文档文本内容
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；
2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练
掌握以上内容解决一些实际问题；
3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位
置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
【要点梳理】
要点一、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点
(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图
(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O 的半径为r，圆心O 到直线的距离为d，那么
要点诠释：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位
置关系的判定．
要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
3．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
4．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
5．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
6．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距
离都相等.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积
的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1) 到三角形三个顶点的距
离相等，即OA=OB=OC；(2)外
心不一定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内
心在三角形内部.
要点三、圆和圆的位置关系
1．圆与圆的五种位置关系的定义
两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫
做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.
两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫
做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.
两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.
2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：
设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d＞r1+r2
两圆外切
d=r1+r2
两圆相交
r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
两圆内切
d=r1-r2 (r1＞r2)
两圆内含
d＜r1-r2 (r1＞r2)
要点诠释：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分
类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
【典型例题】
类型一、直线与圆的位置关系
【高清ID 号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3-4】
1. （2015•赤峰）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C，与BA 的延长线交于点D，DE PO
⊥
交
PO 延长线于点E，连接PB，∠EDB= EPB
∠
．
（1）求证：PB 是的切线．
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O 的半径．
【答案与解析】
（1）证明：∵在△DEO 和△PBO 中，∠EDB= EPB
∠
，∠DOE= POB
∠
，
OBP= E=90°
∴∠
∠
，
OB
∵
为圆的半径，
PB
∴
为圆O 的切线；
（2）解：在Rt
PBD
△
中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD=
=10，
PD
∵
与PB 都为圆的切线，
PC=PB=6
∴
，
DC=PD
PC=10
6=4
∴
﹣
﹣
，
在Rt
CDO
△
中，设OC=r，则有DO=8
r
﹣，
根据勾股定理得：（8
r
﹣）2=r2+42，
解得：r=3，
则圆的半径为3．
【总结升华】此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
举一反三：
【高清ID 号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例题5-7】
【变式】已知:如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.
求证：AC ∥OP
【答案】如图，连接OA、AB，圆O为△ABC的外接圆，
∴∠BAC＝90度，即AC⊥AB
∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，且OA＝OB＝r，
∴OP是AB的的垂直平分线
∴AB⊥OP
∴AC‖OP(垂直同一条线的两直线平行)
2.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB CD
∥
，⊙O 为内切圆，E 为切点．
（1）如图1，求∠AOD 的度数；
（2）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE 的长；
（3）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．
【思路点拨】（1）根据内切圆的定义得到AD、AB、CD 为⊙O 的切线，则根据切线长定理得∠ODA=
ADC
∠
，∠OAD=
BAC
∠
，再利用平行线的性质得∠ADC+ BAC=180°
∠
，所以∠ODA+ OAD=90°
∠
，然后
根据三角形内角和定理可计算出∠AOD 的度数；
（2）先在Rt
AOD
△
中利用勾股定理可计算出AD=10（cm），再根据切线的性质得OE AD
⊥
，然后利用面积
法可计算出OE 的长；
【答案与解析】
解：（1）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，
AD
∴
、AB、CD 为⊙O 的切线，
OD
∴
平分∠ADC，OA 平分∠BAD，
即∠ODA=
ADC
∠
，∠OAD=
BAC
∠
，
AB CD
∵
∥
，
ADC+ BAC=180°
∴∠
∠
，
ODA+ OAD=90°
∴∠
∠
，
AOD=90°
∴∠
；
（2）在Rt
AOD
△
中，∵AO=8cm，DO=6cm，
AD=
∴
=10（cm），
AD
∵
切⊙O 于E，
OE AD
∴
⊥
，
∴OE•AD= OD•OA，
OE=
∴
=
（cm）；
（3）∵F 是AD 的中点，
FO=
∴
AD= ×10=5（cm）．
【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的
内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
类型二、圆与圆的位置关系
3. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O 相切，则
⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?
【答案与解析】
(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r＝8，
∴ r＝3．
当⊙P 与⊙O 内切时，则有r-5＝8，
∴ r＝13．
∴ 当r＝3 或13 时，⊙O 与⊙P 相切．
(2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，
解得3＜r＜13，
即当3＜r＜13 时，⊙P 与⊙O 相交．
【总结升华】 两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r 和d＝R-r(R
＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：
举一反三：
【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )
A．1cm B．5cm C．1cm 或5cm D．0.5cm 或2.5cm
【答案】两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；
当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.
4. 如图所示，点A、B 在直线MN 上，AB＝11 厘米，⊙A、⊙B 的半径均为1 厘米．⊙A 以每秒2 厘米的
速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r＝
1+t(t≥0)．
(1)试写出点A、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式；
(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?
【思路点拨】本题通过平移，考查了圆和圆相切这一位置关系．相切包括内切与外切，不要漏解.
【答案与解析】
(1)当0≤t≤5.5 时，函数表达式为d＝11-2t；
当t＞5.5 时，函数表达式为d＝2t－11．
(2)两圆相切可分为如下4 种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1+1+t，
∴ t＝3：
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1+t-l，
∴
；
③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11＝1+t-1，
∴ t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11＝1+t+1，
∴ t＝13．
综上可得：点A 出发后3 秒、
秒、11 秒、13 秒两圆相切．
【总结升华】这里需要注意的是，学生常常只考虑一种情况而导致解答不全面，因此，解决这类问题时，要
通过观察、分析搞清图形的变化过程，做到不重复，不遗漏．
