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正多边形和圆—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A．1：2：
B．2：3：4
C．1：
：2
D．1：2：3
2．将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积
为 ( )
A．
2
3 3 cm
2
B．3 3
4
cm2 C．3 3
8
cm2 D．3 3 cm2
3．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
第3 题 第5 题
4．周长是12 的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )．
A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
5. 如图所示，八边形ABCDEFGH 是正八边形，其外接⊙O 的半径为
2 ，则正八边形的面积S 为（ ）．
A.
B. 4 2 C. 8 D.4
6．先作半径为
的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，
则按以上规律作出的第7 个圆的内接正方形的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．
8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O 的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．
P
D
R
C
Q
B
O
A
9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ．
10．（2015•五通桥区一模）如图，在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，点P 是其对角线BE 上一动点，连接
PC、PD，则△PCD 的周长的最小值是 ．
11．如图所示，有一个圆O 和两个正六边形T1、T2．T1的6 个顶点都在圆周上，T2的6 条边都和圆O 相切（我们
称T1，T2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b， 圆O 的半径为r，则r:a= ； r:b= ；
（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是 ．
第11 题图 第12 题图
12．如图所示，已知正方形ABCD 中，边长AB＝3，⊙O 与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则
R+r= ．
三、解答题
13.（2015•宝应县二模）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2
cm，点P 为六边形内任一点．则点P 到各边
距离之和为多少cm？
14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内
接五边形，点M、N 分别从点B、C 开始，以相同的速度中⊙O 上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB 的度数；
（2）图②中，∠APB 的度数是 ，图③中∠APB 的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，
请说明理由．
15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n 边形与圆的形状有差异，我们将正n 边形与圆的接近程度称为
“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.
（1）设正n 边形的每个内角的度数为m°，将正n 边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，
该正n 边形就越接近于圆，
①若n=20，则该正n 边形的“接近度”等于 ；
②当“接近度”等于 时，正n 边形就成了圆．
（2）设一个正n 边形的半径（即正n 边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n 边形的中心到各边的距
离）为r，将正n 边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n 边形就越接近于圆.你认为这种
说法是否合理？若不合理，请给出正n 边形“接近度”的一个合理定义．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD=OC+OD；
在直角△OCD 中，∠DOC=60°，
则OD：OC=1：2，
因而OD：OC：AD=1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．
2．【答案】A；
【解析】所得正六边形边长为1，∴
2
3
3 3
1
6
4
2
S
．
3．【答案】D；
【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.
4.【答案】A；
【解析】如图（1），∵ AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴ OD＝2 3
3
．
∴
3
1
1
2 3
6
6
6
2
4 3
2
2
3
AOD
S
S
AD OD
．
如图（2），∵ AB＝AC＝3，∴ S4＝3×3＝9．
如图（3），∵ CD＝2，∴ OC＝2，CM＝1，
∴ OM＝3 ．
∴
6
1
12
12
1
3
6 3
2
COM
S
S
．
又∵
2
2
2
(6 3)
9
(4 3)
，
∴
6
4
3
S
S
S
，故选A．
5．【答案】B；
【解析】连接OA、OB，过A 作AM⊥OB 于M，
∵
360
45
8
AOB
°
° ，
∴ △AOM 是等腰直角三角形．
又
2
AO
，∴ AM＝1，
∴
1
1
2
2 1
2
2
2
AOB
S
OB
AM
，
∴
2
8
8
4 2
2
AOB
S
S
，
6．【答案】A．
【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为
，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的
比为，
即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为
×
=1；
做第二次后的正方形的边长为
；
依次类推可得：第n 个正方形的边长是（
）n-1，
则做第7 次后的圆的内接正方形的边长为
．
故选A．
二、填空题
7．【答案】 4
；
【解析】 设正方形边长为a，则周长为4a，面积为
2
a ，圆周长也为4a，则
2
2
4
r
a
，
∴
4
2
2
a
a
r
，∴
2
2
2
2
4
4
a
a
S
r
圆
∴
2
2
4
1
4
S
a
S
a
圆
正方形
．
8．【答案】100
150 3
；
【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积．
∵
2
10
100
O
S
，
1 10 5 3
6
150 3
2
S
正六边形
，
∴
100
150 3
O
S
S
S
阴影
正六边形
9．【答案】
：
：1；
【解析】设圆的半径为R，
如图（一），连接OB，过O 作OD⊥BC 于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=
R，（或由勾股定理求）
故BC=2BD=
R；
如图（二），连接OB、OC，过O 作OE⊥BC 于E，
则△OBE 是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=
，
故BC=
R；
如图（三），连接OA、OB，过O 作OG⊥AB，
则△OAB 是等边三角形，
故AG=OA•cos60°= R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）
故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为
R：
R：R=
：
：1．
10．【答案】6.
【解析】要使△PCD 的周长的最小，即PC+PD 最小．
利用正多边形的性质可得点C 关于BE 的对称点为点A，连接AD 交BE 于点P'，那么有
P'C=P'A，P'C+P'D=AD 最小．
又易知ABCD 为等腰梯形，∠BAD= CDA=60°
∠
，
则作BM AD
⊥
于点M，CN AD
⊥
于点N，
AB=2
∵
，
AM=
∴
AB=1，
AM=DN=1
∴
，从而AD=4，
故△PCD 的周长的最小值为6．
11．【答案】（1）r:a＝1:1；
3 2
r b
:
:
；（2）
1
2
3
4
S
S
:
．
【解析】如图所示．
（1）连接圆心O 和T1的6 个顶点可得6 个全等的正三角形，所以r:a＝1:1；
连接圆心O 和T2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以
3 2
r b
:
:
．
（2）T
1
∶T
2 的边长比是3 ∶2，所以S
1
∶S
2 =
4
:
3
)
:
(
2
b
a
.
所以
1
2
3
4
S
S
:
．
12.【答案】6-3 2 ；
【解析】连结OA、OO′、O C
‘
.（如图所示）
∵⊙O 与AB，AD 相切，⊙O′与BC,CD 相切，
∴OA 平分∠BAD,O′C 平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°，
若连结AC,则∠BAC=45°，∴直线OO′与直线AC 重合，
设⊙O 切AB、AD 于E、F，⊙O′切BC、CD 于G、H．
∵⊙O 与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．
连接OF、OE、O H
、O G
，则
2
2
OA
OF
R
．
同理
2
2
O C
OH
r
，
∴
2
2
(1
2)(
)
AC
R
r
R
r
R
r
．
又∵
3 2
AC
，∴ (1
2)(
)
3 2
R
r
，
∴
3 2
3 2( 2
1)=6-3 2
1
2
R
r
．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：过P 作AB 的垂线，交AB、DE 分别为H、K，连接BD，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
AB DE
∴
∥
，AF CD
∥
，BC EF
∥
，且P 到AF 与CD 的距离和及P 到EF、BC 的距离和均为HK 的长，
BC=CD
∵
，∠BCD= ABC= CDE=120°
∠
∠
，
CBD= BDC=30°
∴∠
∠
，
BD HK
∴
∥
，且BD=HK，
CG
BD
∵
⊥
，
BD=2BG=2×2
∴
×
=6，
∴点P 到各边距离之和为3BD=3×6=18．
14.【答案与解析】
（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n 中，∠APB=
．
15.【答案与解析】
（1）①∵正20 边形的每个内角的度数m=
=162°，
∴|180-m|=18；
②当“接近度”等于0 时，正n 边形就成了圆．
（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正n 边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r|却不
相等．合理定义方法不唯一，如定义为
、
越小，正n 边形越接近于圆；
越大，正
n 边形与圆的形状差异越大；当
=1 时，正n 边形就变成了圆．
