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让更多的孩子得到更好的教育
正比例函数（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y
kx
的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
【高清课堂：389342 正比例函数，知识要点】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如y
kx
（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系
数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、y 是x 的正比例函数；
（2）、y
kx
（k 为常数且k ≠0）；
（3）、若y 与x 成正比例；
（4）、
k
x
y
（k 为常数且k ≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数y
kx
（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线
y
kx
.当k ＞0 时，直线y
kx
经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y
也增
大；当k ＜0 时，直线y
kx
经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y
反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数y
kx
（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，
y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
【高清课堂：389342 正比例函数，例1】
1、若函数
2
2
4
3
2
m
n
y
x
m
n
是y
关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.
【思路点拨】正比例函数的一般式为
(
0)
y
kx k
，要特别注意定义满足
0
k
，x 的指数为
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让更多的孩子得到更好的教育
1．
【答案与解析】
解：由题意，得
2
2
1
3
2
0
m
n
m
n
解得
1
1.5
m
n
∴当
1,
1.5
m
n
时，y 是x 的正比例函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）
x 的指数是1.
举一反三：
【变式】（2014 春•凉州区校级月考）x、y 是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K 的值．
【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．
【高清课堂：389342 正比例函数，例2】
2、设有三个变量x 、y
、z ，其中y
是x 的正比例函数，z 是y
的正比例函数
（1）求证：z 是x 的正比例函数；
（2）如果z ＝1，x ＝4 时，求出z 关于x 的函数关系式.
【答案与解析】
解：（1）由题意，设
1
1
(
0)
y
k x k
，
2
2
(
0)
z
k y k
，
1
2
,
k
k 为常数
1
2
z
k k x
∴
1
2
0,
0
k
k
∴
1
2
0
k k
且为常数
∴z 是x 的正比例函数；
1
2
z
k k x
∴
1
2
(
0)
k k
（2）当z ＝1，x ＝4 时，代入
1
2
z
k k x
∴
1
2
1
4
k k
∴z 关于x 的函数关系式是
1
4
z
x
.
【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的
1
2
,
k
k ，不要都设为k ，产生混淆.
举一反三：
【变式】已知z
m
y
，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2 时，z ＝1；当x ＝3 时，z
＝－1，求z 与x 的函数关系．
【答案】
解：由题意，y
kx
，z
m
kx
,
∵x ＝2 时，z ＝1；当x ＝3 时，z ＝－1，
∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k
解得k ＝－2，m ＝5
∴z ＝－2 x ＋5.
类型二、正比函数的图象和性质
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3、
（2016•眉山）若函数y=（m
1
﹣）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第
象
限．
【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m
1≠0
﹣
，计算出m 的值，然后可得解析式，
再根据正比例函数的性质可得答案．
【答案与解析】
解：由题意得：|m|=1，且m
1≠0
﹣
，
解得：m=
1
﹣，
函数解析式为y=
2x
﹣
，
k=
2
∵
﹣＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限．
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k 是常数，
k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx（k 是常数，k≠0），当k＞0 时，直线y=kx 依次
经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k＜0 时，直线y=kx 依次经过第二、
四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小．
举一反三：
【变式】已知正比例函数
2
1
y
t
x
的图象上一点（
1x ，
1y ），且
1x
1y ＜0，那么t 的取值范
围是（ ）
A. t ＜1
2 B．t ＞1
2 C．t ＜1
2 或t ＞1
2 D．不确定
【答案】A；
提示：因为
1x
1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1
＜0，t ＜1
2 ．
类型三、正比例函数的应用
4、已知正比例函数
4
y
x
的图像上有一点P( x , y
)和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且
△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？
【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积
等于12 求解.
【答案与解析】
解：依题意：
1
12
2
P
S
OA y
∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6
∴
4,
4
4
p
P
P
y
y
y
∴
或
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让更多的孩子得到更好的教育
4
1,
(1,4)
P
y
x
P
当
时，
此时
；
4
1,
( 1, 4)
P
y
x
P
当
时，
此时
P
1
4
1
4
综上：点的坐标为（，）或（- ，
）
【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.
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