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线段、射线、直线（提高）知识讲解
【学习目标】
1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；
2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；
3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；
4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.
【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法
1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基
本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．
要点诠释：
（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．
（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.
（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.
（4）线段、射线、直线都没有粗细．
2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大
写字母表示，也可以一个小写字母表示.
要点诠释：
（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但
直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任
意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序
之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如
下图4 中射线OA，射线OB 是不同的射线；
端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5 中射线OA、射线OB、射线
OC 都表示同一条射线．
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图4
图5
（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
3.线段、射线、直线的区别与联系
线段
射线
直线
图示
表示方法
线段AB 或线段a
射线OA 或射线a
直线AB 或直线a
端点
两个
一个
无
长度
可度量
不可度量
不可度量
延伸性
不向两方延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
要点二、基本性质
1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
（1）点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6 中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l
经过点O；
②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6 中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不
经过点P.
（2）两条不同的直线相交只有一个交点.
2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图7 所示，在A，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．
要点诠释：
（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.
要点三、比较线段的长短
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC 上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段
a 的长度，再画一条等于这个长度的线段．
要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.
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图7
2.线段的比较：
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位
于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C 是线段
AB 的中点，则
，或AB＝2AC＝2BC．
要点诠释：若点C 是线段AB 的中点，则点C 一定在线段AB 上．
【典型例题】
类型一、有关概念
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．
【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段CB、BC、BE 的延长线上的点，也就是说，A、D、F 三点
的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．
【答案与解析】
解：直线有一条：直线AD；
射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；
线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．
【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长
线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了
射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只
能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．
举一反三：
【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为
什么?画图说明.
【答案】
解：
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∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）
∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公
共点.
类型二、有关作图
2．如图(1)所示，已知线段a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a-2b．
【答案与解析】
解：如图(2)所示：
(1)作射线AF；
(2)在射线AF 上顺次截取AB＝BC＝a；
(3)在线段AC 上顺次截取AD＝DE＝b，则线段EC 就是所要求作的线段．
【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹．
举一反三：
【变式1】下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线；
②直线a、b 相交于点m；
③两直线相交于两个交点；
④直线A 与直线B 相交于点M
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个
【答案】 C
【变式2】下列说法中，正确的个数有( )
①已知线段a，b 且a-b＝c，则c 的值不是正的就是负的；
②已知平面内的任意三点A，B，C 则AB+BC≥AC；
③延长AB 到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；
④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
类型三、个（条）数或长度的计算
3. 根据题意，完成下列填空．
如图所示，与
是同一平面内的两条相交直线，它们有1 个交点，如果在这个平面内，
再画第3 条直线
，那么这3 条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4 条
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直线
，那么这4 条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6 条
直线最多可有________个交点，n(n 为大于1 的整数)条直线最多可有________个交点(用含
有n 的代数式表示)．
【答案】3， 6， 15，
.
【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3 条直线最多可有2+1＝3 个交点，再类推4 条
直线，5 条直线，6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的
结论．
【总结升华】n(n 为大于1 的整数)条直线的交点最多可有：
个.
举一反三：
【变式1】平面上有
个点，最多可以确定 条直线.
【答案】
【变式2】一条直线有
个点，最多可以确定 条线段， 条射线.
【答案】
，
【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?
【答案】0 个，1 个，2 个，或3 个.
4. 已知线段AB＝14cm，在直线AB 上有一点C，且BC＝4cm，M 是线段AC 的中点，
求线段AM 的长．
【思路点拨】题目中只说明了A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点C 在线段AB 上，还是
在线段AB 外(也就是在线段AB 的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM 的长．
【答案与解析】
解：①当点C 在线段AB 上时，如图所示．
因为M 是线段AC 的中点，
所以
．
又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以
．
②当点C 在线段AB 的延长线上时，如图所示．
因为M 是线段AC 的中点，
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所以
．
又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以
9(cm)．
所以线段AM 的长为5cm 或9cm．
【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当
我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．
举一反三：
【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝4(单位长
度)，点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6 个单位长
度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时，BC＝8(单位长度)
(2)当运动到BC＝8(单位长度)时，点B 在数轴上表示的数是________
(3)P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式
．
若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1) 点B 在数轴上表示的数是-8，设运动t 秒时，BC＝8（单位长度），则：
①当点B 在点C 的左边时，
6t+8+2t＝24
t＝2(秒)
②当点B 在点C 的右边时，
6t-8+2t＝24
t＝4(秒)
答：当t 等于2 秒或4 秒时，BC＝8(单位长度)
(2) 由（1）知：当t＝2(秒)时，B 点坐标为：-8+6t=﹣8+6×2=4（单位长度）
当t＝4(秒)时，B 点坐标为：-8+6t=﹣8+6×4=16（单位长度）
所以答案为：4 或16
(3) 存在，若存在，则有：BD＝AP+3PC，设运动时间为t(秒)，则：
1°当t＝3 时，点B 与点C 重合，点P 在线段AB 上，O＜PC≤2 且BD＝CD＝4，
AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC
所以：2+2PC=4，解得：PC＝1
∴此时， PD＝5
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2°当
时，点C 在点A 与点B 之间，O＜PC＜2
①点P 在线段AC 上时．
BD＝CD-BC＝4-BC
AP+3PC＝AC+2PC＝AB-BC+2PC＝2-BC+2PC
由4-BC=2-BC+2PC， 可得： PC＝1， 此时PD＝5．
②点P 在线段BC 上时
BD＝CD-BC＝4-BC， AP+3PC＝AC+4PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC
由4-BC=2-BC+4PC，可得：
，此时
3°当
时，点A 与在点C 重合，0＜PC≤2
BD＝CD-AB＝2，AP+3PC＝4PC
由2＝4PC，可得：
，此时
4°当
时，0＜PC＜4
BD＝CD－BC＝4－BC，AP+3PC＝AB-BC+4PC＝2-BC+4PC
由4－BC=2-BC+4PC，可得：
，此时
综上可得：存在此关系式，且PD 的长为5 或
.
类型四、路程最短问题
5. 如图所示，某公司员工分别住A、B、C 三个住宅区，A 区有30 人，B 区有15 人，C 区
有10 人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工
步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?
【答案与解析】
解：所有员工步行到停靠点A 区的路程之和为:
0×30+100×15+(100+200)×10＝0+1500+3000＝4500(m)；
所有员工步行到停靠点B 区的路程之和为:
100×30+0×15+200×10＝3000+0+2000＝5000(m)；
所有员工步行到停靠点C 区的路程之和为：
(100+200)×30+15×200+10×0＝9000+3000+0＝12000(m)．
因为4500＜5000＜12000，所以所有员工步行到停靠点A 区的路程之和最小，所以停靠
点的位置应设在A.
【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员
工步行的路程和，选择最小的即可得解.
举一反三：
【变式】如图，从A 到B 最短的路线是（ ）.
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A．A-G-E-B B．A-C-E-B
C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B
【答案】D
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