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实际问题与二次函数—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1.将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个；价格每上涨1元，其销售量就减少10个，
为了获得最大利润，售价应定为( )
A.110元 B.120元 C.130元 D.150元
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10
张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，
为了投资少而获利大，每床每晚应提高(n )
A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x(单位：分)之间大致满足函数关系式：
2
0.1
2.6
43
y
x
x
(0≤x≤30)，y 的值越大，表示接受能力越强，那么学生的接受能力达到最强时，
概念提出所用的时间是( )．
A．10 分 B．30 分 C．13 分 D．15 分
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y＝-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4 米 B．3 米 C．2 米 D．1 米
第4 题 第6 题
5．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝-5(t-1)2+6，则小球
距离地面的最大高度是( )
A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米
6．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
2
1
4
y
x
bx
c
的一部分(如上图所示)，
其中出球点B 离地面O 点的距离是1m，球落地点A 到O 点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )
A．
2
1
3
1
4
4
y
x
x
B．
2
1
3
1
4
4
y
x
x
C．
2
1
3
1
4
4
y
x
x
D．
2
1
3
1
4
4
y
x
x
二、填空题
7．一件工艺品进价为100 元，标价135 元售出，每天可售出100 件．根据销售统计，一件工艺品每降价1 元
出售，则每天可多售出4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为________元.
8．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8-x)个，则当x＝________元时，一天出售该种手工艺
品的总利润y 最大．
9．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C1:y=ax2+bx+c 的图象与C2:y=2x2-4x+3 的图象关于y 轴对称，且C1
与直线y=mx+2 交与点A(n，1).则m 的值为 .
10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O 恰在水面中心，安置在柱
子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面
上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度
与水平距离
之间的关系式
第1页 共6页
是
.请回答下列问题：柱子OA 的高度为 米；喷出的水流距水平面的最大高度
是 米；若不计其它因素，水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
11．如图所示，小明的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地
方距地面高都是2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 米的小明距较近的那棵树0.5 米时，头部刚
好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
第11 题 第12 题
12．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，
AB＝10m，BC＝2.4m，现把隧道横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m 的装有集装箱
的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁至少___________米才不至于碰到
隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC 为壁)
三、解答题
13．某人定制了一种地砖，每块地砖(如图①所示)是边长为0.4 米的正方形ABCD，点E，F 分别在边BC 和CD
上，△CFE、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每
平方米价格依次为30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按如图②所示的形式铺设，则能使中间的阴影部
分组成四边形EFGH．
(1)判断图②中的四边形EFGH 是何形状，并说明理由；
(2)点E、F 分别在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省?
14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。若该企业的某种
环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50 万元，每套产品的售价不低于
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90 万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y2＝170-2x，月产量
x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x 之间的函数关系式；
(2)求月产量x 的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
15．某镇地理位置偏僻，严重制约着经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，乡政府对花木产品每投资
x 万元，所获利润为
2
1 (
30)
10
50
P
x
(万元)．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，乡政府在
制定经济发展的10 年规划时，拟定开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最
多50 万元．若开发该产品，在前5 年中，必须每年从专项资金中拿出25 万元投资修通一条公路，且5
年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投
资x 万元可获利润
2
49
194
(50
)
(50
)
308
50
5
Q
x
x
(万元)．
(1)若不进行开发，求10 年所获利润的最大值是多少?
(2)若按此规划进行开发，求10 年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】根据题意可列
，即当x=20，
售价为100+20=120 元时，获得最大利润，故选B.
2.【答案】C；
【解析】设旅行社获利为y(元)，若每床一次提高费用2 元，设提高了x 次，则每床提高费用为2x 元，根据
题意可列
，因为x 为整数，且为了投资少而获
利大，所以当x=3 即2x=6 时，函数取最大值，故选C.
3.【答案】C；
【解析】
2.6
13
2 ( 0.1)
x
分时，y 最大．
4.【答案】A；
【解析】
2
2
2
(
4
2
4)
(
2)
4
y
x
x
x
，当
2
x
时，
4
y
最大
.
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5.【答案】C；
【解析】t＝1 时，
6
h
最大
；
6.【答案】A；
【解析】将A(4，0)，B(0，1)代入解析式中求得
3
4
b
，
1
c
.
二、填空题
7．【答案】5；
8．【答案】4；
【解析】
2
(8
)
(
4)
16
W
x
x
x
，∴
4
x
时W 最大.
9．【答案】1；
10．【答案】
；
；2.5.
【解析】（1）OA 高度为
米.
（2）当
时，
，即水流距水平面的最大高为
米.
（3）
其中
不合题意，
水池的半径至少要2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
11．【答案】0.5；
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，2.5)，B(0.5，1)，C(2，2.5)．
设抛物线解析式为
2
y
ax
bx
c
．则
2.5,
0.25
0.5
1,
4
2
2.5,
c
a
b
c
a
b
c
解得
2,
4,
2.5,
a
b
c
∴
2
2
2
4
2.5
2(
1)
0.5
y
x
x
x
，
∴顶点坐标为(1，0.5)，即绳子的最低点距地面0.5 米．
12．【答案】2m；
【解析】由已知条件分析得，抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，C 点的坐标为(10，0)，
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设抛物线的解析式为y＝a(x-5)2+2.5．
把(10，0)代入解析式得25a+2.5＝0．
∴
1
10
a
，即
2
1 (
5)
2.5
10
y
x
．
当y＝4-2.4＝1.6 时，即
2
1
1.6
(
5)
2.5
10 x
，
∴ (x-5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2．
又∵x2＝2 不合题意，舍去．
∴x＝8，OC-x＝10-8＝2(m)．
故汽车应离开隧道右壁至少2m 才不至于碰到隧道顶部．
三、解答题
13.【解析】
(1)四边形EFGH 是正方形．
理由：图②可以看成是由图①所示的地砖绕C 点按顺(逆)时针方向连续3 次旋转90°后得到的，
故CE＝CF＝CG＝CH，又CE⊥CF，所以四边形EFGH 是正方形．
(2)设CE＝x 米，则BE＝(0.4-x)米，设每块地砖的费用为y 元，
根据题意得
2
2
2
1
1
1
1
30
0.4(0.4
) 20
0.4
0.4(0.4
)
10
2
2
2
2
y
x
x
x
x
2
2
10(
0.2
0.24)
10(
0.1)
2.3
x
x
x
(0
0.4)
x
．
当x＝0.1 时，y 有最小值，所以当CE＝CF＝0.1 米时，定制这批地砖所需的材料费用最省．
14.【解析】
(1)y2＝500+30x．
(2)依题意得：500
30
50 ,
170
2
90.
x
x
x
解之：25≤x≤40，且x 为整数．
(3)∵
1
2
(170
2 )
(500
30 )
W
x
y
y
x
x
x
2
2
140
500
W
x
x
，
∴
2
2(
35)
1950
W
x
，而25＜35＜40．
∴当x＝35 时，W
最大
1 950．
即月产量为35 套时，利润最大，最大利润是l 950 万元．
15.【解析】
(1)若不开发此产品，按照原来的投资方式，由
2
1 (
30)
10
50
P
x
知，只需从50 万元专款中拿出
30 万元投资，每年即可获得最大利润10 万元，则10 年的最大利润为M1＝10×10＝100(万元)．
(2)若对该产品进行开发，在前5 年中，当x＝25 时，
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每年最大利润是
2
1 (25
30)
10
9.5
50
P
(万元)，
则前5 年的最大利润为M2＝9.5×5＝47.5(万元)．
设后5 年中x 万元是用于本地销售的投资．则由
2
49
194
(50
)
(50
)
308
50
5
Q
x
x
知，
将余下的(50-x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润．则后5 年的利润
是
2
2
2
3
1
49
194
(
30)
10
5
308
5
5 (
20)
3500
50
50
M
x
x
x
x
．
故当x＝20 时，M3取得最大值为3500 万元．
所以，10 年的最大利润为M＝M2+M3＝3500+47.5＝3547.5(万元)．
(3)因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值．
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