文档文本内容
让更多的孩子得到更好的教育
相似多边形及位似--知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1、掌握相似多边形的性质及应用；
2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形
放大或缩小；
3、了解黄金分割值及相关运算.
【要点梳理】
要点一、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点诠释：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
要点二、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有
改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心
不同的画法.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共7页
让更多的孩子得到更好的教育
要点三、黄金分割
【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号：394501
关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】
定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段
的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段AP 叫作线段PB、AB 的比例中项），则P 点就是线
段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
要点诠释：
1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=
x
1
∵
AB
AP
AP
PB
∴
1
1
x
x
x
∴
x
x
1
2
∴
618
.0
2
1
5
x
(舍负)
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2 倍，人们称这
种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共7页
让更多的孩子得到更好的教育
【典型例题】
类型一、相似多边形
1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形成
的两个矩形相似吗？为什么？
【答案与解析】
因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比是否相等.
5
4
20
16
2
2
16
16
EF
AB
，
6
5
24
20
2
2
20
20
EH
AD
而
6
5
5
4
，∴
EH
AD
EF
AB
∴矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.
【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”
这两个条件才能相似，缺一不可.
举一反三
【变式】（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为
EF，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a：b=（ ）
A. 2：1 B.
：1 C. 3：
D. 3：2
【答案】B.
提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF= AB= a，
∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，
∴
=
，即=
，
∴（）2=2，
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共7页
A
B
C
D
E
F
G
H
让更多的孩子得到更好的教育
∴=
．故选B．
2.如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩
形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）．
A. 2cm
2
B. 4cm
2
C. 8cm
2
D. 16cm
2
【答案】C.
【解析】设留下的矩形的宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴
，
∴x=2，
∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）
故答案为：8．故选C．
【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出
方程是本题的关键．
类型二、位似
3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5 倍.
【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为
1.5.
画法是：
1．在平面上任取一点O.
2．以O 为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
3．在射线OA、OB、OC、OD、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB
＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.
4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共7页
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
让更多的孩子得到更好的教育
这样：＝＝＝＝＝1.5.
则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似
中心的两侧.
【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
4. （2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点
O 为位似中心，相似比为
，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【思路点拨】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的
比等于k 或﹣k 进行求解．
【答案与解析】
解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为
，把△ABO 缩小，
∴点A 的对应点A′的坐标为（﹣3×
，6×
）或[
3
﹣×（﹣
），6×（﹣
）]，即A′点的坐标
为（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选D．
【总结升华】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
举一反三
【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号： 394501
关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】
【变式】在已知三角形内求作内接正方形．
【答案】
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共7页
让更多的孩子得到更好的教育
作法：
（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC；
（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；
（3）连接BF′，延长交AC 于F；
（4）作FG∥CB，交AB 于G，从F、G 分别作BC 的垂线FE， GD；
∴四边形DEFG 即为所求．
类型三、黄金分割
5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.
【答案与解析】
宽与长的比是
5
1
2
的矩形叫黄金矩形．
（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我
们以协调，匀称的美感．）
黄金矩形的作法如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC 的中点M，N，连接MN；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E；
第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F．
即矩形DCEF 为黄金矩形．
证明：在正方形ABCD 中，取
2
AB
a
，
∵ N 为BC 的中点，
∴
1
2
NC
BC
a
．
在Rt
DNC
△
中，
2
2
2
2
(2 )
5
ND
NC
CD
a
a
a
．
又∵ NE
ND
，
∴
( 5
1)
CE
NE
NC
a
．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共7页
E
D
G
F
F'
E'
D'
A
B
C
G'
A
B
C
D
E
F
M
N
让更多的孩子得到更好的教育
∴
5
1
5
1
2
2
CE
a
CD
a
（
）
．
故矩形DCEF 为黄金矩形．
【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．
举一反三
【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约
为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比
值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】D.
∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，
∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：
99+
=
165+
x
x
0.618，
解得：x≈8．
故选D．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共7页
