文档文本内容
重庆市2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）
一、选择题：（本大题12 个小题，每小题4 分，共48 分）
1. 2 的相反数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【详解】2 的相反数是-2，
故选D．
2. 计算
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．
【详解】解：
=
，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
3. 不等式
在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已
知解集表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式
在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．
4. 如图，△ABC 与△BEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（
）
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：3
D. 1：9
【答案】A
【解析】
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
5. 如图，四边形ABCD 内接于☉O，若∠A=80°，则∠C 的度数是（ ）
A. 80°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠A=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6. 计算
的结果是（ ）
A. 7
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
7. 如图，点B，F，C，E 共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB=DE
B. ∠A=∠D
C. AC=DF
D. AC∥FD
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：
BF=EC，
A. 添加一个条件AB=DE，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
又
故A 不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又
故B 不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C 符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD
又
故D 不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识
是解题关键．
8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙
两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所
示．下列说法正确的是（ ）
A. 5s 时，两架无人机都上升了40m
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
B. 10s 时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为8m/s
D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的
时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】解：设甲的函数关系式为
，把(5，40)代入得：
，解得
，
∴
，
设乙的函数关系式为
，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得
，
∴
，
A、5s 时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s 时，甲无人机离地面
80m，
乙无人机离地面
60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为
m/s，不符合题意；
D、10s 时，甲无人机距离地面
高度是80m．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，
读懂图形中的数据是解本题的关键．
9. 如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，M 是边AD 上一点，连接OM，过点O 做ON⊥OM，
交CD 于点N．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明
，再证明四边形MOND 的面积等于，
的面积，继而解得正
方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND 的面积是1，
正方形ABCD 的面积是4，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
10. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND．甲在山脚点C 处测得通信基站顶
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距
离通信基站ND 的水平距离FE 为50m，测得山坡DF 的坡度i=1：1.25．若
，点C，B，E，F
在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：
）
A. 9.0m
B. 12.8m
C. 13.1m
D. 22.7m
【答案】C
【解析】
【分析】分别解直角三角形
和
，求出NE 和MB 的长度，作差即可．
【详解】解：∵
，DF 的坡度i=1：1.25，
∴
，解得
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴顶端M 与顶端N 的高度差为
，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
11. 若关于x 的一元一次不等式组
的解集为
，且关于y 的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A. 5
B. 8
C. 12
D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到
解得
，再解分式方程得到
，根据分式方程的解是正整数，得到
，且
是2 的倍数，据此解得所有符合条件的整
数a 的值，最后求和．
【详解】解：
解不等式①得，
，
解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程
得
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
整理得
，
则
分式方程的解是正整数，
，且
是2 的倍数，
，且
是2 的倍数，
整数a 的值为-1, 1, 3, 5,
故选：
．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知
识是解题关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X 轴，
AO⊥AD，AO=AD．过点A 作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数
的图象经过点E，与
边AB 交于点F，连接OE，OF，EF．若
，则k 的值为（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
A.
B.
C. 7
D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长EA 交x 轴于点G，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得
DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得
点E、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据
，即
可求得a 的值，从而可求得k 的值．
【详解】如图，延长EA 交x 轴于点G，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD 是菱形
∴CD=AD=AB，CD∥AB
∵AB∥x 轴，AE⊥CD
∴EG⊥x 轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD
∴∠DAE+∠GAO=90゜
∴∠GAO=∠D
∵OA=OD
∴△DEA≌△AGO(AAS)
∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED 中，由勾股定理得：AE=3a
∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x 轴，AG⊥x 轴，FH⊥x 轴
∴四边形AGHF 是矩形
∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E 点在双曲线
上
∴
即
∵F 点在双曲线
上，且F 点的纵坐标为4a
∴
即
∴
∵
∴
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
解得：
∴
故选：A．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等
知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F 三点的坐标．
二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）
13. 计算：
_______．
【答案】2．
【解析】
【分析】分别根据绝对值
性质、0 指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案是：2．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0 指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键．
14. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝
上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的
概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，
再由概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图如图：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
共有16 个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4 个，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求
出相应的概率．
15. 若关于x 的方程
的解是
，则a 的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】将x=2 代入已知方程列出关于a 的方程，通过解该方程来求a 的值即可．
【详解】解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次
方程的解．
16. 如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，分别以点A，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交
AB，CD 于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且BD=4，
∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．
17. 如图，三角形纸片ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC 上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直
线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE 的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到DE 为
的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解
求出AF 的长度，即可求解．
【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
∴DE 垂直平分AF，
，
，
，
∵DE∥BC，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即D 为AB 的中点，
∴DE 为
的中位线，
∴
，
∵AF＝EF，
∴
是等边三角形，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
∴四边形ADFE 的面积为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
18. 某销售商五月份销售A、B、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C 三种饮料的单价之比为1：
2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的
，B、C 饮料增加的销售
额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料
五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设销售A 饮料的数量为3x，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x，A 种饮料的单价
y． B、C 两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A 饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A 饮料销售额
为3xy+
，B 饮料的销售额为
，C 饮料销售额：
，可求
，六月份A
种预计的销售额
，六月份预计的销售数量
，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之
比
计算即可
【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，
设销售A 饮料的数量为3x，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x，
A、B、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．,
设A 种饮料的单价y． B、C 两种饮料的单价分别为2y、y．
六月份A 饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，
A 饮料增加的销售占六月份销售总额的
A 饮料销售额为3xy+
，
A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，
B 饮料的销售额为
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
B 饮料的销售额增加部分为
∴C 饮料增加的销售额为
∴C 饮料销售额：
∴
∴
六月份A 种预计的销售额
，
六月份预计的销售数量
∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比
故答案为
【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握
销售额=销售单价×销售数量是解题关键
三、解答题：（本大题7 个小题，没小题10 分，共70 分）
19. 计算（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据分式混合运算的运算法则计算即可．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
【详解】解：（1）
=x2﹣2xy+y2+x2+2xy
=2x2+y2；
（2）
=
=
=
．
【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是
解答的关键．
20. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级
部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10 个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：
kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A．
，B．
，C．
，D．
），下面给出了部分信息．
七年级10 个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．
八年级10 个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．
七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A 等级所占百分比
七年级
1.3
1.1
a
0.26
40%
八年级
1.3
b
1.0
0.23
m%
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m 的值；
（2）该校八年级共30 个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条
理由即可）．
【答案】（1）
；（2）6 个；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b 的值，由扇形统计图可解得m 的值；
（2）先计算在10 个班中，八年级A 等级的比例，再乘以30 即可解题；
（3）分别根据各年级
众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．
【详解】解：（1）根据题意得，七年级10 个班的餐厨垃圾质量中，
出现的此时最多，即众数是
；
由扇形统计图可知
，
八年级的A 等级的班级数为10×20%=2 个，八年级共调查10 个班，故中位数为第5 个和第6 个数的平均数，
A 等级2 个班，B 等级的第3 个数和第4 个数是1.0 和1.0，故八年级10 个班的餐厨垃圾质量的中位数为
（1.0+1.0）÷2=1.0
；
（2）∵八年级抽取的10 个班级中，餐厨垃圾质量为A 等级的百分比是20%，
∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数为：30×20%＝6（个）；
答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数为6 个．
（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8 低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；
②七年级各班餐厨垃圾质量A 等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A 等级的20%；
八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0 低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；
②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23 低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
21. 如图，在
中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB 上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD 的平分线交AB 于点F．（保
留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE 交CF 于点P，猜想△CDP 按角分类的类型，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；
（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90 即可得出答案．
【详解】解：（1）解：如图所示：E，F 即为所求；
（2）△CDP 是直角三角形．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴∠CED=∠ADE=
∠ADC．
∵CP 平分∠BCD，
∴∠DCP=
∠BCD，
∴∠CDE+∠DCP=90°．
∴∠CPD=90°．
∴△CDP 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其
应用的过程．以下是我们研究函数
的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－
－
－
0
4
0
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数
的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式
的解集．
（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
【答案】（1）从左到右，依次为：
，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称
轴是y 轴；（3）
【解析】
分析】（1）直接代入求解即可；
（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图象交点写出解集即可．
【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：
．
函数图象如图所示．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
；
（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当
，函数取得最大值4；
③当
是，y 随x 的增大而增大；当
是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）
（3）当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以
是
的一个解；
由图象可知
和
是
的另外两个解；
∴
的解集为
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象
解题是关键．
23. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相
同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100 元，1 件A 产品与1 件B 产品售价和为
500 元．
（1）A、B 两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间
改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加
a%；B 产品产量将在去年的基础上减少a%，但B 产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B 两种产品全部
售出后总销售额将在去年的基础上增加
%．求a 的值．
【答案】（1）A 产品的销售单价为300 元，B 产品的销售单价为200 元；（2）20
【解析】
【分析】（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出
即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意根据题意列出方程
解出即可；
【详解】解：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得
．
则
．
答：A 产品的销售单价为300 元，B 产品的销售单价为200 元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
设a%=m，则原方程可化简为
．
解这个方程，得
（舍去）．
∴a=20．
答：a 的值是20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
24. 如果一个自然数
的个位数字不为
，且能分解成
，其中
与
都是两位数，
与
的十位数
字相同，个位数字之和为
，则称数
为“合和数”，并把数
分解成
的过程，称为“合分解”．
例如
，
和
的十位数字相同，个位数字之和为
，
是“合和数”．
又如
，
和
的十位数相同，但个位数字之和不等于
，
不是“合和数”．
（1）判断
，
是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”
进行“合分解”，即
．
的各个数位数字之和与
的各个数位数字
之和的和记为
；
的各个数位数字之和与
的各个数位数字之和的差的绝对值记为
．令
，当
能被
整除时，求出所有满足条件的
．
【答案】（1）
不是“合和数”，
是“合和数，理由见解析；（2）
有
，
，
，
．
【解析】
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数
的个位数字不为
，且能分
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
解成
，其中
与
都是两位数，
与
的十位数字相同，个位数字之和为
，则称数
为“合和
数”，再判断
，
是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示
个位及十位上的数，同时也可以用
来表示
．然后整理出：
，根据能被4 整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的
．
【详解】解：（1）
不是“合和数”，
是“合和数”．
，
，
不是“合和数”，
，十位数字相同，且个位数字
，
是“合和数”．
（2）设
的十位数字为
，个位数字为
（
，
为自然数，且
，
），
则
．
∴
．
∴
（
是整数）．
，
，
是整数，
或
，
①当
时，
或
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
或
．
②当
时，
或
，
或
．
综上，满足条件的
有
，
，
，
．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的
过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB 交x 轴
于点C，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x 轴，交AB 于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；
（3）把抛物线
平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M 是新抛物线上一点，N
是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐
标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
；（2）t=2 时，△PDE 周长取得最大值，最大值为
， 点P 的坐标
为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析
【解析】
分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
27
（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P
，其中0<t<4，则E
，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得
，根据二次函数求最值的方法求解即可；
（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN∥AB 时；2）当
NM∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．
【详解】解（1）∵抛物线
经过点A（0，﹣1），点B（4，1），
∴
，
解得
，
∴该抛物线的函数表达式为
；
（2）∵A（0，-1），B（4，1），
∴直线AB 的函数表达式为
，
∴C（2，0），
设P
，其中0<t<4，
∵点E 在直线
上，PE∥x 轴，
∴E
，∠OCA=∠DEP，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
28
∴PE=
，
∵PD⊥AB，
∴∠EDP=∠COA，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=
，
∴△AOC 的周长为3+
，
令△PDE 的周长为l，则
，
∴
，
∴当t=2 时，△PDE 周长取得最大值，最大值为
，
此时点P 的坐标为（2，﹣4），
（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为
，对称轴为直线
．
①若AB 是平行四边形的对角线，
当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形，
即MN 经过AB 的中点C（2，0），
∵点N 的横坐标为2，
∴点M 的横坐标为2，
∴点M 的坐标为（2，-4）；
②若AB 是平行四边形的边，
1）MN∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，
∵A（0，-1），B（4，1），点N 的横坐标为2，
∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，
∴点M 的坐标为（﹣2，12）；
2）当 NM∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，
∵A（0，-1），B（4，1），点N 的横坐标为2，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
29
∴点M 的横坐标为2+4=6，
∴点M 的坐标为（6，12），
综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边
形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类
讨论的思想方法进行探究、推导和计算．
四、解答题：（本大题1 个小题，共8 分）
26. 在
中，
，
是边
上一动点，连接
，将
绕点
逆时针旋转至
的位置，
使得
．
（1）如图，当
时，连接
，交
于点
．若
平分
，
，求
的长；
（2）如图
，连接
，取
的中点
，连接
．猜想
与
存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图
，在（2）的条件下，连接
，
．若
，当
，
时，
请直接写出
的值．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
30
【答案】（1）
；（2）
，证明见解析；（3）
．
【解析】
【分析】（1）连接
，过点
作
，垂足为
，证明
，得：
，再
在等腰直角
中，找到
，再去证明
为等腰三角形，即可以间接求出
的长；
（2）作辅助线，延长
至点
，使
，连接
，在
中，根据三角形
的中位线，得出
，再根据条件证明：
，于是猜想得以证明；
（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出
是等边三角形，再根据
证出
四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得
是等腰直角三角形，
设
，从而可得
，根据三角形全等的判定定理与性质可得
，从而可得
，根据矩形的判定与性质可得四边
形
是矩形，
，最后根据等量代换可得
，解直角三角形求
出
即可得出答案．
【详解】解：（1）连接
，过点
作
，垂足为
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
31
平分
，
，
．
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
平分
，
.
，
，
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
32
．
．
（2）
延长
至点
，使
，连接
．
是
的中点，
．
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
33
（3）如图，设
交于点
，连接
，
，
，
由旋转的性质得：
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点
四点共圆，
由圆周角定理得：
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
34
垂直平分
，
（等腰三角形的三线合一），
，
平分
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设
，则
，
由（2）可知，
，
，
，
是等腰直角三角形，且
，
（等腰三角形的三线合一），
，
在
和
中，
，
，
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
35
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
在
中，
，
则
．
【点睛】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、圆周角定理、解直角
三角形等知识点，综合能力比较强，较难的是题（3），判断出
四点共圆是解题关键．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
36
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
37
