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浙江省宁波市2021 中考数学试卷
试题卷Ⅰ
一、选择题（每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在﹣3，﹣1，0，2 这四个数中，最小的数是（ ）
A. ﹣3
B. ﹣1
C. 0
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可．
【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．
故选A．
2. 计算
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：原式
．
故选：D
【点睛】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．
3. 2021 年5 月15 日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000
千米．数320000000 科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的形式是：
，其中
＜10，
为整数．所以
，
取决于原数小数
点的移动位数与移动方向，
是小数点的移动位数，往左移动，
为正整数，往右移动，
为负整数．本
题小数点往左移动到
的后面，所以
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定
好
的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．
【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题
关键．
5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10 次射击成绩的平均数
（单位：环）及方差
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2
（单位：环）如下表所示：
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
1.6
0.8
3
0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9，
∴从甲，丙，丁中选取，
∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，
∴S 2
丁＜S 2
甲＜S 2
乙，
∴发挥最稳定的运动员是丁，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．
故选：D．
【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定.
6. 要使分式
有意义，x 的取值应满足（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
分式
有意义，
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3
故选：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键．
7. 如图，在
中，
于点D，
．若E，F 分别为
，
的中点，则
的长为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可知△ABD 为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC 是30°、60°的直角三角形，可求
出AC 长，再根据中位线定理可知EF=
。
【详解】解：因为AD 垂直BC，
则△ABD 和△ACD 都是直角三角形，
又因为
所以AD=
，
因为sin∠C=
，
所以AC=2，
因为EF 为△ABC 的中位线，
所以EF=
=1，
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4
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理
推导，是解决问题的关键．
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，
得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10 斗谷子，一斗醑酒价值3 斗谷子，现在拿
30 斗谷子，共换了5 斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30 斗谷子，共换了5 斗酒”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
9. 如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A，B 两点，点
B 的横坐标为2，当
时，x 的取值范围是（ ）
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
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5
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到点A 的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A 与点B 关于原点对称，
∵点B 的横坐标为2，
∴点A 的横坐标为-2，
由图象可知，当
或
时，正比例函数
的图象在反比例函数
的图象的上方，
∴当
或
时，
，
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题
的关键．
10. 如图是一个由5 张纸片拼成的
，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形
纸片的面积都为
，另两张直角三角形纸片的面积都为
，中间一张矩形纸片
的面积为
，
与
相交于点O．当
的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，四边形HEFG 是矩形可
得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O 是矩形HEFG 的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF=
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6
b ，GH=EF= c，过点O 作OP⊥EF 于点P，OQ⊥GF 于点Q，可得出OP，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中
位线，从而可表示OP，OQ 的长，再分别计算出
，
，
进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG 是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O 作OP⊥EF 于点P，OQ⊥GF 于点Q，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O 是矩形HEFG 的对角线交点，即HF 和EG 的中点，
∴OP，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线，
∴
，
∵
∵
∴
，即
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7
而
，
所以，
，故选项A 符合题意，
∴
，故选项B 不符合题意，
而
于
都不一定成立，故
都不符合题意，
故选：A
【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关
系．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
11.
的绝对值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值
定义，掌握知识点是解题关键．
12. 分解因式：
_____________．
【答案】x(x-3)
【解析】
【详解】直接提公因式x 即可，即原式=x(x-3).
13. 一个不透明的袋子里装有3 个红球和5 个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是
红球的概率为________．
【答案】
【解析】
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8
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8 种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3 种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球
概率为
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数．
14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，
分别与
相
切于点C，D，延长
交于点P．若
，
的半径为
，则图中
的长为________
．（结果保留
）
【答案】
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到
，根据四边形的内角和求得
，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
∵
分别与
相切于点C，D，
∴
，
∵
，
，
∴
，
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9
∴
的长=
（cm），
故答案为：
．
．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及
弧长的计算公式是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点
，我们把点
称为点A 的“倒数
点”．如图，矩形
的顶点C 为
，顶点E 在y 轴上，函数
的图象与
交于点
A．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形
的一边上，则
的面积为_________．
【答案】
或
【解析】
【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：①当点B 在边DE 上时；②当点B
在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出
的面积即可．
【详解】解：根据题意，
∵点
称为点
的“倒数点”，
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10
∴
，
，
∴点B 不可能在坐标轴上；
∵点A 在函数
的图像上，
设点A 为
，则点B 为
，
∵点C 为
，
∴
，
①当点B 在边DE 上时；
点A 与点B 都在边DE 上，
∴点A 与点B 的纵坐标相同，
即
，解得：
，
经检验，
是原分式方程的解；
∴点B 为
，
∴
的面积为：
；
②当点B 在边CD 上时；
点B 与点C 的横坐标相同，
∴
，解得：
，
经检验，
是原分式方程的解；
∴点B 为
，
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11
∴
的面积为：
；
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关
键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
16. 如图，在矩形
中，点E 在边
上，
与
关于直线
对称，点B 的对称点F 在
边
上，G 为
中点，连结
分别与
交于M，N 两点，若
，
，则
的
长为________，
的值为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由
与
关于直线
对称，矩形
证明
再证明
可得
再求解
即可得
的长； 先证明
可得：
设
则
再列方程，求解
即可得到答
案．
【详解】解：
与
关于直线
对称，矩形
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矩形
为
的中点，
如图，
四边形
都是矩形，
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13
设
则
解得：
经检验：
是原方程的根，但
不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】本题考查
是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题有8 小题，共80 分）
17. （1）计算：
．
（2）解不等式组：
．
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14
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到
，再解出②，得到
，由大小小大中间取得到解集．
【详解】解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
所以原不等式组的解是
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式
基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
18. 如图是由边长为1 的小正方形构成的
的网格，点A，B 均在格点上．
（1）在图1 中画出以
为边且周长为无理数的
，且点C 和点D 均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2 中画出以
为对角线的正方形
，且点E 和点F 均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，只要使得AB 的邻边AD 的长是无理数即可；
（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF 与AB 互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边
形
为所作．
【详解】.解：（1）如图四边形
即为所作，答案不唯一．
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（2）如图，四边形
即为所求作
正方形．
【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．
19. 如图，二次函数
（a 为常数）的图象的对称轴为直线
．
（1）求a 的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：
，列方程解方程即可得到答案；
（2）由（1）得：二次函数的解析式为：
，再结合平移后抛物线过原点，则
从而可
得平移方式及平移后的解析式．
【详解】解：（1）
．
∵图象的对称轴为直线
，
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∴
，
∴
．
（2）∵
，
∴二次函数的表达式为
，
∴抛物线向下平移3 个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为
．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，
熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
20. 图1 表示的是某书店今年1～5 月的各月营业总额的情况，图2 表示的是该书店“党史”类书籍的各月
营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5 月的营业总额一共是182 万元，观察图1、图
2，解答下列向题：
（1）求该书店4 月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5 月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5 个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
【答案】（1）45 万元，见解析；（2）10.5 万元；（3）5 月份党史类书籍的营业额最高，见解析
【解析】
【分析】（1）用该书店1～5 月的营业总额减去其它4 个月的营业总额即可求出该书店4 月份的营业总额，
进而可补全统计图；
（2）用5 月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可；
（3）结合两个统计图可以发现：在5 个月中4、5 月份的营业总额最高，且1~3 月份的营业总额以及“党
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史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5 月份，故只需比较4、5 月份“党史”类书籍的营业
额即可．
【详解】解：（1）
（万元），
答：该书店4 月份的营业总额为45 万元．
补全条形统计图：
（2）
（万元）．
答：5 月份“党史”类书籍的营业额为10.5 万元．
（3）4 月份“党史”类书籍的营业额为：
（万元）．
∵
，且1~3 月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5 月份，
∴5 月份“党史”类书籍的营业额最高．
【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题
的关键．
21. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄
始终平分同一平面内两条伞
骨所成的角
，且
，从而保证伞圈D 能沿着伞柄滑动．如图2 是伞完全收拢时伞骨的示意
图，此时伞圈D 已滑动到点
的位置，且A，B，
三点共线，
，B 为
中点，当
时，伞完全张开．
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（1）求
的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：
）
【答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【解析】
【分析】（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B 作
于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出
．利用角平分线的性
质求出∠BAE 的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵B 为
中点，
∴
，
∵
，
∴
．
（2）如图，过点B 作
于点E．
∵
，
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19
∴
．
∵
平分
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为
．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平
分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．
22. 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A 方案
B 方案
C 方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n
A，B，C 三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n 的值．
（2）在A 方案中，当每月使用的流量不少于1024 兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x
（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C 方案最划算？
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20
【答案】（1）
；（2）
；（3）当每月使用的流量超过
3772 兆时，选择C 方案最划算
【解析】
【分析】（1）m 的值可以从图象上直接读取，n 的值可以根据方案A 和方案B 的费用差和流量差相除求得；
（2）直接运用待定系数法求解即可；
（3）计算出方案C
图象与方案B 的图象的交点表示的数值即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）设函数表达式为
，
把
，
代入
，得
，
解得
，
∴y 关于x 的函数表达式
．
（注：x 的取值范围对考生不作要求）
（3）
（兆）．
由图象得，当每月使用的流量超过3772 兆时，选择C 方案最划算．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
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21
合的思想解答．
23. 【证明体验】
（1）如图1，
为
的角平分线，
，点E 在
上，
．求证：
平分
．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F 为
上一点，连结
交
于点G．若
，
，
，求
的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形
中，对角线
平分
，点E 在
上，
．若
，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
【分析】（1）根据SAS 证明
，进而即可得到结论；
（2）先证明
，得
，进而即可求解；
（3）在
上取一点F，使得
，连结
，可得
，从而得
，
可得
，
，最后证明
，即可求解．
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22
【详解】解：（1）∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
平分
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
；
（3）如图，在
上取一点F，使得
，连结
．
∵
平分
，
∴
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∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
又∵
，
∴
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角
形和相似三角形，是解题的关键．
24. 如图1，四边形
内接于
，
为直径，
上存在点E，满足
，连结
并延长
交
的延长线于点F，
与
交于点G．
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24
（1）若
，请用含
的代数式表列
．
（2）如图2，连结
．求证；
．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结
，
．
①若
，求
的周长．
②求
的最小值．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）①
；②
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求得
，再根据
，求得
，即可
得到答案；
（2）由
，得到
，从而推出
，证得
，由此得到结论；
（3）①连结
．利用已知求出
，证得
，得到
，利用
中，根据正弦求出
，求出EF 的长，再利用
中，
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，求出EG 及DE，再利用勾股定理求出DF 即可得到答案；
②过点C 作
于H，证明
，得到
，证明
，得到
，设
，得到
，利用勾股定理得到
，求得
，利用函数的最值解答即可．
【详解】解：（1）∵
为
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
（3）①如图，连结
．
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∵
为
的直径，
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
即
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵在
中，
，
∴
，
∴
．
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∵在
中，
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
的周长为
．
②如图，过点C 作
于H．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
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∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
设
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
当
时，
的最小值为3，
∴
的最小值为
．
【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，
相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．
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