，sinA =
， cosA =
，sinB=
， cosB =
．
类型三、锐角三角函数之间的关系
3．（2015•河北模拟）已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1
tanA
﹣
）2+|sinB﹣
|=0
（1）试判断△ABC 的形状．
（2）求（1+sinA）2
2
﹣
﹣（3+tanC）0的值．
【答案与解析】
解：（1）∵|1
tanA
﹣
）2+|sinB﹣
|=0，
tanA=1
∴
，sinB=
，
A=45°
∴∠
，∠B=60°，∠C=180°
45°
60°=75°
﹣
﹣
，
ABC
∴△
是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°
45°
60°=75°
﹣
﹣
，
∴原式=（1+
）2
2
﹣
1
﹣
= ．
【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用
4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P，
若弦CD＝6，试求cos∠APC 的值．
【答案与解析】
连结AC，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP＝90°，
又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ △PCD∽△PAB，
∴
．
又∵ CD＝6，AB＝10，
∴ 在Rt△PAC 中，
．
【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角
形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．
锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB＝90°，
，PC、PA 均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB 得
．
5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，
因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1 ①，在△ABC 中，AB＝AC，顶角A 的正对记作
sadA，这时
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上
述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝________．
(2)对于0＜A＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．
(3)如图1 ②，已知sinA＝
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．
【答案与解析】
(1)1； (2)0＜sadA＜2；
(3)如图2 所示，延长AC 到D，使AD＝AB，连接BD．
设AD＝AB＝5a，由
得BC＝3a，
∴
，
∴ CD＝5a-4a＝a，
，
∴
．
【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC 的长
固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0 但永远不会等于
0，故sadA＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB，则sadA 接近2 但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A
放到等腰三角形中，如图2 所示，根据定义可求解．
