文档文本内容
三角形
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1.认识三角形的概念及基本要素，并能用符号语言表示三角形及其基本要素教学难点；
2.能正确区分锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；
3.理解三角形三边之间的关系，并能用于解决相关的问题；提高自主探究的能力，增强学好数学
的信心。
1.三角形的定义：
由3 条不在同一直线上的线段，首尾________组成的封闭图形称为三角形。如下的图形就是一个
三角形。
2.三角形的各组成部分：
（1）边：组成三角形的三条线段如右所示：就是三角形的三条边；
（2）顶点：三角形任意两边的交点如右所示：均为三角形的顶点；
（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形
时，三个字母之间并无顺序关系。如上图中，此三角形可以表示为________，________或
________或________。
（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角。例如△ABC 中，______都是三
角形的内角。
3.三角形的分类:
(1
)按角分：三角形
{直角三角形¿¿
¿
¿¿
A
B
C
（2 按边分：三角形
{不等边三角形¿¿
¿
¿¿
4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
5.三角形重要线段：
（1）从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边
上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC______∠BDC＝______，C 点到对边AB
的距离是______的长。
(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．
如右图，若
BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE______
EC =1
2 ______.
(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做
三角形的角平分线．
一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ 。
如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD______∠CAD＝
1
2 ______或∠BAC＝2______＝
2______．
6.三角形内角和、外角性质
(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________。
(2)外角性质______________________________________________________________。
1.三角形三边关系
【例1】有两根长度分别为4cm 和7cm 的木棒，
①用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
②长度为11cm 的木棒呢？③长度为4cm 的木棒呢？
④什么长度范围的木棒, 能与原来的两根木棒摆成三角形?
【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可知不能；不能；可以；④1cm<第三边长度<11cm
答案：不能；不能；可以；④1cm<第三边长度<11cm
练1.下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
(A)3cm，3cm，6cm
(B)2cm，3cm，6cm
(C)5cm，8cm，12cm
(D)4cm，7cm，11cm
【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可知选 C。
答案：C.
练2.若三角形的两边长分别为3 和5，则其周长l 的取值范围是( )．
(A)6＜l＜15
(B)6＜l＜16
(C)11＜l＜13(D)10＜l＜16
【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可得第三边长度的取值范围是3-7,所以周长的最小值是3+3+5=11；最大值是3+5+7=15。
答案：D.
【例2】若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x 的范围。
【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
得
3＜x＜17。
答案;3＜x＜17
练3.已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC．
【解析】延长BP 交AC 于D．
∵在△ABD 中，AB＋AD＞BD＝BP＋PD，①
在△DPC 中，DP＋DC＞PC，②
由①、②，
∴AB＋(AD＋DC)＋DP＞BP＋PC＋DP．
即AB＋AC＞PB＋PC．
练4.下列长度的各组线段能否组成一个三角形？[来源.Com]
（1）15cm、10 cm、7 cm；（2）4 cm、5 cm、10 cm；
（3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm.
【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
答案：（1） （4）
2.三角形有关线段
【例3】已知：如图，CE⊥AB 于E，AD⊥BC 于D，∠A＝30°，求∠C 的度数．
【解析】在图中找出8 字形，我们发现对顶角相等，都有90 度，那么剩下两个角也相等。
答案：30°
练5.填空：
【解析】根据三角形做高的方法可知。
答案：3 1 1
相交 相交 不相交
相交 相交 相交
内部 直角顶点 外部
练6.根据所给图形填空：
（1）在Δ ABC 中，BC 边上的高是________.
（2）在Δ AEC 中，AE 边上的高是________.
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
[来源
Com]
高所在的直线是否相交
垂心的位置
（3）在Δ FEC 中，EC 边上的高是________.
（4）AB=CD=2cm，AE=3cm。则Δ AEC 面积S=_____，CE=_____。
【解析】根据高的定义是从一个顶点到对边的垂线可知。
答案：（1）AB;(2)CD;(3)AB;(4)3cm2 ，3cm。
【例4】已知：如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE 的度数．
(2)试问∠DAE 与∠C－∠B 有怎样的数量关系?说明理由
【解析】根据三角形内角和180 度能得出角BAC 是100 度，因为AE 是角分线所以角EAC 等于
50 度，因为角DAC 等于90 度减去角C 等于40 度所以∠DAE 等于30-20=10 度。
答案：(1)10°；(2)
∠DAE =1
2 (∠C−∠B).
练7.下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的三条高至少有一条在三角形内
D．钝角三角形的三条高均在三角形外
【解析】考察不同三角形的高线，中线，角平分线的位置，三角形的中线角平分线都在
部；锐角三角形高线在内部，直角三角形只有一条在内部，钝角三角形只有一条在内部。
答案：C
练8.下列说法正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．任何三角形都有三条高[来源:学&科&网]
C．三角形的角平分线就是三角形内角的平分线
D．任何三角形的三条高必交于一点[来源
【解析】A 中线为线段；B 任何三角形都有三条高；C 角的平分线为射线，三角形的平分线为
线段；钝角三角形的高不相交，高所在直线相交。
答案：B
【例5】（2015 北京文汇中学月考）如图，
（1）当_____=______时，AD 是三角形ABC 的中线；
（2）当_____=______时，ED 是三角形BEC 的角平分线；
（3）当AD⊥BC 时，BD 是△______的高，又是△______的高。
【解析】考察三角形高线，中线，角平分线的定义。
答案：（1）BD CD ;(2)
∠
BED
∠
CED;(3)ABC, BEC .
3.三角形的内角和性质
练9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______。
【解析】∵△ABC 中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∴Δ ABC 和Δ BCD 都是等腰三角形。
又∵∠A＝∠ABD，
∴可设∠A=x，∠C=2x，根据三角形内角和180 度，可解得x=36°。
答案：36°
【例6】△ABC 中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．
【解析】根据三角形内角和180°可解。
答案：60°
练10.△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______。
【解析】根据三角形内角和可求出三个内角为30°，60°，90°.则邻补角分别为150°，
120°，90°.
答案：5∶4∶3
练12.（2014 河南南阳市第一中学期末）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若
∠1＝50°，则∠AEF＝______.
【解析】∵∠1＝50°
∴∠BFE=∠EFB’=(180°-50°)/2=65°
∵AD//BC
∴∠BFE=∠AEF=65°
E
D
C
B
A
答案：65°
1.下列各组长度的3 条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．3cm 5cm 10cm B．5cm 5cm 9cm
C．4cm 6cm 9cm D．2cm 3cm 4cm[来源:学
2.画一个三角形，使它的三条边长分别为3 cm、4 cm、6 cm.
A
B
C
D
3.如图，以∠C 为内角的三角形有和 。在这两个三角形中，∠C 的对边分别为和。
E
D
C
B
A
4.等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为。
5.（2014 河北任丘市第三中学期末）如图，由12 个边长为1 有小正方形拼成1 个长方形，过
点A、B、C、D、E 中的任意3 点画三角形，其中等腰三角的个数（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4
6.一个等腰三角形的两边长分别是6cm 和9cm，则它的周长是。
1. （2014 河北任丘市第三中学期末）过直线外一点，如何画这条直线的垂线？你能通过折
纸的方法得到这条垂线吗？如何画已知角的角平分线？你能通过折纸的方法得到这个角的角平分
线吗？
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1．一个三角形的三个内角中 （ ）
A .至少有一个钝角 B .至少有一个直角 C .至多有一个锐角 D. 至少有两个锐角
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 1，2，3 D. 5，6，10
3. 如图在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。图中与∠A 相等的角是（ ）
A.∠B B. ∠ACD C.∠BCD D. ∠BDC
D
C
B
A
4．如图，AC⊥BD，DE⊥AB，下列叙述正确的是（）
A.∠A＝∠B B.∠B＝∠D C.∠A＝∠D D.∠A＋∠D＝90 ０
5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的和为( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
6.等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为 （ ）
A.13 B. 17 C. 13 或17 D. 不能确定
7.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.
A．58° B．68° C．78° D．32°
8.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）
A .三角形 B.四边形 C. 五边形 D. 六边形
9.能将三角形面积平分的是三角形的（）
A. 角平分线 B.高 C. 中线 D.外角平分线
10.如图，AB∥CD，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（）
A. 550 B. 700 C. 400 D. 1100
11.长为11，8，6，4 的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是________。
12.一个多边形的内角和是外角和的3 倍，它是（ ）边形；一个多边形的各内角都等于1200，
它是（ ）边形。
13.已知△ABC 为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8 cm 和3 cm 时，它的周长为_____；
②如果它的周长为18 cm，一边的长为4 cm，则腰长为_____.
14.如果一个多边形的每一外角都是240，那么它边形
15.（2014 北京161 期末）如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则x= _________，y=
________
16.如图飞机要从A 地飞往B 地,因受大风影响,一开始就偏离航线(AB)18°(即∠A=18°)，飞到了
C 地，已知∠ABC=10°，现在飞机要达到B 地需以_____的角飞行(即∠BCD 的度数).
17.如图，△ABC 中，高AD 与CE 的长分别为2㎝，4㎝ 求AB 与BC 的比是多少？
18.如图所示，在△ABC 中，∠C-∠B=90°，AE 是∠BAC 的平分线，求∠AEC 的度数．
19.（2014 北京铁二期期末）如图，△ABC 中，∠A=36°，∠ABC=40°，BE 平分∠ABC，
∠E=18°，CE 平分∠ACD 吗？为什么？
20.(2014 北京文汇中学期末）如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.
4
3
P
2
1
D
C
B
A
课程顾问签字： 教学主管签字：
参考答案
当堂检测
1.A
2.略
3.Δ ACD Δ ACB AD AB
4.3cm 或 5cm
5.C
6.21cm 或24cm
家庭作业
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.B
10.B
11.4 ① 4、6、8 ②4、6、11 ③4、8、11. ④6、8、11
12.8 6
13.19 7
14.15
15.110°130°
16.28°
17.因为sΔ ABC =1
2 AB⋅CE =1
2 BC⋅AD 高AD=2㎝CE=4㎝所以
AB
BC = AD
CE = 2
4 =1
2
18.∠AEC=45°
19.平分
20. ∠ P=
1
2 （∠C +∠D） =30°
