文档文本内容
义务教育教科书
数学
教师教学用书
七年级下册
湖南教育出版社
微信公众号：电子课本大全
总体说明
湘教版《义务教育教科书·数学》
（七~九年级）是依据教育部制订的《义务教育数学课程标准
（2011年版）》（以下简称《课标》），在原实验教科书的基础上修订而成的，全套书分为6册，每学期
一册，内容包括“数与代数”
“图形与几何”
“统计与概率”
“综合与实践” 四个领域，知识体系中
的重要概念和数学思想按照学生的认知规律螺旋式上升，重视知识之间的联系与综合，体现“数与代
数”
“图形与几何”
“统计与概率” 以及“综合与实践” 之间的实质性关联，形成一个有机的整体.
一、教材的主要特点
1.重视培养学生科学理性的思维方式.
本教材按照“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的数学思维方式编写，通过设立“观察”、
“探究”、
“动脑筋”、
“做一做”、
“议一议” 等栏目，加强抽象、分析的环节，同时辅以设问的方
式，让学生在“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的活动过程中生动活泼地学习数学，受到数
学思维方式全过程的熏陶.
2. “数与代数” 部分强调建立数学模型和渗透算法，并且把握数学的实质，准确阐述初中数学的
基本概念.
教材高度重视建立数学模型并渗透算法，采取螺旋上升的方式将模型思想贯穿于整个初中代数部
分，同时，为了浅显易懂地渗透算法，我们常采用形象、生动的卡通流程图给出一般的解法步骤.
3. “图形与几何” 部分用变换的观点来研究图形的性质.
考虑到初中阶段是学生处在形象思维逐步向抽象思维转变的过渡阶段，一开始学生很难接受严格
的演绎证明，而通过图形变换来研究图形的性质，在此基础上再进一步证明这些性质，这对学生来讲
直观、形象，又易于理解和接受. 教材尝试将几何的直观性和思维的严谨性有机地结合起来，用变换
的观点来研究图形的位置关系和度量关系.
4. “统计与概率” 部分强调数据分析观念的培养和“随机性” 的渗透.
教材通过设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、描述数
据、分析数据，同时注重在数据分析的过程中渗透随机思想，使学生在这样的统计过程中，不断积累
统计活动经验，发展数据分析观念并加深对统计思想与方法的理解.
5. “综合与实践” 更具可操作性，
“数学与文化” 力求通俗易懂.
“综合与实践” 是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 教材每册设置1个“综合
与实践”，强调问题情境与学生所学的知识以及生活经验相结合，鼓励学生独立思考、合作交流，自
主设计解决问题的方案和步骤，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学
与生活实际、数学与其他学科、数学各部分内容之间的联系，加深对所学数学内容的理解. 同时，通
过该活动，帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识.
“数学与文化” 栏目中的内容主要是介绍数学学科知识背景、数学在自然与社会中的应用、数学
发展史的有关材料等，目的是帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴
趣，感受数学家治学的严谨性，欣赏数学的美.
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二、使用说明
关于本套教材栏目设置的说明：
1.正文设置“观察”
“探究”
“动脑筋”
“做一做”
“议一议” 等栏目，加强抽象、分析的环
节，同时辅以设问的方式，让学生在“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的活动过程中生动活
泼地学习数学，受到数学思维方式全过程的熏陶.
2.正文针对易错点、归纳的结论或启发学生思考的问题，增设小贴士.
3.每章安排“小结与复习” 栏目，包括“回顾”
“本章知识结构”
“注意” 三个环节.其中“回
顾” 环节以提问的方式引导学生全面回顾、梳理本章所学知识；
“本章知识结构” 以结构图的形式，
呈现本章知识间的内在联系，从整体上把握全章知识全貌；
“注意” 环节突出本章容易忽视的关键
点，同时提示本章隐含出现的一些重要的数学思想和方法.
4.本书的习题分为练习、习题、复习题三类，每一课时安排一个“练习”，供课内使用；每一大
节安排一个“习题”，习题分A、B组，与课时对应，便于学生课外巩固提高；每一章安排一个“复
习题”，供复习全章时使用，并按A、B、C组分类，其中C组不做要求，供学有余力的学生选择完成.
5.每册教材安排一个“综合与实践”，视本册内容灵活安排在最恰当的知识点之后.
6.每册分别安排两个“数学与文化” 和“IT教室” 栏目，供学有余力或有兴趣的学生自行阅读或
操作.
关于教师教学用书栏目的说明：
本套教师教学用书与《义务教育教科书·数学》
（七~九年级）相对应，供教师教学参考使用. 全
套书分为6册，每册书按章编排，具体栏目设置如下：
（一）概述
1. “课程内容” 将《课标》关于本章内容的要求进行罗列，便于教师掌握本章的基本要求.
2. “课时建议” 分别列出本章各节内容教学所需的课时数.
3. “教材说明” 介绍本章的线索和设计思路，本章各小节之间的内在逻辑性和关联.
4. “评价建议” 结合本章内容，提出了在本章学习中评价学生发展的建议.
（二）教学建议
1. 按节描述本节知识在“知识技能”
“数学思考”
“问题解决”
“情感态度” 等方面的目标.
2. 按节描述本节的教学重点和难点.
3. 按节阐述教材编写意图与教学参考建议，便于教师更好地理解、使用教材.
4. “补充例题” 为教师在上课时补充课内例题的需要.
5. “资源拓展” 提供与本节内容相关的学科背景介绍、数学史料等.
6. 按节提供教材练习、习题、复习题的参考答案.
（三）本章相关链接
提供本章相应的拓展资料，供教师教学时参考.
在本书的最后附有与本册教材配套的教学资源光盘，光盘内容包括两部分，第一部分是主编对本
册教材特点的解读，第二部分是教学课件示例，供教师设计课件时参考.
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第1 章二元一次方程组
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
1
Ⅱ. 教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3
１．１建立二元一次方程
!!!!!!!!!!!!
组
4
１郾２二元一次方程组的解
!!!!!!!!!!!
法
8
１郾３二元一次方程组的应
!!!!!!!!!!
用
１6
*１郾４三元一次方程
!!!!!!!!!!!!!
组
22
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
26
Ⅲ. 本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 30
第2 章整式的乘法
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
32
Ⅱ. 教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 34
２．１整式的乘
!!!!!!!!!!!!!!!
法
35
２．２乘法公
!!!!!!!!!!!!!!!!
式
48
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
57
Ⅲ. 本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 60
第3 章因式分解
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
62
Ⅱ. 教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 64
３．１多项式的因式分
!!!!!!!!!!!!
解
65
３郾２提公因式
!!!!!!!!!!!!!!!
法
69
３郾３公式
!!!!!!!!!!!!!!!!!
法
73
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
78
Ⅲ. 本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 81
第4 章相交线与平行线
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
82
Ⅱ. 教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 85
４郾１平面上两条直线的位置关
!!!!!!!!
系
86
４郾２平
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
移
94
目录
1
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４郾３平行线的性
!!!!!!!!!!!!!!
质
100
４郾4 平行线的判
!!!!!!!!!!!!!!
定
１04
４郾5 垂
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
线
１10
４郾6 两条平行线间的距
!!!!!!!!!!!
离
１18
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
121
Ⅲ. 本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 126
第5 章轴对称与旋转
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
128
Ⅱ. 教学建
!!!!!!!!!!!!!!!!!
议
130
５．１轴对
!!!!!!!!!!!!!!!!
称
１31
５．２旋
!!!!!!!!!!!!!!!!!
转
１37
５．3 图形变换的简单应
!!!!!!!!!!
用
１41
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
146
Ⅲ. 本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 152
综合与实践长方体包装盒的设计与制
!!!!!
作
154
第6 章数据的分析
Ⅰ. 概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
157
Ⅱ. 教学建
!!!!!!!!!!!!!!!!!
议
160
6．１平均数、中位数、众数
!!!!!!!!! １61
6．２方差
!!!!!!!!!!!!!!!!! １73
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
179
Ⅲ. 本章相关链
!!!!!!!!!!!!!!!
接
183
目录
2
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第1章二元一次方程组
Ⅰ.概述
一、课程内容
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
2.掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组.
*3.能解简单的三元一次方程组.
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
二、课时建议
1郾1 建立二元一次方程组
1课时
1郾2 二元一次方程组的解法
3课时
1郾3 二元一次方程组的应用
2课时
*1郾4 三元一次方程组
1课时
小结与复习
1课时
三、教材说明
二元一次方程组是在七年级上册已学习一元一次方程的基础上，关于方程知识的进一步学习.它
也是学习后续代数内容（比如一元二次方程、函数等）的基础.因此，本章是初中代数中一个重要的
基础内容，更是提高学生分析问题、解决问题能力的重要内容之一.
本章按照“建立模型—解法—模型的应用” 的思路来编写.首先从生活实例中引入二元一次方程、
二元一次方程组等概念，然后重点学习二元一次方程组的两种解法——
—代入（消元）法、加减（消
元）法，接着介绍了二元一次方程组的应用.作为选学内容的三元一次方程组的解法放在本章的最后，
它是进一步体会消元思想的重要载体，也是学习不共线三点确定二次函数解析式的基础.
本章的重点是二元一次方程组的解法和应用，难点是从实际问题中抽象出二元一次方程组.
根据知识间内在的逻辑性，本章的教学内容分5个小节，顺序安排如下：
在教学本章的过程中，需注意以下几点：
1.本章所涉及的数学思想方法主要有两个：一个是由实际问题抽象出方程组这个过程中蕴含的模
型思想，另一个是解方程组所体现的消元思想.
模型思想在七年级上册“一元一次方程” 中已介绍.本章中，有大量需要利用二元一次方程组来
加以解决的现实问题，这就需要教师指导学生分析问题中的数量关系，设未知数并列出方程组，达到
从现实情境抽象出方程模型的目的.在此过程中，加强体会方程（组）模型是解决现实问题的重要数
学工具.解多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，使方程组化归为一元方程，先
二元一次方程、
二元一次方程组
代入消元法解
二元一次方程组
加减消元法解
二元一次方程组
二元一次方
程组的应用
三元一次
方程组
1
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解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数.代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消
元的过程不同.
2.注重对“双基” 的掌握.
本章中二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、解二元一次方程组分析、解
决实际问题是基本能力，它们对于解三元一次方程组以及今后进一步学习有重要作用.教学和学习时，
要注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，需通过必要的练习途径来掌握基本知识和提高基本能力.
3.关注数学文化.
本章在体现数学的科学性和应用性的同时，又体现数学科学中蕴含的文化.人们运用方程组解决
含有多个未知数的问题已有很长的历史，中国古代数学在方程及方程组的研究方面也有很多重要的成
果，例如著名的“鸡兔同笼” 问题出自《孙子算经》，消元法的内容在《九章算术》中也有记载.教学
中应结合方程组内容挖掘数学文化的内涵，使学生受到数学文化的熏陶.
四、评价建议
1. 对本章“双基” 达成情况的测试应注意以下几个问题：
（1）把握好对会解二元一次方程组的要求.
二元一次方程组的消元解法是本章的基础知识，通过列、解二元一次方程组分析、解决实际问题
是基本能力. 教学和学习中应注意打好基础，切实掌握基本方法，并力求能够灵活地运用它们. 在此
过程中需注意不要过分强调解方程组的技巧，计算也不要太繁.
（2）恰当评价学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力.
分析问题中的数量关系并用二元一次方程组表示其中的等量关系，建立方程组模型是贯穿本章的
主线. 在设计测试题时应创设学生发现并提出问题的平台，在分析和解决问题的过程中，要鼓励学生
采取多种策略如借助图表、示意图等来帮助思考. 同时，要摒弃解题模式的常规做法.
2. 本章教学中的过程性评价应关注的问题.
在引导学生进行“动脑筋”
“议一议” 等活动中，不能仅关注基础知识、基本技能的掌握，还要
关注学生是否积极参与数学问题的讨论，是否敢于发表自己的观点，能否用自然语言、符号语言、图
表语言等不同的语言来进行表达. 过程评价要注重学生参与活动的程度和在活动中表现出来的思维水
平．要对学生在学习过程中的点滴闪光点进行适时肯定和鼓励，使学生获得成功的乐趣，树立自信心，
激发其学习数学的兴趣．
3. 注重评价主体和评价方式的多样化.
除普通形式的书面测试外，要注意使用多种形式进行评价．可以让学生进行自评或互评，也可以
采用课题研究与小组合作交流的评价方式．例如，可以布置学生去商场进行调查，了解商品打折的有
关情况以及商品利润等有关知识，让学生根据所收集的条件，自编方程应用题，自己做出解答，写出
心得体会，并在小组内交流．
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本章的章前图是世界水域与
陆地的情境图. 在许多实际问题
中，算术方法已难以解决问题，
而通过设两个未知数建立等量关
系来求解，可以使问题的解决变
得简捷. 可见建立方程模型是连
接数学与现实世界的桥梁之一.
从章前图的情境出发引入二
元一次方程组，将使学生感到即
将学习的内容与身边的事物有密
切的联系，增强学生的求知欲.
Ⅱ. 教学建议
3
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教学目标
了解二元一次方程、二元一
次方程组和它的一个解的含义．
会检验一对数是不是某个二
元一次方程组的解．
教学重点、难点
教学重点：二元一次方程组
及其解的含义.
教学难点：理解二元一次方
程组的解的含义.
本节通过一个实际问题，先
引导学生运用已学过的一元一次
方程知识去解决，然后尝试设两
个未知数，根据题目中的两个条
件列出两个方程，从而引入二元
一次方程、二元一次方程组和它
的一个解的概念．通过比较两种
解法，强化学生的类比意识，另
外让学生初步感受到直接设两个
未知数列方程组比列一个一元一
次方程容易，同时为下一节讲代
入法做好铺垫．
本节教学，只要求学生了解
二元一次方程组的有关概念，暂
不涉及二元一次方程组的解法．
方程在初中阶段的数学课程中占有十分重要的地位，本套教材中方程出现的顺序是这样的，七年
级先后学习一元一次方程和二元一次方程组（含三元一次方程组），八年级学习分式方程，九年级学
习一元二次方程.
二元一次方程组是继一元一次方程的学习之后进一步展开对方程的学习，本章教材是按照“建立
模型—解法—模型的应用” 的思路编写的．
4
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在“做一做” 栏目中，通过
将一组数代入方程组的两个二元
一次方程中，使得方程左、右两
边的值相等来确定该方程组的
解. 这一过程既是为后续学习代
入消元法作辅垫，同时也渗透了
检验解的合理性.
理解方程组的一个解的含义
是本节的一个难点．难在方程组
的一个解已经不是一个数值而是
两个有联系的数值了．关键在于
帮助学生理解包含于问题中的互
相联系的两个未知数，它们适合
方程组中的每一个方程，把它们
的值都写出来，才是问题的解
答．
在介绍“方程组的一个解”
时，不需介绍二元一次方程组无
解或有无数个解的情形．
补充例题
1.下列方程中属于二元一次方程组的有
（填序号）.
①x-y=1，
x+2y＝
!
3
②x=11，
x+y＝
!
3
③x２+y=1，
x-y＝
!
2
④
1
x +y=1，
2x+y＝
＝
$
$
$
$
#
$
$
$
$
%
3
2. x+y=3，
x-y＝
!
3 的解是（
）
A. x=1，
y=
! 2
B. x=2，
y=
! 1
C. x=3，
y=
! 0
D.有无数个
5
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练习
1.不是.
2. （1）
x+y=24，
x-y=18
!
.
（2）是.
3.是方程组（1）的解.
资源拓展
二元一次方程的解的特点
二元一次方程组的解是一对数值，即x=a，
y=b
!
.
一个二元一次方程有无数多个解，即有无数多对数值适合该二元一次方程.例如x+y=3，我们能发
现有许许多多的x，y值能满足该方程.因此在教学过程中应引导学生关注和发现此特征，为后续学习
一次函数埋下伏笔.
事实上，每个二元一次方程的图象就是一条直线，即二元一次方程mx+ny=p能写成y=kx+b或x=
h的形式，也就是说，一个二元一次方程对应一个一次函数.
分析数量关系并列二元一次
方程组对于学生来说也比较难.
在例题环节，教师可先引导学生
发现数量关系，再根据数量关系
列出方程组.
6
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习题1.1
A组
1. x+y=98，
x-y=4
!
.
2.设这个队胜、负场数分别
为x，y，则x+y=15，
2x+y=26
!
.
3.是方程组（2）的解.
B组
4. D.
5. 设甲、乙的速度分别为
x km/h，y km/h，则x-y=1，
x+y=6
!
.
6.设第１排有x个座位，每
一排比前一排多y 个座位，则
x+4y=36，
x+19y=66
!
.
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教学目标
１．了解解二元一次方程组
的基本思想是消元．
２．了解代入法、加减法是
消元的方法．
３．会用代入法、加减法解
二元一次方程组．
教学重点、难点
教学重点：二元一次方程组
的解法.教学难点：用代入消元法或
加减消元法解二元一次方程组.
本小节通过尝试解决上节提
出的问题，从而引入二元一次方
程组的代入消元法，随后又通过
两个例题进一步介绍这种解法，
并归纳这种解法的一般步骤．
引导学生回顾上节列一元一
次方程的解法，并与此节的二元
一次方程组的求解过程进行比
较，使学生体验知识发生的过
程，领悟“转化”、
“消元” 的
思想．要让学生学会将一个二元一
次方程化为用含有一个未知数的
代数式表示另一个未知数的形式．
可启发学生尝试先消ｙ元
（如以ｙ＝ｘ-20代入x+ｙ＝60或以ｙ＝60-ｘ代入x-ｙ＝20）解方程组．让学生感悟解方程组的基本思想是消
元——
—变“多元” 为“一元”.
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必须强调要把ｘ＝－１，ｙ＝４代
入原方程组中的每一个方程进行
检验．通过检验，使学生明确通
过代入消元，的确可以求得方程
组的解．通过检验，可进一步巩固二
元一次方程组的解的概念，杜绝
变形和计算时发生的错误．检验
可以口算或在草稿纸上演算．从
例２起，以后的例题都没有写出
检验过程．
必须强调“……把它代入到
另一个方程中，……” 否则将会
得到一个数的恒等式．
例１、例２分别采用消去
“ｙ”，
“ｘ” 元的方法求解，要提
醒学生注意消元的灵活性．要使
代入法求解过程较为简捷，必须
注意使变形后的方程比较简单和
代入后化简比较容易．
补充例题
用代入法解下列方程组：
（1）
x=27-3y，
2x+3y=8
!
；
（2）
2a-b=5，
3a+4b=2
!
.
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练习
1. （1）y=2x+1.
（2）y=- 1
2 x+1.
2. （1）
x=66，
y=62
2
.
（2）
x=1，
y=1
2
.
（3）
a=3，
b=-2
2
.
（4）
m=0，
n=1
2
.
本小节从探究方程组
２ｘ＋3ｙ＝-1，
２ｘ－３ｙ＝
2
5 的解入手，首先用学
过的代入法求解，接着提问：还
有没有更简单的解法呢？教师可
适时提示解二元一次方程组的关
键是消去一个未知数，接着引导
学生观察方程组中两个方程同一
未知数系数之间的关系，发现可
以通过把两个方程的左、右两边
分别相减（或加），达到消去一个未知数的目的．随后的几个例题进一步介绍了加减消元法并归纳了这
种解法的一般步骤．
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教学中要注意小贴士的应
用. 教材将一些重要的方法或容
易产生疑问的地方进行适时提
示，鼓励学生自学，促使其发现
并提出问题.
例３给出的两个方程中，未
知数ｙ的系数互为相反数．根据
等式性质，只要把两个方程左、
右两边分别相加，就可达到消去
“ｙ” 元的目的．
补充例题
1.用加减法解下列方程组：
（1）
2s+5t=8，
3s+2t=5
5
；
（2）
2m+3n=6，
3m-2n=-2
5
.
2.已知3x-2y=1，
2x-3y=2
5
. 试求x+y和x-y的值.
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运用加减消元法解方程组的
条件是方程组中某一未知数系数
的绝对值相等．
当此条件不具备时，需利用
等式性质，使得某未知数系数的
绝对值相等．
练习
（1）
x=-3，
y=4
!
.
（2）
a=1，
b=-3
!
.
（3）
m=-2，
n=7
!
.
（4）
x=8，
y=- 9
2
2
$
$
$
$
#
$
$
$
$
%
.
学生在将方程变形时，往往
出现“只乘方程的一边或某些
项” 的错误，对此，应提醒学生
注意.
例4可让学生尝试用消去y
求解.
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本节课是对加减法和代入法
的综合运用，代入法和加减法的
共同特点都是通过消元解方程
组，将二元转化为一元；它们的
不同点在于，消元的方法不同，
一个是通过“代入” 消元，另一
个则是通过“加减” 消元. 对于
一个具体的方程组而言，用任何
一种方法都可以，但应根据方程
组的具体情况选择比较简便的方
法.教学时可引导学生对同一个
方程组尝试运用不同的方法求解
并加以比较，从而积累经验.
补充例题
若3x3m+5n+9+4y4m-2n-7=2是关于x，y的二元一次方程，则m与n的值分别是多少？
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练习
1. （1）
x=36
5 ，
y= 2
5
5
#
#
#
#
#
"
#
#
#
#
#
$
.
（2）
x=7，
y=-2
2
.
2. a=1，b=1.
学完本节课之后，应引导学
生对代入法与加减法做一小结．
比较这两种方法，可以发现其实
质都是消元，只是消元途径不同
而已．用消元法解方程组的过
程，就是把二元一次方程组转化
为一元一次方程的过程．
习题1.2
A组
1. （1）
x=3，
y=-3
2
.
（2）
s=2，
t=2
2 .
（3）
x=2，
y=-1
2
.
（4）
a=-8，
b=-3
2
.
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2. （1）
x=-4，
y=-7
!
.
（2）
x=6，
y=-9
!
.
（3）
m=1，
n=-3
!
.
（4）
x=-5，
y=2
!
.
（5）
x=- 2
5 ，
y=-19
5
5
$
$
$
$
$
#
$
$
$
$
$
%
.
（6）
p=6，
q=5
!
.
3. k= 1
2 ，b=-3.
B组
4. （1）
x=2，
y=-5
!
.
（2）
m=45
17，
!n=86
17
5
$
$
$
$
$
#
$
$
$
$
$
%
.
5.设这个两位数十位上的数
字为x，个位上的数字为y，则
y-x=5，
（10x+y）+（10y+x）=143
!
，
解得x=4，
y=9
!
.
答：这个两位数为49.
6.设地球上的海洋面积和陆地面积分别为x亿千米2，y亿千米2，则x+y=5.1，
x=2.4y
!
，
解得x=3.6，
y=1.5
!
.
答：海洋面积为3.6亿千米2，陆地面积为1.5亿千米2.
7.设飞机的速度为x km/h，风速为y km/h，则（x+y）×2=1 200，
（x-y）×2.5=1 200
!
，
解得x=540，
y=60
!
.
答：飞机的速度为540 km/h，风速为60 km/h.
15
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教学目标
１．会根据问题情境及条件
列出二元一次方程组，解方程
组，并检验解是否合理．
２．通过解决实际问题进一
步体会方程建模的过程和作用．
教学重点、难点
教学重点：列出二元一次方
程组解决实际问题.
教学难点：寻找等量关系.
列方程组为x+y=35，
2x+4y=94
4
.
解得x=23，
y=12
4
.
本节安排了几个实际问题，
目的在于引导学生经历建模—求
解—检验的过程，进一步体会方
程建模的作用与价值，在此过程
中，体会数学与生活的联系，同
时培养学生分析问题和解决问题
的能力．
资源拓展
《孙子算经》
《孙子算经》的确切成书年代不详.学者根据书中事物出现的时间，估计《孙子算经》成书于南北
朝. 全书共分三卷.上卷详细地讨论了度量衡的单位以及筹算的制度和方法.筹算在春秋战国时期已经
运用，但在古代数学著作如《算数书》、
《九章算术》等书中都不曾记载算筹的使用方法；
《孙子算
经》第一次详细地记述了筹算的布算规则：
“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相
望，百万相当”，此外又说明用空位表示零.中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数
列等计算题，大致都在《九章算术》论述的范围之内.下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即
著名的“鸡兔同笼” 问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”.下卷第28题“物不知数” 是后来的“大
衍求一术” 的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为中国余数定理.
16
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例1、例2中的等量关系较
复杂，应引导学生观察发现变化
过程中的不变，以找到等量关
系.
在解方程组时，仍应提醒学
生观察方程中未知数系数的特
点，选用合适的消元法，寻求简
便解法．
列方程组解应用题也要养成
检验的习惯．熟练后可不在过程
中写出．
本节课的最后，适时帮助学
生归纳建立二元一次方程组（模
型）解决实际问题的步骤. 这本
身是一种算法，同时也渗透了建
模的过程. 应让学生在熟练掌握
方法与步骤后，适时帮助其提
炼、归纳、总结，从而从整体上
认识方程组模型与实际问题的关
系.
补充例题
1.我国明朝时有一位著名的数学家叫程大位，在他的书中记录了这样一道名题：“100个和尚分
100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个，问大、小和尚各多少？”
2. 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅
食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的
1
3 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.” 你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
17
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练习
1.设合金中含金x g，含银y g，
则
x+y=250，
1
19x+ 1
10y=16
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
，
解得x=190，
y=60
0
.
答：合金中含金190 g，含
银60 g.本题还有一个有趣的背
景——
—“阿基米德与金冠之谜”，
有兴趣的教师或学生可查阅相关
资料.
2.设甲、乙两种商品原来的
单价分别为x 元，y 元，则
x+y=100，
90%x+140%y=120%（x+y）
0
，
解得x=40，
y=60
0
.
答：甲、乙两种商品原来的
单价分别为40元、60元.
本节课的重点是二元一次方
程组模型的应用. 首先是建立方
程模型，即根据各种数量关系抽
象成方程，然后是求解方程组，
最后是检验解的合理性. 在这一
过程中，一方面是指导学生解决
实际问题，另一方面还要适时渗
透模型、转化、消元的思想.
列方程组为
x
60+ y
80=10，
x
60+ y
40=15
!
#
#
#
#
#
"
#
#
#
#
#
$
.
解得x=300，
y=400
0
.
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本节课一共安排了3个实际
问题，这些问题更加接近生活的
实际，并且分析和解决这些问题
的难度有所加大.对于这些问题
的解决，应充分发挥学生的主观
能动性，自主学习，独立探究，
而后合作交流进行解答，进一步
积累运用方程模型解决实际问题
的经验，培养良好的数学思维习
惯以及分析问题、解决问题的能
力.
例3的等量关系只有一个，
围绕这个等量关系以及条件可以
列出两个方程.
例4 并没有列出等量关系
式，在教学时，需指导学生分析
等量关系，并结合复杂的已知条
件列出方程组.
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练习
1.设颐和园和圆明园的门票分
别为x元，y元，则30x+30y=750，
30x+20y=650
0
，
解得x=15，
y=10
0
.
答：颐和园和圆明园的门票
分别为15元、10元.
2.设购买的彩色地砖数和单
色地砖数分别为x块，y块，则
24x+12y=2 220，
2x-15=y
0
，
解得x=50，
y=85
0
.
答：购买了彩色地砖50块，
单色地砖85块.
习题1.3
A组
1.设80分与60分的邮票分别
买了x枚，y枚，则x+y=17，
0.8x+0.6y=12.2
0
，
解得x=10，
y=7
0
.
答：80分与60分的邮票各
买了10枚、7枚.
2.对，因为小亮所说的是6
月31日，这是不可能的.
3.设在限定量以内的水费每
吨x元，超出部分的水费每吨y元，则14x+6y=43，
14x+4y=38
0
，
解得x=2，
y=2.5
0
.
答：在限定量以内的水费每吨2元，超出部分的水费每吨2郾5元.
4.设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，则x+y=35，
12%x+13%y=4.4
0
，
解得x=15，
y=20
0
.
答：甲种贷款15万元，乙种贷款20万元.
20
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5.设应安排x天精加工，y天
粗加工，则x+y=16，
4x+8y=104
4
，
解得x=6，
y=10
4
.
答：应安排6天精加工，10
天粗加工.
B组
6.设种植了x棵核桃树，y棵
杏树，则
x= 1
2 （x+y）+11，
y= 1
3 （x+y）-2
2
$
$
$
$
$
#
$
$
$
$
$
%
，
解得x=38，
y=16
4
.
答：核桃树和杏树各种植了
38棵、16棵.
7. （1）设这批学生的人数
为x人，原计划租用y 辆45 座
客车，则45y+15=x，
60（y-1）=x
4
，
解得x=240，
y=5
4
.
答：这批学生有240名，原
计划租用5辆45座客车.
（2）租4辆60座的客车合算.
8.设该经营户购进了西红柿
x kg，豆角y kg，则x+y=40，
1.2x+1.6y=60
4
，
解得x=10，
y=30
4
.
他当天卖完这些西红柿和豆角能赚（1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=33（元）.
9. （1）x=2，y=1.
（2）正方形和长方形的面积分别为36，35.
21
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资源拓展
公元5世纪我国古代数学家张丘建在他的《算经》中有一道世界著名的百鸡问题：
“鸡翁一，值
钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡.问鸡翁、母、雏各几何？” 此题经过化简得到
一个不定方程（设鸡翁为x只，鸡母为y只，鸡雏为z只）：7x+4y=100.
该题有以下几种结果：
x
0
4
8
12
y
25
18
11
4
z
75
78
81
84
教学目标
1.了解三元一次方程组的概
念.
2.会运用代入法和加减法解
简单的三元一次方程组.
教学重点、难点
教学重点：三元一次方程组
的解法.教学难点：如何消元.
本节内容是这次新增的内
容，目的是通过解三元一次方程
组进一步体会消元法的思想方
法，同时为九年级学习二次函数
时利用待定系数法求二次函数解
析式奠定基础.由于是选学内容，
不对全体学生做要求，因此在难
度设置上不宜太难，重点应放在
体会“转化” 与“消元” 的思想
上.
22
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教学“动脑筋” 内容时，应
适时渗透“转化” 思想. 通过
“消元”，将三元转化为二元，最
后到一元.
消元的基本方法仍然是代入
法和加减法.
23
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练习
1. （1）
x=1，
y=6，
z=-6
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
（2）
x=8，
y=-5，
z=-2
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
2.设甲、乙、丙三人的年龄分
别为x岁，y岁，z岁，则
x+y=15，
y+z=16，
z+x=17
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
，
解得
x=8，
y=7，
z=9
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁、7岁和9岁.
“做一做” 栏目的目的是希
望教师讲解完例题以后，还能引
导学生从消去未知数z的角度解
答这个例题，而后与例题的结果
进行比较.一题多做，可以使学
生获得更多收获.
24
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习题1.4
A组
1. （1）
x=1，
y=2，
z=-3
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
（2）
x=3，
y=-5，
z=4
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
2. （1）
x=3，
y=-2，
z=-5
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
（2）
a=- 5
27，
b=17
9 ，
c= 100
27
!
#
#
#
#
#
#
#
#
#
"
#
#
#
#
#
#
#
#
#
$
.
3. a=2，b=-5，c=-6.
B组
4. 设这个三位数百位上的
数字为x，十位上的数字为y，
个位上的数字为
z，则
100x+10y+z=27（x+y+z），
x+z=y+1，
100z+10y+x=100x+10y+z+99
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
，
解得
x=2，
y=4，
z=3
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
.
答：这个三位数是243.
5.设上、中、下三等谷每束分别为x斗，y斗，z斗，则
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26
!
#
#
#
#
"
#
#
#
#
$
，解得
x=37
4 ，
y=17
4 ，
z=11
4
!
#
#
#
#
#
#
#
#
#
"
#
#
#
#
#
#
#
#
#
$
.
答：上、中、下三等谷每束分别为37
4 斗、17
4 斗、11
4 斗.
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小结与复习通过回顾本章的
主要内容，使学生对方程组以及
方程组的解的概念有进一步的理
解．掌握解二元一次方程组的基
本思想（消元）和基本方法（代入
法和加减法）．能灵活运用代入
法或加减法解二元一次方程组并
会列出二元一次方程组解决简单
实际问题．
“注意” 栏目中列举了学习
本章知识时要留意的地方，这些
事项在前面的学习过程中已做了
强调，在这里重新把这些问题提
出来，有利于学生整体回顾，建
议教师在小结与复习中通过具体
的例子对注意事项进行再说明，
以达到事半功倍的效果.
资源拓展
本书中许多题目都源自《九章算术》. 《九章算术》是中国古代数学专著，是“算术十书” （汉唐之
间出现的十部古代古算术）中最重要的一部.它上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的
删补才最后成书.它的出现，标志着中国古代数学体系的形成. 《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、
日本，现在已被译成日、德、意、法等多种文字.
习题1.4中的第5题还讲述了中国古代是借助算筹来列方程组并求解，这一方面是当时中国古代
所取得的数学成就，另一方面也反映出若没有给出字母系数的表达方法，数学将难以发展，可见把事
物抽象到符号表达是多么重要，而阿拉伯人、欧洲人率先做到了这一步.
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复习题1
A组
1. x=5，
y=2
!
.
2. （1）
m=3，
n=-5
!
.
（2）
x=4，
y=3
!
.
（3）
x=3，
y=-2
!
.
（4）
x= 1
2 ，
y=2 1
4
4
$
$
$
$
$
#
$
$
$
$
$
%
.
3. （1）
x=-2，
y=3
!
.
（2）
m=4，
n=7
!
.
4. k=1.8，b=32.
5.设她每天应喝牛奶x盎司，
橙汁y盎司，则38x+5y=550，
56x+60y=1 200
!
，
解得x=13.5，
y=7.4
!
.
答：她每天应喝牛奶13.5
盎司，橙汁7.4盎司.
6.设他2月份的跳高成绩为
x m，每个月提高的高度为y m，
则x+y=1.45，
x+5y=1.53
!
，
解得x=1.43，
y=0.02
!
.
答：2月份跳高成绩是1.43 m，每月提高的高度是0.02 m.
7. （1）10x+2y+38.
（2）由题意可得10x-2y=22，
10x+2y+38=2y×9.5
!
，
解得x=3，
y=4
!
.
所以铺地砖的总费用为（10×3+2×4+38）×85=6 460（元）.
27
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8. 设有x 人参加志愿者活
动，每箱有y 瓶矿泉水，则
x-8=2y，
2x=5y-8
8
，
解得x=56，
y=24
8
.
答：有56 人参加志愿者活
动，每箱有24瓶矿泉水.
9. （1）
x=2，
y=1，
z=-1
1
$
$
$
$
#
$
$
$
$
%
.
（2）
x=1，
y=-2，
z=-3
1
$
$
$
$
#
$
$
$
$
%
.
B组
10. （1）
x=9，
y=-2
8
.
（2）
x=25
3 ，
y=-22
9
1
$
$
$
$
$
#
$
$
$
$
$
%
.
11.设起步价允许行驶的最远
路程是x km，超过部分每千米车
费是y元，则10+（10-x）y=21.2，
10+（14-x）y=27.6
8
，
解得x=3，
y=1.6
8
.
答：起步价允许行驶的最远
路程是3 km，超过部分每千米车费1郾6元.
C组
12.无解.
13.有无穷多个解.
14.设谢军和加里亚莫娃的积分分别是x分，y分，则x+y=15，
x-y=2
8
，
解得x=8.5，
y=6.5
8
.
答：谢军和加里亚莫娃的最后积分分别是8.5分、6.5分.
本题的关键是找到等量关系：不论胜负如何，每盘棋两人的得分之和总是１分，因此１５盘棋两
人的总得分是１５分.
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“数学与文化” 栏目中的内
容主要是介绍数学学科知识背
景、数学在自然与社会中的应
用、数学发展史的有关材料等，
目的是帮助学生了解数学在人类
文明发展中的作用，激发学生学
习数学的兴趣，感受数学家治学
的严谨性，欣赏数学的美.
本内容可以让学生自行阅
读，教师加以引导. 如通过网络、
书籍收集关于消元法的史料，查
找高斯的介绍，查找计算机解方
程的原理是怎样的，以激发学生
学习数学的兴趣.
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一次方程组的相关史料
一次方程组也叫线性方程组，是最简单也是最重要的一类代数方程组.
我国是研究一次方程组最早的国家之一. 公元3世纪，我国著名的数学家刘徽曾这样解释“方程”
的含义：
“程，课程也. 群物众杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆
如物数程之，并列为行，故谓之方程.” 其中，
“令每行为率” 是按条件列等式的意思. “如物数程之”
是说有几个未知数列几个等式. 然后，再用竹制的算筹布列出一个方阵，就是我们今天所使用的方
程组.一次方程组的解法早在中国古代的数学名著《九章算术》方程中已经做出了比较完整的论述. 所用
的方法本质上相当于现代对方程组的增广矩阵施行初等变换、消去未知数的方法.
在西方，一次方程组的研究始于17世纪后期的莱布尼兹. 马克劳林在18世纪上半叶研究了具有
二、三、四个未知数的一次方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果. 克莱姆不久也发表了这个法
则. 到了19世纪，英国数学家史密斯引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的术语. 道奇森证明了n个
未知数m个方程的方程组相容的充要条件，使方程组理论臻于完善.
二元一次方程组的解法
（1）消元法
消元法包括代入消元法与加减消元法等.
代入消元法就是从方程组中的某一个方程中解出一个未知数（用含其他未知数的代数式表示），再
将这个未知数的表达式代入这个方程组的其他方程中，在其他方程中消去这个未知数.
加减消元法就是将方程组的一些方程分别乘以适当的数，使得某一个未知数的系数相加减等于0，
然后将这些方程相加减，消去这个未知数.
（2）公式法
对于方程组a1x+b1y=c1，
a2x+b2y=c2
2
，
当a1b2≠a2b1时，有唯一解
x= c1b2-c2b1
a1b2-a2b1
，
y= a1c2-a2c1
a1b2-a2b1
1
%
%
%
%
%
$
%
%
%
%
%
&
.
Ⅲ.本章相关链接
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第2章整式的乘法
Ⅰ.概述
一、课程内容
1．掌握幂的运算法则（同底数幂、幂的乘方与积的乘方），理解法则的推导过程和运算依据，能
灵活运用法则进行计算.
2．能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘），知
道运算律是推导运算法则的理论依据．
3．能推导乘法公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，了解公式的几何背景，并能利用这些公式
进行简单计算．
二、课时建议
2．1 整式的乘法
6课时
2．2 乘法公式
4课时
小结与复习
2课时
三、教材说明
本章的主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习
的. 其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础. 在学生掌
握了幂的运算性质后，教材安排了单项式的乘法，这是学习多项式乘法的基础，在此基础上，利用分
配律进一步学习多项式的乘法，最后在整式乘法的基础上学习乘法公式. 这样使得整章的运算从简到
繁，由易到难，层层递进，环环相扣.
根据知识间内在的逻辑性，本章的教学内容分为6个小节，顺序安排如下：
本章的概念、运算法则、公式多，因此教材编写力求做到贴近学生生活实际，概念的引入多借助
学生熟悉的例子，每个法则、公式的得出均注意采用“问题情境—观察—抽象—归纳猜想—演绎推
理，得到法则” 的模式，教师在教学时，应重视这一过程的价值，让学生亲身经历这一数学思维的过
程，帮助学生积累数学活动经验，以及建立数学直观. 尤其值得指出的是：合情推理（归纳猜想）与
演绎推理的结合是本章的特色. 合情推理是发现命题、提炼公式的有效工具，在培养人的创新性思维
方面起着重大作用，而演绎推理在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用. 在教学时应充分重视这
一点，以教材为基础，探讨知识发生的过程，并和学生一起研究如何经过由具体到抽象，概括得到性
质、法则和公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法.
本章所有运算法则的理论依据都是运算律以及同底数幂的乘法法则. 理解并掌握这一法则，灵活
运用交换律、结合律以及乘法对加法的分配律便可得出整式其他的运算法则. 所以，在教材编写中，
我们强调了运算律的应用. 有些法则，如“单项式与多项式相乘”，我们直接用了一句实质性的话——
—
同底数幂
的乘法
幂的乘方与
积的乘方
单项式
的乘法
多项式
的乘法
平方差
公式
完全平
方公式
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“可以运用乘法对加法的分配律”，引导学生归纳总结出单项式与多项式相乘的法则.
本章不必要求学生死记硬背每条运算法则，而重在认识、区别和理解每条运算法则的算理，并能
灵活运用.
对于乘法公式，
《课标》只要求会推导并掌握最基本的两个：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，
即平方差公式和完全平方公式. 考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡，本章在保证《课标》
的基本要求的前提下，体现了一定的弹性. 例如，我们把除平方差公式及完全平方公式以外常用的乘
法公式（即（a±b）3，（a±b）（a2芎ab+b2），（a+b+c）２等）以练习或习题的形式呈现出来，特别是在复习题C
组中集中呈现，可以让学有余力的学生自行推导这些乘法公式. 鉴于《课标》对“多项式相乘仅指一
次式之间以及一次式与二次式相乘” 的原则，这些公式不要求每个学生都掌握.
本章许多课堂练习中安排了“下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？” 一类的练习题. 教学
中不能满足于让学生说出正确答案即可，要让学生切实理解为什么不对，然后再继续下一个步骤.
四、评价建议
１．在课堂教学中，要注意每个学生在学习过程中的兴趣，结合具体教学过程和问题情境，及时了
解每个学生是否积极主动参与“动脑筋”、
“做一做”、
“探究” 等教学活动，以及他们对所涉及的数
学问题所做的判断、结论正确与否并做出评价.
２．由于本章内容多是概念和法则，要重在评价学生对这些概念是否能正确理解，法则是否能正
确、灵活的应用，改变以考试的形式默写定义、法则、公式评价学生对本章知识掌握程度的死板的方
法．要采取多变、活泼的形式，创造轻松、愉快的情境，如对话、交流、讨论，通过这些方法，对学
生掌握知识的程度、应用的能力做出客观的评价．
3. 本章教学中的过程性评价应关注的问题.
在引导学生进行“动脑筋”
“议一议” 等活动中，不能仅关注基础知识、基本技能的掌握，还要
关注学生是否积极参与数学问题的讨论，是否敢于发表自己的观点，能否用自然语言、符号语言、图
表语言等不同的语言来进行表达. 过程评价要注重学生参与活动的程度和在活动中表现出来的思维水
平．要对学生在学习过程中的点滴闪光点进行适时肯定和鼓励，使学生获得成功的乐趣，树立自信心，
激发学习数学的兴趣，保护和激发对数学的好奇心、求知欲．
4. 注重评价主体和评价方式的多样化
除普通形式的书面测试外，要注意使用多种形式进行评价．可以让学生进行自评或互评，也可以
采用课题研究与小组合作交流的评价方式．
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本章章前图是一套房屋的户
型图，图中用字母标明了长度，
可让学生在已有代数式运算的基
础上，尝试用乘法来计算户型面
积，从而引出整式可以像数一样
进行乘法运算.
Ⅱ. 教学建议
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教学目标
通过对特例的探索，发现同
底数幂的乘法法则，并会运用幂
的乘法法则进行计算.
教学重点、难点
同底数幂的乘法法则.
同底数幂的乘法是整式乘法
的基础．只要掌握了同底数幂的
乘法法则，结合３个运算律，其
他的乘法法则均可推导出来．对
此，教师应引起足够的重视．
正确理解底数、指数、幂等
概念，是理解和推导同底数幂的
乘法法则的基础．教师应首先复
习幂的相关知识．
“做一做” 栏目的3个问题
涉及三个方面：
（1）同底数幂中，底数为数；
（2）同底数幂中，底数为字母；
（3）同底数幂中，底数、指
数均为字母.
从特殊到一般的探索并发现
规律，这个过程实质是一种归纳
推理，教师可让学生自主探索、合作交流，以获得归纳思维的活动经验，切实提高学生的归纳思维水
平. 同时，教师应帮助学生概括、抽象从特殊到一般的情形，引导学生说出每一步的根据.
“做一做” 栏目的整体设计蕴含了“观察—抽象—猜想—论证” 的数学思维方式，教师在教学过
程中注意让学生体会这种科学的数学思维方式，适时提醒学生，通过少数几个案例发现的猜想是由不
完全归纳法得出的结论，数学上还应该严格的证明以得到一般形式.
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同底数幂的乘法法则的表达
式中ａ是任意数，但ｍ，ｎ必须
都是正整数（否则这个推导过程
就失去意义）．对于后者，教师不
必过分强调．因为将来指数概念
扩充以后，ｍ，ｎ可以为任何实
数，对此，亦不必向学生说明．
应该要求学生在得到法则
ａｍ·ａｎ＝ａｍ＋ｎ（ｍ，ｎ都是正整数）
后，把这个法则用语言叙述出
来，以逐渐培养学生数学语言的
表达能力.
“议一议” 环节是为了得到
三个或三个以上的同底数幂相乘
的乘法公式而设计的. 这样安排，
一是为了拓宽学生的视野，二是
为今后的复杂计算带来方便. 教
师可视学生的不同情况，鼓励其
自行推导，或是观察实例获得猜
想，由教师帮助其进一步抽象、
概括得到一般公式.
练习
1. （1）1010.
（2）x8.
（3）a5.
（4）y8.
资源拓展
归纳推理
归纳推理是一种特殊的推理，一种前提和结论间不具有蕴涵关系的推理，它从个别性的前提推出
一般性的结论. 如推理：金能导电，银能导电，铜能导电，铁能导电，锡能导电，金、银、铜、铁、
锡都是金属，所以，金属能导电.
归纳推理与演绎推理的主要区别是：（1）演绎推理的前提是结论的充分条件；归纳推理的前提是
结论的必要条件. （2）演绎推理是从一般到特殊，归纳推理是从特殊到一般. （3）演绎推理的结论在
逻辑上是必然的；归纳推理的结论是或然的，通常有待修正.
归纳推理可分为完全归纳推理与不完全归纳推理，而不完全归纳推理又可分为简单枚举归纳推理
和科学归纳推理.
目前逻辑学家对归纳推理与归纳法之间关系有两种看法：一曰，归纳法就是归纳推理；一曰，归
纳法除包括归纳推理外，还包括归纳过程的一切思维方式，如观察、实验、比较、分类、分析、综
合、抽象、概括等方法.
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2. （1）29.
（2）x9.
（3）-a10.
（4）am+1.
（5）x2m.
在讲解习题或指导学生演算
时，教师应提示：①不能丢掉指
数为１的幂的指数；②幂运算的
意义及符号法则，例如练习第2
题第（３）小题中的－ａ５是ａ５的相反
数．
教学目标
通过从特殊到一般，从数到
字母的探索，并结合同底数幂的
乘法法则，归纳幂的乘方与积的
乘方法则.
会运用幂的乘方法则与积的
乘方法则进行计算.
教学重点、难点
教学重点：幂的乘方法则与
积的乘方法则.
教学难点：同底数幂的乘
法、幂的乘方、积的乘方这三个
法则的区别与联系.
教材对幂的乘方的设计与同底数幂的乘法的设计思路是一致的，即鼓励学生先观察一些具有特点
的式子获得猜想，然后对一般形式进行推理. 这一过程须注意几个方面：
（1）教材所呈现的3个案例有一定的代表性，教师可适时补充一些其他的例子，让学生获得一些
直观的体验；
（2）通过观察式子中指数与底数的变化规律获得猜想，这一过程应鼓励学生多做交流，合情推理
（采用不完全归纳法），这是积累学生基本活动经验的极好的载体；
（3）最后还应对猜想进行验证，即得到一般情况，此时应适时说明：合情推理得到的结论不一定
正确，还要经过演绎推理来验证.
教材对“做一做” 的整体设计渗透了“观察—抽象—猜想—论证” 的思维过程. 这是一个需要长
期重视培养的思维过程. 这对于提高学生的数学素养是极其有利的.
37
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要使学生知道幂的乘方法则
是根据乘方的定义及同底数幂的
乘法法则得到的．
对于幂的乘方法则的语言叙
述，要正确理解其含义，特别要
与同底数幂的乘法法则“底数不
变，指数相加”相区别．让学生从
法则的推导过程中弄明白为什么
一个是“指数相加”，而另一个
是“指数相乘” 的道理，而不是
死记硬背．
练习
1. （1）1012.
（2）a9.
（3）-x15.
（4）x8.
2. （1）不对，应为a12.
（2）不对，应为a6.
这类练习题可先让学生直接
说出对不对，如果学生认为不
对，还要让学生指出错在哪里，
然后再改正.
3.略.
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本节课的重点是积的乘方.
教师应重视“做一做” 栏目的教
学环节，与前两节课保持风格一
致. 鼓励学生自主探索，发现猜
想，并论证. 在获得基础知识的
同时积累基本活动经验.
和前面两个法则的设置一
样，这个法则也是先通过探索几
个具有特点的式子，说明积的乘
方的意义和导出法则的每一步的
依据，然后归纳出积的乘方法则
的一般情形. 这个法则也很容易
推广到三个及三个以上因式的情
形. 教学时要明确推导这一法则
的依据，让学生掌握算理.
教学过程中，要使学生弄清
“积的乘方” 与“幂的乘方” 这
两个概念的区别．
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关于“议一议” 这个公式的
推导：
练习
1. （1）
１
8 x3 .
（2）x4y4 .
（3）－8m6n3 .
（4）81a4b8c12 .
2. （1）不对，应为a2b6 .
（2）不对，应为8x3y3 .
先让学生说对不对，如果不
对，说出错在哪里，然后再改
正.
3. 3x4y4z4 .
（ａｂｃ）ｎ＝
（abc）·…·（abc）=
（a·a·…·a）·（b·b·…·b）·
（c·c·…·c）=aｎbｎcｎ.
ｎ个ａｂｃ
ｎ个ａ
ｎ个ｂ
ｎ个ｃ
教师可引导学生说出推导过
程中每一步的算理.
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４ｘｙ·（－３xy2 ）
＝４·（－３）（ｘ·ｘ）（ｙ·ｙ２）
（利用乘法交换律及结合律）
＝－１２ｘ2ｙ３．
本小节是建立在前几节的基
础上，教师应引导学生利用运算
律及幂的运算法则，单项式的乘
法便可以顺利完成．所以，运算
法则不要求学生死记硬背，只要
求学生会计算．
教材关于运算法则的表述，
与传统的表述相比，省略了像
“对于只在一个单项式里含有的
字母，关于连同它的指数作为积
的一个因式” 之类的语句．事实
上，单项式的乘法只包含两个运
算：系数相乘及同底数幂的指数
相加．至于只在一个单项式里含
有的字母，显然不变地写在积
里，这点学生不难理解．
教学目标
能通过简单的单项式与单项
式相乘，结合运算律探究得到单
项式与单项式相乘的法则.
教学重点、难点
单项式与单项式相乘的法
则.
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练习
1. （1）- １
2 x3y3z .
（2）16x5y4 .
2. （1）不对，应为12x5 .
（2）不对，应为- 4x4 .
3. （1）- 6x2n+1 .
（2）x2n+1y4 .
在熟悉了单项式的乘法之后，利用乘法对加法的分配律即可完成单项式与多项式相乘的运算，本
节课并没有新的知识点，在教师的指导下，根据学生的情况适时补充几个案例，学生是能够掌握单项
式与多项式相乘的算理的．
教学目标
能根据分配律和单项式与单
项式相乘的法则探究得到单项式
与多项式相乘的法则.
通过具体实例并结合单项式
与多项式相乘的法则，总结多项
式与多项式相乘的法则.
教学重点、难点
单项式与多项式、多项式与
多项式相乘的法则.
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练习
1. （1）-2x3+10x2y.
（2）12x3-4x2+4x.
（3）-12x2-6x.
（4）15a2-9ab.
2.原式可化简为-2x2y3- １
2 x3y.
当x=-2，y= １
2 时，原式的
值为1.
本小节的例题是前几节知识
的综合运用，同时也为下节课学
习多项式与多项式相乘打下基
础. 教师应足够重视.
在利用乘法分配律时，一定
要注意单项式的符号和多项式中
每一项的符号，学生在计算中往
往容易发生符号错误，教师须提
醒学生引起足够的重视，可以借
助例11，详细讲解清楚．
补充例题
先化简，再求值：
（1）（3x+1）（2x-3）-（6x-5）（x-4），其中x=2；
（2）（y-2）（y2-6y-6）-（y2-2y-15），其中y=1.
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本节课学习多项式与多项式
的乘法．为了让学生直观地理解（ａ＋
ｂ）·（ｃ＋ｄ）的结果的正确性，教材
通过“动脑筋” 栏目设计了用三
种不同的方法来计算同一套居室
的面积．先让学生直观地得到结
论，再两次运用乘法分配律验
证. 在教学中，要启发学生真正
“动脑筋”，展开必要的交流讨
论，使学生在轻松、活泼的情境
中，自然而然地得到正确结果．
运算时先要把（ｍ＋ｎ）看成一
个单项式，因学生过去接触不
多，可能不易理解，但这又是一
个很重要的数学思想和方法．可
具体结合“动脑筋” 的计算过
程，把（ｍ＋ｎ）看成东西向的长度，
应用一次乘法分配律，得ａ（ｍ＋ｎ）
＋ｂ（ｍ＋ｎ），再运用一次分配律，得
到结果ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ．
要引导学生，通过教材中箭头的指示，用自己的语言来表述出多项式与多项式相乘的法则．
学生在具体做题时，容易发生“漏乘” 的错误，务必引起教师注意．可配合后面的练习第１题进
行教学．在运用法则得到乘积的结果后，一定要注意观察是否有同类项，如有同类项还必须合并，才
能得到最后的运算结果．
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如果学生对于多项式乘法运
算不熟练，可以不必急于像例
12 那样省略第一步，可仍然按
例11那样做，对此，应视学生
的接受情况而定．
例13实际上是为下节要学
习的乘法公式做铺垫的，所以此
处切不可直接运用后面的乘法公
式．
资源拓展
法国数学家帕斯卡
帕斯卡（1623—1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家.他16岁时就发现了著名的“帕斯卡
定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”. 19岁时，发明了世界上第一台机械式的计
算机.帕斯卡对数学最大的贡献是创立概率论.为了解决概率论中的问题，帕斯卡广泛应用算术三角形
（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律.
二项式定理：（a+b）n=C0
nan+C1
nan-1+C2
nan-2b2+…+Cr
nan-rbr+…+Cn
nbn=∑Cr
nan-rbr（n∈N*）.
n
r=0
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习题2.1
A组
1. （1）a5.
（2）x8.
2. （1）a6.
（2）-x5m.
（3）-8x6y3.
（4）p2nqn.
3. （1）-a5.
（2）x3.
（3）-x5.
（4）a6.
提醒学生注意符号的运算.
4. （1）6a4b.
（2）-6x3y3.
（3）6×1011.
（4）3×1011.
（5）ab×106.
5. 3.6×1016 m.
6.这个长方体的体积和表面积分别为2.16×1010 cm3，1.026×108 cm2.
练习
1. （1）不对，应为6a2+ab-b2.
（2）不对，应为-x2-2x+3.
2. （1）x2+x-6.
（2）x2+6x+5.
（3）x2-x-20.
（4）x2-6x+9.
3. （1）x2+4xy+4y2.
（2）2m2-3mn-2n2.
（3）9a2-4b2.
（4）9a2-12ab+4b2.
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7. （1）-8a3b+a3b2-2a2.
（2）6x3y2-3x2y2.
（3）11x4y2+2x3.
（4）-11m3n-7m2n2.
8.
（1）不对，应为２1m2-
4mn-12n2.
（2）不对，应为-2x2y2+
7xy3-6y4.
9. （1）x2-4.
（2）4x2-1.
（3）9m2+6mn+n2.
（4）x2-4x+4.
本题中各小题可用乘法公式
计算，现在让学生根据多项式乘
法来计算是为下一节做铺垫.学
生在下一节学了乘法公式后再来
解本题，便可进一步体会利用乘
法公式的便捷.
10. （1）-5x2-2x+3.
（2）a2-3ab-6b2.
11.原式可化简为-2x2+27x-
17，
当x =- 1
２时，原式的值
为-31.
B组
12. （1）x3m-1.
（2）y3n+2.
（3）-a6.
13. 6次，217.
14. （1）4x4-y4.
（2）x3-y3.
15. 22+ π
２
２
"x2+（124+60π）x.
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教学目标
能根据特殊形式的多项式相
乘，推导出平方差公式，了解公
式的几何背景，并能进行简单的
计算．
教学重点、难点
掌握平方差公式的结构特
征，理解公式中字母的含义，并
能正确地运用公式.
把具有特殊形式的多项式相
乘的结果直接应用，这就是乘法
公式．本节介绍的两个乘法公式
是最基本、最常用的公式．必须
让学生掌握并灵活运用.
能正确而熟练地运用乘法公
式，关键是掌握每个公式的结构
特征．为此，本节安排了三个小
节，2．2．１节与2．2.２节是直接套
用公式，而2．2．３节则必须通过
变形后才能使用乘法公式，即乘
法公式的灵活运用．在教学时，
教师必须把握好两个层次，只有
当学生能较熟练地直接套用公式
后，才有可能利用变形加以灵活
运用．
“动脑筋” 栏目的设计与2.1
节“做一做” 栏目的设计思路是
一致的.先让学生观察算式的特征，猜想出一般形式，最后进行验证. 教材总是在合适的内容里渗透“观
察—抽象—猜想—论证” 这一数学思维方式，教师应予以高度重视，此设计对于培养学生经历归纳推
理的过程，获得归纳思维的活动经验，建立数学直观是极为有益的. 同时，应适时提醒学生，用不完
全归纳法得出的结论必须逻辑推理验证，这对于培养学生科学、严谨的数学素养是有利的.
公式的语言表述，有利于对公式的理解及运用．
“说一说” 栏目是为了强调平方差公式的几何背景，教师可指导学生用纸片实际操作、计算，并
解释平方差公式，以进一步理解公式.
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要使学生理解公式中的字母
的含义，它可以是一个字母，也
可以是一个数，还可以是一个代
数式．如例１中，２ｘ是单项式，
１是数；例３中，１０００与２都是
数．
补充例题
运用平方差公式计算：
（１）（x＋１）（x-１）-（x＋2）（x-2）；
（２）105×95.
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练习
1. （1）不对，应为x2-4.
（2）不对，应为-4x2+1.
2. （1）m2-4n2.
（2）9a2-b2.
（3）
１
4 x2-y2.
（4）1-25a2.
3. （1）39 996.
（2）2 499.96.
教学目标
能根据多项式的乘法发现规
律，进一步归纳出完全平方公
式，了解公式的几何背景，并能
进行简单计算.
教学重点、难点
掌握完全平方公式的结构特
征，理解公式中字母的含义，并
能正确地运用公式.
本小节的“动脑筋” 栏目仍
是按照“观察—抽象—猜想—论
证” 的思路进行设计的. 对此，
教师应引起足够重视，鼓励学生
自主探索，发现规律并论证，在
获得基础知识的同时积累基本活动经验.
“做一做” 栏目是对完全平方公式的补充.
得到完全平方公式后，应鼓励学生用自己的语言描述完全平方公式，以加深对公式的理解.
50
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“说一说” 栏目中的图2-4
可以阐释完全平方公式（a+b）2
的几何背景，但不要反过来把它
作为推导公式的背景，教师应照
教材P44 “动脑筋” 栏目的设
置，以“观察—抽象—猜想—论
证” 的思路来开展教学活动，切
实落实培养学生的基本活动经
验，这对于提高学生的基本数学
素养是极其有利的.
补充例题
如果（ax2y）2=4x4y2，（bxy2）3=- １
8 x3y6，那么（ab）3的值是多少？
51
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练习
1. （1）不对，应为x2+4x+4.
（2）不对，应为a2+2ab+b2.
2. （1）x2+8x+16.
（2）4a2-12a+9.
（3）25m2-5m+ １
4 .
3.略.
本节课是对完全平方公式的
综合应用，教师应先复习完全平
方公式，再展开本节课的教学.
在计算过程中，会出现多种
算法，教师应鼓励学生尽可能将
自己的算理与做法说出来，加深
对公式的理解并灵活应用.
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练习
1. （1）4a2-12a+9.
（2）9x2-3x+ １
4 .
（3）x4+8x2y+16y2.
（4）4b2-4b+1.
2. （1）8xy.
（2）a2+b2-2ab+2a-2b+1.
3. （1）10 609.
（2）88 209.
补充例题
1.已知a+b=3，ab=-12，求下列各式的值：
（１）a2+b2；
（２）a2-ab+b2.
2.计算：（1）1 0022；
（2）992.
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教学目标
会用乘法公式进行计算.
教学重点、难点
能灵活运用乘法公式进行计
算.
本小节是综合运用所学的乘
法公式进行计算. 在运算过程中
会出现多种算法，也会出现各种
错误的做法. 在鼓励算法多样性
的同时，要紧扣使算法简捷这个
思路. 同时结合错误案例进行点
拨、提示，以使学生获得基本的
运算技能.
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练习
1. （1）x4-16.
（2）ａ２＋4ａｂ＋4ｂ２-1.
（3）4m２-n２+2n-1.
（4）x4-2x2+1.
提醒学生灵活应用公式.
2. ａ２＋ｂ２＋ｃ２-２ａｂ＋２bｃ-２aｃ.
3.设原来的边长为x cm，则
有（x+2）2=x2+16. 解得x=3.
（ａ＋ｂ＋ｃ）２
＝［（ａ＋ｂ）＋ｃ］２
＝（ａ＋ｂ）２＋２（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ２
＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２＋２ａｃ＋２ｂｃ＋ｃ２
＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂ＋２ａｃ＋２ｂｃ.
补充例题
一个正方形的边长为m+n，现将一边长增加a，并将它的邻边长减少a，得到一个长方形，求这
个长方形的面积.
55
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习题2.2
A组
1. （1）4x2-y2.
（2）a2-b2.
（3）0.04x2-0.01.
（4）9 996.
2. （1）25a2+40ab+16b2.
（2）9x2-12xy+4y2.
（3）4m2+4m+1.
（4）99.600 4.
3. （1）-x2+4.
（2）2x-1.
（3）2a.
（4）-x2-2x-1.
4. （1）-5x2+3y2.
（2）4ab-2b2.
B组
5. （1）x2-4y2+12yz-9z2.
（2）x2+4y2+4xy-2x-4y+1.
提醒学生恰当地将某两项看
作一个整体.
6. 原式可化简为16x4-y4."当
x= 1
2 ，y= 1
３时，原式的值为80
81.
7.面积为：
（b+２a）a- １
2 b
b
"× １
2
＝a+ １
2 b
b
"a- １
2 b
b
"
＝a2- １
4 b2.
8. ａ２＋ｂ２=（a-b）２＋２ａｂ＝49+2×
18＝85.
9.由题意可得甲、乙、丙三
数分别为２ａ，4ａ+3，4ａ-3，则三
数的积为２ａ（4ａ+3）（4ａ-3）＝32ａ3-
18ａ. 当ａ＝- １
3 时，这三个数的
积为130
27 .
56
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小结与复习旨在让学生通过
思考与交流，梳理本章所学知
识，加深对本章学习内容的理
解，形成知识体系. 同时，让学
生在梳理的过程中提高自己的归
纳、概括能力.
在“回顾” 栏目中，教材通
过问题的形式引导学生复习本章
各节中的主要内容，教师应让学
生独立回顾思考，用自己的语言
来表述，而不是简单重复教材的
内容，只要学生说得合理，教师
都应给予充分肯定，然后再与学
生交流.教材通过框图的形式呈现出
本章的知识结构，这样便于学生
掌握本章所学知识的脉络与相互
联系.
“注意” 栏目中列举了学习
本章知识时要留意的地方，这些
在前面的学习中教师和教材都有
强调，在这里重提这些注意问
题，便于学生整体回顾. 建议教
师在小结与复习中以列举实例来
说明要注意的事项，而不是空洞
地说明.需指出的是，在本章学习过
程中，涉及了数形结合、转化、
类比、分类讨论等重要的数学思
想和方法，在复习课教学中，教
师要通过具体的问题给予进一步
的提示和渗透.
57
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复习题2
A组
1. （1）-b4.
（2）a9.
（3）-x3.
（4）-8a6b3.
（5）-10x2y.
（6）- 4
3 x3y4.
2. （1）-2x2y+3xy2.
（2）-15m2+ 3
2 m2n.
（3）2a2+3a-5.
3. （1）x2-4.
（2）-9a2+1.
（3）4m2+20m+25.
（4）4y2-12y+9.
4. （1）-6x-18.
（2）-x2y2+z2.
（3）x2-4y2+4y-1.
5. （1）原式可化简为6x2-
4xy. 当x=-1，y=2时，原式的值
为14.
（2）原式可化简为4xy-8y2.
当x=-2，y= 1
2 时，原式的
值为-6.
6. 1.
7.三数的和与积分别为5a，4a3-a，当a=- 5
2 时，三数的和与积分别为-25
2 ，-60.
8. a2b-4ab2+4b3.
提醒学生先确定纸盒的底面边长和高.
58
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B组
9. （1）
5
4 .
（2）13
2 .
10. （1）4x2-12x.
（2）x3-1.
11. （1）x=10.
（2）
x=- 8
7 ，
y＝-18
7 .
.
#
#
#
#
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#
#
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#
#
#
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12. （1）原式可化简为x2-
2xy.
当x=-3，y= 2
3 时，原式的
值为13.
（2）原式可化简为2a2-4ab-
2b2.
当a=2，b= 1
2 时，原式的值
为7
2 .
提醒学生注意化简时，算法
不同，运算过程的简繁程度也不
同.
C组
13. x＝- 1
5 .
14. （1）a3+b3.
（2）a3-b3.
（3）a3+3a2b+3ab2+b3.
（4）a3-3a2b+3ab2-b3.
15. （1）a2+ 1
a2 = a+ 1
a
a
&
2-2·a·1
a =9-2=7，a4+ 1
a4 = a2+ 1
a2
a
&
2-2·a2·1
a2 =49-2=47，
（2）a2+b2=（a-b）2+2ab=22+2×1=6.
16.略.
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从平方差公式谈数形结合
平方差公式是代数中一个重要的公式. 教学时，辅以图形说明，能起到不错的效果. 这可以看作是
数形结合的典型案例.
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化. 数形
结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数” 或
“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到优化解题的目的. 著名数学家华罗庚总结道：
“数形结合百般好，隔裂分家万事非. ”
要掌握数形结合这一数学思想方法，没有太多捷径，只能平时多积累、多总结. 如何研究数形结
合呢？很多人不知如何下手. 你很难相信有时仅仅是将系数做了简单的转换，就能发现一些新的东西.
下面我们就从平方差公式讲起，并给出其他一些有代表性的例子. 这些例子给我们启示：同一样
东西，从不同角度去看，可以看得更全面一些. “横看成岭侧成峰” 这句古诗在数学中亦有体现.
例1 平方差公式
关于a2-b2=（a+b）（a-b）的图形的直观表示，有多种构造方法，但是我们用图形来表示代数式是为
了方便理解和记忆，这就要求我们所构造的图形要尽量简单，好记忆，否则就不能起到预期的效果.
如图1，由SABCD-SEFGH=4SABFE得
a2-b2=4× a+b
2 × a-b
2 .
如图2，由SABCD-SAEFG=2SEBCF得
a2-b2=2× a+b
2 ×（a-b）.
如图3，由SABCD-SAEFG=SGIJD得a2-b2=（a+b）（a-b）.
比较三种图形的构造，从美观性来说，图1构造巧妙，对称性最强，比较漂亮；图3向外凸出一
块，不太好看；图2则介于二者之间.从表达式的复杂程度来说，图1分解块数最多，较复杂；图3
将剩余部分合成一个长方形，使得表达式简单；图2则介于二者之间. 综合考虑，用图2表达平方差
"
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B
C
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图1
图2
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B
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+
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图3
Ⅲ.本章相关链接
60
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公式最好，无需动脑筋构造，只需从a2-b2联想到大正方形减去小正方形即可，容易作图且比较美观.
单从代数式来看，仅仅是系数做了一些分配、结合的小动作，但对应的图形却截然不同. 这可以
看作是数学中的文字游戏！不过我们可不能小看它. 下面给出的例子就能让大家感受到这种操作极具
普遍性. 不但可以引出定理公式的多种证明，还能对解题方法进行化简.
例2 三角形面积公式
三角形面积公式有不同的表达方式：S= １
2 ah=a（１
2 h）=（１
2 a）h= １
2 （ah），与图4至图7一一对应，
看似是乘法交换律、结合律的简单运用，但和图象结合起来就值得重视了.
例3 梯形面积公式
梯形面积公式S= 1
2 （a+b）h= （a+b）h
2
= 1
2 ah+ 1
2 bh，既可以以腰上
中点为旋转中心，旋转180°后和原来的梯形拼成一个平行四边形（图
8），也可以直接作对角线，将梯形面积转化成两个三角形的面积和
（图9）.
戴维·韦尔斯在《数学与联想》中曾有这样一句话：
“如果一种语言没有不确定性与双重含义，
那该有多平淡无味！”
对科学家而言，这几乎是自相矛盾的. 他们喜欢能够精确地说出他们所知道的东西；任何一个数
学家应该能够解释他所引用数学语言所作的特殊陈述的含义，并且这种解释应该是清晰易懂的. 同时，
这也是真的，同一个陈述可以作各种解释.
这里没有矛盾. 这也不是数学的弱点，完全相反！这恰是数学的一大优点，如果一个数学陈述永
远只能用一种方式来解释，那该需要多少个陈述啊！
每一种陈述只提供那么一点点信息，但因为它们可以用很多方式来解释，所以它们更能增加知
识，更有用，更强有力.
图4
图5
图6
图7
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B
C
I
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B
C
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图8
图9
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B
I
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第3章因式分解
Ⅰ.概述
一、课程内容
１郾理解因式分解的意义郾
２郾会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）郾
３郾能理解因式分解与整式乘法的区别与联系，以及因式分解在解决其他数学问题时所起的重要
作用郾
二、课时建议
3郾１多项式的因式分解
!１课时
3郾２提公因式法
!２课时
3郾３公式法
!２课时
小结与复习
!１课时
三、教材说明
把一个多项式分解成若干个因式的积就是因式分解，因式分解最重要的目的是：它是分式进行化
简的必要步骤，同时也是解二次或二次以上方程的根本方法. 本章关于因式分解的内容是多项式因式
分解中最基础的知识，也是最基本的方法，即提公因式法和公式法. 因此，本章的教学要给予足够的
重视，要使学生切实掌握提公因式法和公式法.
本章首先从平方差公式出发，引导学生将ｘ２－１变形为（ｘ＋１）（ｘ－１），再引出因式分解的概念，然后
分析整式乘法和因式分解的区别与联系，最后重点介绍因式分解的两种基本方法——
—提公因式法和公
式法，并运用这两种方法对多项式进行因式分解郾
本章重点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法．因式分解的变化技巧性较灵活，
如运用提公因式法时，要对整式进行观察，找出其公因式；又如运用公式法时，要根据整式的形式和
特点，选用适当公式. 这些对学生来说，往往很不容易，因此找出公因式和选用什么样的公式是本章
的难点郾根据知识间内在的逻辑性，本章的教学内容分为3个小节，顺序安排如下：
本章内容呈现的思路是：通过把整数分解成几个因数相乘和把学生所熟悉的整式ｘ２－１写成（ｘ＋１）·
（ｘ－１）的形式，让学生通过类比获得因式的直观感受，进一步提出因式分解的概念郾让学生通过探究和
分析，归纳提公因式法和公式法．为了使学生经历“提公因式法和公式法” 的探究过程，教材设立了
“说一说”、
“动脑筋” 和“议一议” 等栏目．其目的是培养学生分析问题的能力，提高学生的数学思
维水平郾
因式分解
的概念
提公因式法
分解因式
公式法分解
因式
62
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在课堂上要发挥学生的主体作用，要启发学生积极参与教学活动，引导他们得出提公因式法和公
式法郾要切实掌握《课标》对因式分解的要求郾按课标要求，对因式分解只讲两种方法，即提公因式法
和公式法. 字母的指数都是正整数，直接用公式不超过两次郾用公式法进行因式分解时，也只用平方差
公式和完全平方公式. 对分组分解法和十字相乘法不做要求. 对于十字相乘法，教材在本章复习题C组
中给出了其中的一种，即形如x2+（a+b）x+ab的多项式的因式分解，供学有余力的学生参考.
为激发学生的学习兴趣，教师可简单介绍怎样利用因式分解生成密码.
四、评价建议
１郾考查每个学生参与教学活动的情况郾在课堂上是否积极参与对提公因式法和公式法的探究，课
后是否主动参与课外数学活动（包括按时完成作业以及与同学的交流）郾
２郾要求每个学生写出本章学习小结，即进行自评郾
３郾根据课标的要求进行一次评估测试，了解学生掌握知识和技能的情况郾
４郾给每个学生一个评价郾评价时，不能只看考试分数，还要评价学生参与教学活动和学生自评的
情况郾
63
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Ⅱ. 教学建议
本章的章前图中提出了一个
现实生活背景的面积计算问题郾
当a=118，b=18 时，a2-b2的值
不容易计算，而将a2-b2写成（a+
b）（a-b）的形式将便于计算郾此案
例可作为学习因式分解的引入郾
对学生而言，因式分解是一
个没见过的新的变形，其实这种
变形与整式乘法是互逆的，可引
导学生先复习整式的乘法，再引
入本章内容郾
需注意的是：要提醒学生因
式分解不仅仅是整式乘法的逆变
形，它更是解二次和二次以上方
程的根本方法（九上学习），以
及对分式（八上学习）进行化简
所必须的步骤.
64
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教学目标
１郾理解因式分解的概念郾
2. 了解因式分解在解决其他
数学问题中的重要作用郾如解方
程、简化计算等方面都常用因式
分解郾
教学重点、难点
理解因式分解的概念.
“说一说” 栏目中的两个问
题应启发学生完成郾
为了使学生更好地理解因式
分解的意义，教师还可以提出下
面的问题让学生思考郾
问题１
ｘ（ｘ－１）＝？
ｘ２－ｘ＝？
问题２
ｘ（ｘ－ｙ）＝？
ｘ２－ｘｙ＝？
在现代数学文献中，多项式
包含单项式，因此整式的因式分
解也可以理解为多项式的因式分
解.
这里需指出的是：考虑到学生的认知水平，教材从整式的乘法出发引入因式分解的概念，因式分
解是整式乘法的逆变形，但这一点不要过多强调，以免学生产生负迁移，在做因式分解的题时，将因
式分解的结果又转回整式乘法.
65
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教材的阅读材料中指出素数
是正整数中的“基本建筑块”；
在多项式组成的集合中，有些多
项式也起着“基本建筑块” 的作
用郾例如：x2-1=（x+1）（x-1）
多项式x+1，x－1 就是x2－1
的基本建筑块.
同时，因式分解是解二次和
二次以上方程的根本方法，也是
把分式进行化简的必要步骤.
补充例题
下列各式从左到右是因式分解的有（
）个.
①x2-x=x（x-1）；
②a（a-b）=a2-ab；
③（a+3）（a-3）＝a2-9；
④a2-2a+1＝a（a-2）+1；
⑤x2-4x+4=（x-2）2.
（A）1
（Ｂ）２
（Ｃ）３
（Ｄ）４
对于教材中的阅读材料，教
师可指导学生自学，再适当归
纳、总结，进一步帮助学生理解
因式分解的意义与作用.
例1的内容设置很关键，其
目的是帮助学生明白因式分解与
多项式乘法的区别. 因为在接下
来的学习中，学生很可能会将两
者混淆，出现因式分解已经完
成，却又继续做多项式乘法的错
误. 这一点在教学过程中，教师
需多加提醒.
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练习
1. 2.
2. （1）不是. 结果不是积的
形式.
（2）是.
（3）不是. 结果不是积的
形式.
（4）是.
3. （1）错.
（2）错.
（3）对.
习题3.1
A组
1. 12.
2. （1）不是.结果不是积的
形式.
（2）是.
补充例题
下列各式从左到右变形正确的是（
）.
（A）-a+b=-（a+b）
（Ｂ）（x-y）2=-（y-x）2
（Ｃ）（a-b）3=（b-a）3
（Ｄ）（m-1）（n-2）=（1-m）（2-n）
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（3）不是.结果不是积的
形式.
3. （1）错.
（2）错.
（3）对.
（4）错.
B组
4. （1）多项式乘法.
（2）多项式乘法.
（3）因式分解.
（4）因式分解.
5. （1）ax+ay+az，a（x+y+z）.
（2）略.
（3）略.
本题是一道开放题，设置的
目的是让学生体会因式分解在运
算中的作用.
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教学目标
１郾理解公因式的概念，并会
找出多项式的公因式郾
2郾会用提公因式法分解因式郾
教学重点、难点
教学重点：会用提公因式法.
教学难点：能准确找出多项
式中各项的公因式.
讲完例１、例2后，应引导学生归纳找公因式的步骤：
（１）找公因式的系数，像例１中多项式系数为整数，则取各项系数绝对值的最大公因数作为公因
式的系数.
（２）确定公因式的字母，应是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的.
在讲例１时，要提醒学生不
要把因式５ｘ－３ｙ＋１错写成５ｘ－３ｙ，
而把１丢掉.
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练习
1. （1）3y或-3y.
（2）仔r2.
（3）2xm-1yn-1.
2. （1）3x2-2x+1.
（2）5xy-8z.
3. （1）y（3x-5y+1）.
（2）-2m2n2（3m+2n-5）.
（3）4x2yz2（x-2z2+3x2yz）.
例３中，多项式的字母较
多，因此找出公因式后，要求学
生把多项式的每一项写成公因式
与其余因式的乘积的形式.
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本节课学习的重点是，当公
因式为多项式时，如何提取公因
式. 在提取公因式的过程中，将
添加括号，请适时提醒学生因式
分解的过程和整式乘法的过程
（去括号）是互逆的.
“议一议” 环节可组织学生
讨论如何确定多项式各项的公因
式，以加深对提取公因式的理
解.
补充例题
已知a-b-c=2，求a（a-b-c）＋b（c-a-b）+c（b-c-a）的值.
71
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练习
（1）（x-y）（x+y）.
（2）-（x-y）2.
（3）（a-b）（x-y）2.
（4）2ab（a-b）（2a-3b）.
习题3.2
A组
1. （1）x-5+5y.
（2）h+2r.
2. （1）-2x（2x-5）.
（2）y（3y-5x-1）.
（3）3a2b（5a-7b2+2b）.
（4）2x（x2+x+1）.
（5）（a+b）2（b-a）.
（6）12a2b2（a+b2）（2a-3b）.
B组
3. （1）（x-2）（y-3）.
（2）4xy（x+y）.
（3）x（x-y）（x-4）.
4. h=t v0 + 1
2 g
!
"
t
=2.5× 2.75+ 1
2 ×9.8×2.
!
"
5
=37.5.
72
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教学目标
１郾掌握平方差公式和完全平
方公式的特点，能熟练地用公式
对多项式进行因式分解.
2郾在引导学生逆用乘法公式
的过程中，培养学生逆向思维的
意识和能力.
教学重点、难点
在掌握平方差公式和完全平
方公式的形式和特点的基础上，
熟练地用公式对多项式进行因式
分解.
公式（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，ａ２－
ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）都叫做平方差公
式. 为了区别，我们把前者叫做
乘法的平方差公式. 本节将乘法
公式逆用，就得到因式分解的公
式法.教学时，要引导学生学会观
察、分析，掌握平方差公式的结
构特征，这样学生才能灵活运用.
例１，例２的讲解，先让学
生观察，题中哪一项相当于公式
中的ａ２，哪一项相当于公式中的
ｂ２郾
73
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在例3中，（ｘ２）２相当于公式
中的ａ２，（ｙ２）２相当于公式中的ｂ２，
ｘ２＋ｙ２在实数范围内不能再分解
了，但ｘ２－ｙ２还可以分解．讲完这
个例题后，应让学生理解，分解
因式时，要分到每一个因式都不
能再分解为止.
例4可先用提公因式法，再
用公式法进行分解.
练习
1. （1）±3y.
（2）± 6
5 x.
（3）± 3
2 t.
2. （1）（3y+2x）（3y-2x）.
（2）（1+5x）（1-5x）.
（3）
3
5 m+4n
!
" 3
5 m-4n
!
".
（4）4xy.
（5）（x+2）（x-2）（x2+4）.
（6）9（x2+2y）（x2-2y）.
（7）a（a+b）（a-b）.
3. （1）-80.
（2）40.
4. 仔D
2! "
2-仔
d
2! "
2
=仔D
2 + d
2
!
"D
2 - d
2
!
"
=仔（1.6+1.4）（1.6-1.4）
=0.6仔（cm2）.
74
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公式（ａ±ｂ）２=ａ２±２ａｂ＋ｂ２，ａ２±
２ａｂ＋ｂ２＝（ａ±ｂ）２都叫做完全平方
公式. 为了区别，我们把前者叫
做乘法的完全平方公式. 完全平
方公式是应用较多的一个公式.
教学时，要引导学生学会观察、
分析，掌握完全平方公式的结构
特征，在理解其意义的基础上掌
握一类三项式的因式分解.
在例5中，要找出哪一项相
当于公式中的ａ２，哪一项相当于
公式中的ｂ２和２ａｂ，并把要分解
的式子写成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式.
用完全平方公式分解因式
时，如果含字母的平方项是负
的，先得把“－” 号提出来，如
例6，先把“－” 号提出来，再
用完全平方公式分解.
75
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练习
1.略.
2. （1）
x+ 5
2
!
"
2
.
（2）（4y-3）2.
（3）
x+ 1
3
!
"
2
.
（4）3x2（x+y2）2.
在讲例8时，要提醒学生，
（ｘ２－１）２还可以继续分解.
习题3.3
A组
1. （1）（x+9）（x-9）.
（2）
1
2 a+
!
"
b
1
2 a-
!
"
b .
（3）（3x-3y+5）（3x-3y-5）.
（4）（x2+y-2）（x2-3y+2）.
（5）（x+3）（x-3）（x2+9）.
（6）3x2（x+1）（x-1）（x2+1）.
（7）（a+1）（a-1）（a2-4b+1）.
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2. （1）
x+ 7
2
!
"
2
.
（2）（m-5）2.
（3）（5x+2y）2.
（4）
p- 1
2
!
"
q
2
.
（5）-（x-7y）2.
（6）（x+2y）2（x-2y）2.
（7）（x2+2）2.
3. a2-
b
2! "
2
= a+ b
2
!
"a- b
2
!
"
=（124+24）（124-24）
=14 800（m2）.
B组
4. （1）（2x+y-1）（2x-y+1）.
（2）（x2+2y+2）（x2-2y+2）.
（3）（x+2）（x-2）.
（4）（x+y+6）2.
5. ±24.
6. x3-xy2=x（x+y）（x-y）.
当x =21，y =5 时. 密码为
212616.讲解此题时，可介绍因式分
解的一个应用就是生成密码.
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小结与复习旨在让学生通过
思考与交流，梳理本章所学知
识，加深对本章学习内容的理
解，形成知识体系. 同时，让学
生在梳理的过程中提高自己的归
纳、概括能力.
在“回顾” 栏目中，教材通
过问题的形式引导学生复习本章
各节中的主要内容，教师应让学
生独立回顾思考，用自己的语言
来表述，而不是简单重复教材的
内容，只要学生说得合理，教师
都应给予充分肯定，然后再与学
生交流.教材通过框图的形式呈现出
本章的知识结构，这样便于学生
掌握本章所学知识的脉络与相互
联系.
“注意” 栏目中列举了学习
本章知识时要留意的地方，这些
在前面的学习中教师和教材都有
强调，在这里重提这些注意问
题，便于学生整体回顾. 建议教
师在小结与复习中通过列举实例
来说明要注意的事项，而不是空
洞地说明.
教师在给学生讲评时，应给
学生归纳因式分解的以下几个特
点：
（１）结果一定是几个因式积
的形式；
（２）每个因式必须是整式；
（３）各因式要分解到不能再分解为止．
还要使学生理解，因式分解与整式乘法是互逆的变形．这一点是本章教学的关键．
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复习题3
A组
1. （1）x（x-y+1）.
（2）mn（m-n+1）.
（3）3x2y2（3xy-7x+4）.
（4）（x-y）（x2+y2）.
2. （1）（x+3）（x-3）.
（2）（7m+9n）（7m-9n）.
（3）
x+ 1
12
2
"x－1
12
2
".
（4）
1
３a+ 1
５
2
"
b
1
３a- 1
５
2
"
b .
3. （1）（2x+5）2.
（2）（x2+3）2.
（3）（x+3）2（x-3）2.
（4）（x-y+w）2.
（5）（2a2+3b2）2.
4. （1）-6（x-1）2.
（2）-（3x-4y）2.
（3）（a-b）（a+b）2.
（4）4y（x+1）.
（5）（x+2）（x-2）（x2+4）.
（6）（x+2y）（x-2y）（x+4y2）.
5. （1）11.
（2）41 200.
B组
6. （1）（y+x-5）（y-x+5）.
（2）（a-3b）（a+3b+1）.
（3）（x-1）（x2+1）.
（4）（a-b）（x-y）.
7. （1）2x（a-b）.
（2）xz（x-2y）2.
8. 仔
4 h（D2-d2）
= 仔
4 h（D+d）（D-d）
= 仔
4 ×200×156×20
=156 000仔（cm3）.
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9.原式=4a2.
当a= 1
2 ，b=1时，原式=1.
10. 4.
C组
11. （1）（x+2y）（x-2y+1）.
（2）（x+y-2）2.
（3）xn-1（x-1）2.
12. （1）不能.
（2）1×6=2×3=6，5=2+3.
（3）x2+5x+6
=x2+（2+3）x+2×3
=（x+2）（x+3）.
（4）关键在于找到两个数
2，3，使得2+3=5，2×3=6.
（5）因为1+（-2）=-1，
1×（-2）=-2.
所以x2-x-2=（x+1）（x-2）.
《课标》的内容设置中没有
“十字相乘法”，考虑到与高中阶
段的衔接，我们在复习题的C组
第12题中简单介绍“十字相乘
法”，供学有余力的学生学习.
限于篇幅的限制，教材只介
绍了形如x2+（a+b）x+ab 的多项
式的因式分解.
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Ⅲ.本章相关链接
因式分解
如果多项式A能被多项式B整除（B≠０），也就是说存在一个多项式C，使等式A=B×C成立，那
么多项式B，C就叫做多项式A的因式.
如果一个多项式A是在给定的数域上研究的，并且d是这个数域上的一个不等于零的数，那么
A=d
1
d ×A
A
#. 这就是说，在给定的数域上，每个不等于零的数d，以及每一个与给定的多项式A只差
一个非零数字因数的多项式，都是多项式A的因式，这些因式叫做多项式A的当然因式；多项式A
的一切其他因式叫做非当然因式.
如果一个次数大于零的多项式在给定的数域上只有当然因式，就说这个多项式在这个数域上是既
约的. 例如a+b，a－b，a2+b2等在有理数域上是既约的.
因式分解的定义：把一个多项式化成几个既约多项式的积的形式，叫做因式分解.
因式分解要求达到以下两个标准：
（１）因式必须都是既约多项式，也就是当分解得到的因式还能分解时，就要继续分解下去，直到
每一个因式都不能分解为止.
这里，一个多项式是否既约，与在什么数域上讨论有关. 例如，在有理数范围内多项式a2-5是既
约的，而在实数范围内不是既约的，因为它能分解为（a+
5
姨
）（a-
5
姨
）；a2+5在有理数、实数范围
内都是既约的，但在复数范围内不是既约的，因为它能分解为（a+i
5
姨
）（a-i
5
姨
）.
（2）各因式必须是多项式. 由于我们可以把单项式看成是多项式的特殊情况，所以有的因式也可以
是单项式.例如４a2+8ab-12a=4a（a+2b-3），a2-b2=（a+b）（a-b）等都是符合要求的，但是像a2-b2=（a+b）2× a-b
a+b
或a2-b2=（a+b）（
a
姨
+
b
姨
）（
a
姨
-
b
姨
）等都不符合要求，因为上述二式中有的因式已经不是多
项式了.当我们把6x2+13x+6分解因式时，可以写成如下各种形式：
6x2+13x+6=6 x+ 3
2
2
&x+ 2
3
2
&
6x2+13x+6=（2x+3）（3x+2）
6x2+13x+6=-3（-2x-3）x+ 2
3
2
&
……
这些等式右边的每一个因式都是既约多项式，但这些不同形式的因式分解中的既约多项式或者对
应相等，或者只相差数字因数，一般认为这样的分解结果是相同的. 从这个意义上讲，尽管把一个多
项式分解因式的方法不同，但是同一个数域上化为既约因式以后，结果是唯一的.
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