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【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC 的长为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.2.5
2.（2015 春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的
示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′= AOB
∠
的依据是（
）
A． SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
3. （2016•新疆）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍
然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
4. 在下列结论中, 正确的是( )
A.全等三角形的高相等
B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C. 一角对应相等的两个直角三角形全等
D.一边对应相等的两个等边三角形全等
5. 如图，点C、D 分别在∠AOB 的边OA、OB 上，若在线段CD 上求一点P，使它到OA，OB 的距离
相等，则P 点是（ ）．
A. 线段CD 的中点 B. OA 与OB 的中垂线的交点
C. OA 与CD 的中垂线的交点 D. CD 与∠AOB 的平分线的交点
6．在△ABC 与△DEF 中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝
∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能
使△ABC≌△DEF 的条件共有（ ）组．
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条
边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B.不相等 C.互补 D.相等或互补
8. △ABC 中，∠BAC＝90° AD⊥BC，AE 平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE 的度数是( )
A.45° B.20° C.、30° D.15°
二.填空题
9. 已知
，若△ABC 的面积为10
，则
的面积为________
，若
的周长为16
，则△ABC 的周长为________
．
10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断
作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．
11.（2015 春•成都校级期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC，
CD=2cm，则BD 的长是
．
12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据
“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三
角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．
正确的是_____.
13. 如右图，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D．若AB＝，CD＝，则△ADB
的面积为______________ ．
14．（2016 秋•扬中市月考）如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件
；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件
．
15. 如图，△ABC 中，H 是高AD、BE 的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.
16. 在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E.若AB＝20cm，则△DBE 的周
长为_________.
三.解答题
17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．
求证：∠ACD＝∠ADC．
18．已知：△ABC 中，AC⊥BC，CE⊥AB 于E，AF 平分∠CAB 交CE 于F，过F 作FD∥BC 交AB 于D．
求证： AC＝AD
19. 已知：如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，且BD=CD．
求证：BE=CF．
20.（2015•北京校级模拟）感受理解
如图①，△ABC 是等边三角形，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点
F，则线段FE 与FD 之间的数量关系是
自主学习
事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三
角形的解决思路
如：在图②中，若C 是∠MON 的平分线OP 上一点，点A 在OM 上，此时，在ON 上截取
OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，
从而得到线段CA 与CB 相等
学以致用
参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图③，△ABC 不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，
AD、CE 相交于点F．求证：FE=FD．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；
2. 【答案】D；
【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，
OCD
O′C′D′
∴△
△
≌
（SSS）．
故选D．
3. 【答案】D；
【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA 可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS 可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS 可得
△ABC≌△DEF；故选D．
4. 【答案】D；
【解析】A 项应为全等三角形对应边上的高相等；B 项如果腰不相等不能证明全等；C 项直
角三角形至少要有一边相等.
5. 【答案】D；
【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.
6. 【答案】C；
【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.
7. 【答案】A；
【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.
8. 【答案】D；
【解析】由题意可得∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，所以∠DAE＝60°－45°＝15°.
二.填空题
9. 【答案】10，16；
【解析】全等三角形面积相等，周长相等.
10．【答案】①②
③；
11.【答案】4cm；
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
BAC=90°
30°=60°
∴∠
﹣
，
AD
∵
平分∠CAB，
CAD= BAD=
∴∠
∠
×60°=30°，
AD=2CD=2×2=4cm
∴
，
又∵∠B= ABD=30°
∠
，
AD=BD=4cm
∴
．
故答案为：4cm.
12.【答案】①③
【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.
13.【答案】
；
【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD＝
，所以△ADB 的面积为
.
14.【答案】AB=CD；AD=BC
【解析】（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；△ABC≌△CDA（SAS）；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
15.【答案】45°；
【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.
16.【答案】20
；
【解析】BC＝AC＝AE，△DBE 的周长等于AB.
三.解答题
17．【解析】
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE
∠CAE ＝∠CAD
∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC 和△AED 中，
∴△ABC≌△AED． （AAS）
∴AC＝AD．
∴∠ACD＝∠ADC．
18.【解析】
证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB
∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
又∵FD∥BC
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2
在△CAF 与△DAF 中
∴△CAF 与△DAF（AAS）
∴AC＝AD.
19.【解析】
证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，（已知）
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）
又∵BD=CD
∴△BDE≌△CDF（HL）
∴BE=CF
20.【解析】
解：感受理解
EF=FD．理由如下：
ABC
∵△
是等边三角形，
BAC= BCA
∴∠
∠
，
AD
∵
、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，
DAC= ECA
∴∠
∠
，∠BAD= BCE
∠
，
FA=FC
∴
．
∴在△EFA 和△DFC 中，
，
EFA
DFC
∴△
△
≌
，
EF=FD
∴
；
学以致用：
证明：如图1，在AC 上截取AG=AE，连接FG．
AD
∵
是∠BAC 的平分线，
1= 2
∴∠
∠，
在△AEF 和△AGF 中，
，
AEF
AGF
∴△
△
≌
（SAS），
AFE= AFG
∴∠
∠
，FE=FG，
B=60°
∵∠
，
BAC+ ACB=180°
60°=120°
∴∠
∠
﹣
，
AD
∵
、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，
2=
∴∠
BAC
∠
，∠3=
ACB
∠
，
2+ 3=
∴∠
∠
（∠BAC+ ACB
∠
）= ×120°=60°，
AFE= CFD= AFG=60°
∴∠
∠
∠
．
CFG=180°
AFG
CFD=180°
60°
60°=60°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
，
CFG= CFD
∴∠
∠
，
CE
∵
是∠BCA 的平分线，
3= 4
∴∠
∠，
在△CFG 和△CFD 中，
，
CFG
CFD
∴△
△
≌
（ASA），
FG=FD
∴
，
FE=FD
∴
．
