第十九章 一次函数
一、选择题(每题3 分,共30 分)
1.下列图象中,不能表示y 是x 的函数的是( )
2.第一次“龟兔赛跑”,兔子因为在途中睡觉而输掉比赛,很不服气,决定与乌龟再比一次,并
且骄傲地说,这次我一定不睡觉,让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输
掉了比赛,则下列路程(s)关于时间(t)的函数图象可以体现这次比赛过程的是
( )
3.若点P 在一次函数y=-x+4 的图象上,则点P 一定不在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-1
2
x 图象上的两点,下列判断中,正确的是
( )
A.y1>y2
B.y1<y2
C.当x1<x2时,y1<y2 D.当x1<x2时,y1>y2
5.已知一次函数的图象经过点(0,3)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,则这个一次函
数的解析式为
( )
A.y=1.5x+3
B.y=-1.5x+3
C.y=1.5x+3 或y=-1.5x+3
D.以上都不正确
6.下列图象不可能是一次函数y=mx-(m-6)的图象的是
( )
7.已知将直线y=(m-3)x-2 向上平移m 个单位长度后,直线不经过第三象限,则m 的取值范围为
( )
A.m<2
B.2≤m≤3
C.-3<m≤2
D.2≤m<3
8.已知直线l:y=-3
5
x+3 与直线x=a(a 为常数)的交点在第四象限,则a 的取值范围在数轴上表
示正确的是
( )
A B C D
9.如图,O 是边长为4 cm 的正方形ABCD 的中心,M 是BC 的中点,动点P 由点A 开始沿
A→B→M 方向匀速运动,到点M 时停止运动,速度为1 cm/s.设点P 的运动时间为t s,点P 的
运动路径与OA,OP 所围成的图形面积为S cm2,则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象
可以是 ( )
A B C D
10.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m,先到终点的人原
地休息.已知甲先出发4 min,在整个步行过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时向
t(min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是
( )
A.甲步行的速度为8 m/min
B.乙走完全程用了34 min
C.乙用16 min 追上甲
D.乙到达终点时,甲离终点还有360 m
二、填空题(每题3 分,共18 分)
11.函数y=√x -1
x -3
的自变量x 的取值范围是 .
12.已知点A 是直线y=x+1 上一点,其横坐标为-1
2
,若点B 与点A 关于y 轴对称,则点B 的坐标
为 .
13.如图,一次函数y=kx+b 的图象与正比例函数y=2x 的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=
.
第13 题图 第14 题图 第15 题图 第16 题图
14.如图,已知直线y=-2x-1 与直线y=4x-6 交于点A,它们与x 轴分别交于点B,C,点D,E 分别是
线段AB,AC 的中点,则线段DE 的长度是 .
15.已知一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图所示,则下列结论:
k<
①
0;
a>
②
0;③关于x 的
方程kx+
b=x+a 的解为x=3;④当x>3 时,y1<y2.其中正确的是 .(填序号)
16.某快递公司每天上午9:00-10:00 为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来
派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示,
那么当甲、乙两仓库快递件数相同时,此刻的时间为 .
三、解答题(共52 分)
17.(6 分)如图,一次函数y=-x+m 的图象与y 轴交于点B,与正比例函数y=3
2
x 的图象交于点
P(2,n).
(1)求m 和n 的值;
(2)求△POB 的面积.
18.(8 分)直线y=-2x+4 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,直线y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)经过点
A,与y 轴交于点C,且OC=OA.
(1)求点A 的坐标及k 的值;
(2)点C 在x 轴的上方,点P 在直线y=-2x+4 上,若PC=PB,求点P 的坐标.
19.(8 分)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路
程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35 千瓦时时汽车已行驶的路程;当0≤x≤150 时,求1
千瓦时的电量,汽车能行驶的路程;
(2)当150≤x≤200 时,求y 与x 的函数解析式,并计算当汽车已行驶180 千米时,蓄电池的剩余电
量.
20.(8 分)如图,直线y=kx+6(k≠0)与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0),点A 的坐标
为(-6,0).
(1)求k 的值;
(2)若点P(x,y)是第二象限内直线EF 上的一个动点,在点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积
S 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围;
(3)探究:当点P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为27
8
?请说明理由.
21.(10 分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间两家商场都让利酬宾,
其中甲商场所有商品按8 折出售,乙商场对一次购物金额不超过200 元的不打折,超过200 元
后的部分打7 折.设商品原价为x 元,顾客购物金额为y 元.
(1)根据题意,填写下表:
商品原价
100 150 250 …
甲商场购物金额/元
80
…
乙商场购物金额/元100
…
(2)分别就两家商场的让利方式写出y 与x 的函数解析式;
(3)当x≥500 时,选择哪家商场去购物更省钱?请说明理由.
22.(12 分)问题:探究函数y=|x|-2 的图象与性质.
小华根据学习函数的经验,对函数y=|x|-2 的图象与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程,请补充完整:
(1)在函数y=|x|-2 中,自变量x 可以是任意实数;
(2)下表是y 与x 的几组对应值.
x
… -3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
-1
-2
-1
0
m
…
m=
①
;
②若A(n,8),B(10,8)为该函数图象上不同的两点,则n= ;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,并根据描出的点,画
出该函数的图象;
根据函数图象可得:
①该函数的最小值为 ;
②已知直线y1=1
2
x-1
2
与函数y=|x|-2 的图象交于C,D 两点,当y1≥y 时,x 的取值范围是
.
参考答案
1.B 【解析】 根据函数的概念,可知对于自变量x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值
与之对应,B 项,当x 取大于0 的实数时,y 有两个值与之对应,故B 不能表示y 是x 的函数.故选
B.
2.B
3.C 【解析】 ∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4 的图象经过第一、第二、第四象限,即不经
过第三象限.∵点P 在一次函数y=-x+4 的图象上,∴点P 一定不在第三象限.故选C.
4.D 【解析】 因为正比例函数y=-1
2
x 中的-1
2
<0,所以y 随x 的增大而减小,所以当x1<x2
时,y1>y2.故选D.
5.C 【解析】 设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),因为一次函数的图象经过点(0,3),
所以b=3,所以y=kx+3,令y=0,得x=-3
k
.因为函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,
所以3=1
2
×3×|-3
k
|,解得k=±1.5,所以这个一次函数的解析式为y=1.5x+3 或 y=-1.5x+3.故选
C.
6.C 【解析】 当m>0 时,-(m-6)可能是正数,可能是负数,也可能是零,所以A 项,B 项都可能
是一次函数y=mx-(m-6)的图象;当m<0 时,m-6<0,-(m-6)>0,所以一次函数y=mx-(m-6)的图象
经过第一、第二、第四象限,所以C 项不可能是一次函数y=mx-(m-6)的图象,D 项可能是一次
函数y=mx-(m-6)的图象.故选C.
7.B 【解析】 将直线y=(m-3)x-2 向上平移m 个单位长度后,得到的直线的函数解析式为
y=(m-3)x-2+m,当m≠3 时,因为该直线不经过第三象限,所以m-3<0,-2+m≥0,解得2≤m<3;当
m=3 时,
y=1,不经过第三象限.综上,m 的取值范围为2≤m≤3.故选B.
8.D 【解析】 解法一 由{
y =−3
5 x +3,
x =a,
解得{
x =a,
y =−3
5 a+3,
因为直线l:y=-3
5
x+3 与直线
x=a(a 为常数)的交点
在第四象限,所以a>0,-3
5
a+3<0,所以a>5.故选D.
解法二 在y=-3
5
x+3 中,令y=0,得x=5,所以直线l 与x 轴的交点为(5,0).因为直线l 与直线
x=a 的交点在第四象限,所以a>5.故选D.
9.A 【解析】 根据题意,可知当0≤t≤4 时,S=1
2
×t×2=t,它的函数图象是一条线段;连接OB,
当4<t≤6 时,S=S△AOB+S△BOP=1
2
×4×2+1
2
×(t-4)×2=4+t-4=t,它的函数图象也是一条线段,结合
选项可知选A.
10.D 【解析】 由题图,得甲步行的速度为240÷4=60(m/min),乙追上甲用的时间为16-
4=12(min),故A,C 错误;设乙步行的速度为x m/min,则12x=16×60,解得x=80,所以乙步行的
速度为80 m/min,所以乙走完全程用的时间为2 400÷80=30(min),故B 错误;乙到达终点时,甲
离终点距离是2 400-(4+30)×60=
360(m),故D 正确.故选D.
11.x≥1 且x≠3 【解析】 根据题意,得{
x -1≥0,
x -3≠0,解得x≥1 且x≠3.
12.(1
2
,1
2
) 【解析】 将点A 的横坐标代入y=x+1,得y=- 1
2
+1= 1
2
,∴点A 的坐标为(-1
2
,1
2
).∵点B 与点A 关于y 轴对称,∴点B 的坐标为(1
2
,1
2
).
13.-8 【解析】 ∵y=kx+b 的图象与y=2x 的图象平行, k=
∴
2. y=kx+b
∵
的图象经过点A(1,-
2),
∴2+b=-2,解得b=-4, kb=
∴
2×(-4)=-8.
14.1 【解析】 直线y=-2x-1 与x 轴的交点B 的坐标为(-1
2
,0),直线y=4x-6 与x 轴的交点C
的坐标为(3
2
,0),所以BC=2,因为点D,E 分别是线段AB,AC 的中点,所以DE=1
2
BC=1.
15.①③④ 【解析】 根据题图,可知k<0,a<0,故①正确,②错误;因为两条直线的交点的横
坐标是3,所以方程kx+b=x+a 的解为x=3,故③正确;当x>3 时,y2=x+a 的图象在y1=kx+b 的图
象的上方,所以当x>3 时,y1<y2,故④正确.故正确的结论是①③④.
16.9:20 【解析】 设甲仓库的快件数量y 与时间x 的函数解析式为y=k1x+40,则
60k1+40=400,解得k1=6, y=
∴
6x+40.设乙仓库的快件数量y 与时间x 的函数解析式为
y=k2x+240,则60k2+240=0,解得k2=-4, y=-
∴
4x+240.由{
y =6 x + 40,
y =−4 x +240,解得{
x =20,
y =160,∴此刻
的时间为9:20.
17.【解析】 (1)因为点P(2,n)在函数y=3
2
x 的图象上,
所以n=3
2
×2=3,所以点P 的坐标为(2,3).
把P(2,3)代入y=-x+m,得3=-2+m,
所以m=5.
(2)由(1)知,一次函数的解析式为y=-x+5,
令x=0,得y=5,
所以点B 的坐标为(0,5),
所以S△POB=1
2
×5×2=5.
18.【解析】 (1)直线y=-2x+4 与x 轴交于点A,
令y=0,则-2x+4=0,解得x=2,
所以A(2,0).
因为OC=OA,所以C(0,2)或C(0,-2),
因为直线y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)经过点A 和点C,
所以{
2k +b=0,
b=−2
或{
2k +b=0,
b=2,
解得k=1 或k=-1.
(2)因为点C 在x 轴的上方,所以C(0,2).
因为B 为直线y=-2x+4 与y 轴的交点,所以B(0,4).
因为B(0,4),C(0,2),PC=PB,
所以点P 的纵坐标为3,
又点P 在直线y=-2x+4 上,
把y=3 代入y=-2x+4,解得x=1
2
,
所以P(1
2
,3).
19.【解析】 (1)蓄电池剩余电量为35 千瓦时时汽车已行驶了150 千米.
根据题意,得150
60−35
=6(千米),
所以当0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量,汽车能行驶的路程为6 千米.
(2)当150≤x≤200 时,设y 与x 的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
把点(150,35),(200,10)代入,
得{
150k +b=35,
200k +b=10,解得{
k =−0.5,
b=110,
所以y=-0.5x+110,
当x=180 时,y=-0.5×180+110=20.
所以当150≤x≤200 时,y 与x 的函数解析式为y=-0.5x+110,当汽车已行驶180 千米时,蓄电池
的剩余电量为20 千瓦时.
20.【解析】 (1)因为直线y=kx+6(k≠0)与x 轴交于点E(-8,0),
所以0=-8k+6,解得k=3
4
.
(2)过点P 作PH⊥x 轴于点H,
因为点P(x,y)是第二象限内直线EF 上的一个动点,
所以PH=y=3
4
x+6,
所以S=1
2
AO·PH=1
2
×6×(3
4
x+6)=9
4
x+18(-8<x<0).
(3)当点P 的坐标为(-13
2
,9
8
)时,△OPA 的面积为27
8
.理由如下:
当S=27
8
时,9
4
x+18=27
8
,解得x=-13
2
.
当x=-13
2
时,y=9
8
.
所以当点P 的坐标为(-13
2
,9
8
)时,△OPA 的面积为27
8
.
21.【解析】 (1)填表如下:
商品原价
100 150 250 …
甲商场购物金额/元80 120 200 …
乙商场购物金额/元100 150 235 …
(2)对于甲商场,y=0.8x(x≥0).
对于乙商场,当0≤x≤200 时,y=x;
当x>200 时,y=200+0.7(x-200)=0.7x+60,
所以y={
x(0≤x ≤200),
0.7 x +60( x>200).
(3)令0.8x=0.7x+60,得x=600;
令0.8x<0.7x+60,得x<600;
令0.8x>0.7x+60,得x>600,
所以当购物金额按原价大于或等于500 元而小于600 元时,在甲商场购物省钱;
当购物金额按原价等于600 元时,在两商场花钱一样多;
当购物金额按原价大于600 元时,在乙商场购物省钱.
22.【解析】 (2)①1
把x=3 代入y=|x|-2,得m=3-2=1.
-
②10
把y=8 代入y=|x|-2,得8=|x|-2,解得x=-10 或10.
A
∵(n,8),B(10,8)为该函数图象上不同的两点,
n=-
∴
10.
(3)函数图象如图所示.
-
①2
-
②1≤x≤3
在同一平面直角坐标系中画出函数y1=1
2
x-1
2
与函数y=|x|-2 的图象如图所示,由图象,可知当
y1≥y 时,x 的取值范围是-1≤x≤3.
