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相似三角形的性质--知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
探索相似三角形的性质，能运用性质解决有关的计算或证明问题.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1. 相似三角形周长的比等于相似比
∽
，则
由比例性质可得：
A
B
C
A'
B'
C'
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比.
2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽
，则
分别作出
与
的高
和
，则
2
1
1
2
2
=
1
1
2
2
ABC
A B C
BC AD
k B C k A D
S
k
S
B C
A D
B C
A D
△
△
A
B
C
A'
B'
C'
D
D'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
要点二、相似三角形中对应线段的比
【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID 号： 394500
关联的位置名称（播放点名称）：相似形的性质】
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1.（2015•合肥校级四模）如图，己知：Rt
ABC
△
中，∠BAC=9O°，AD BC
⊥
于D，E 是AC
的中点，ED 交AB 延长线于F，求证：
ABD
CAD
①△
△
∽
；
AB
②
：AC=DF：AF．
【思路点拨】（1）由Rt
ABC
△
中，∠BAC=9O°，AD BC
⊥
，易得∠BAD= ACD
∠
，又由
∠ADB= ADC
∠
，即可证得△ABD
CAD
∽△
；
（2）由△ABD
CAD
∽△
，即可得
，易证得△AFD
DFB
∽△
，可得
，继而证得结论．
【答案与解析】证明：（1）∵AD BC
⊥
，
ADB= ADC=90°
∴∠
∠
，
BAD+ DAC=90°
∴∠
∠
，∠DAC+ ACD=90°
∠
，
BAD= ACD
∴∠
∠
，
ADB= ADC
∠
∠
∵
，
ABD
CAD
∴△
△
∽
；
（2）∵△ABD
CAD
∽△
，
∴
，
E
∵
是AC 中点，∠ADC=90°，
ED=EC
∴
，
ACD= EDC
∴∠
∠
，
EDC= BDF
∵∠
∠
，∠ACD= BAD
∠
，
BAD= BDF
∴∠
∠
，
AFD= DFB
∵∠
∠
，
AFD
DFB
∴△
△
∽
，
∴
，
∴
．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此外，注意掌握
数形结合思想的应用．
举一反三:
【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18
和2，DE=2,求AC 边上的高.
【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴
,
BD
AB
BD
BE
BE
CB
AB
CB
即
,
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴
2
2
1
18
9
BED
BCA
DE
AC
S
S
△
△
,
∴
1
3
DE
AC
,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
1
18
6
2
ABC
AC BF
S
△
，BF= .
2.已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰
2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．
E
D
A
B
C
F
【答案与解析】
解：∵DA∥BC，
∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
∵AE︰BE=1:2，
∴S△ADE:S△BCE=1:4．
∵S△ADE=1，
∴S△BCE=4．
∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
∴S△ABC=6．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∵AE:AB=1:3，
∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
∴S△AEF=
=
．
【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形
的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，
即相似比的平方．
举一反三：
【变式】已知如图，梯形ABCD 中，AB CD
∥
，△COD 与△AOB 的周长比为1：2，则CD：AB=
，S
COB
△
：S
COD
△
= ．
【答案】1:2；2:1
【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID 号： 394500
关联的位置名称（播放点名称）：例题分析2】
3.（2015•柳州）如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，
EF= EH，求EH 的长?
【思路点拨】设EH=3x，表示出EF，由AD
EF
﹣
表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角
形AEH 与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即
为EH 的长．
【答案与解析】
解：∵四边形EFGH 是矩形，
EH BC
∴
∥
，
AEH
ABC
∴△
△
∽
，
AM
EH
∵
⊥
，AD BC
⊥
，
∴
=
，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD
EF=2
2x
﹣
﹣
，
∴
=
，
解得：x= ，
则EH= ．
故答案为：．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形
的判定与性质是解本题的关键．
类型二、相似三角形中对应线段的比
4.
ABC
A′B′C′
△
△
∽
，
，AB 边上的中线CD=4cm，△ABC 的周长为20cm，
△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC 的面积．
【答案与解析】
（1）∵△ABC∽△A′B′C′，
，AB 边上的中线CD=4cm，
∴
，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，
，△ABC 的周长为20cm，
∴
= ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm；
（3）∵△ABC∽△A′B′C′，
，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴
=
= ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC 的面积是16cm2．
【总结升华】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相
似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三
角形的面积的比等于相似比的平方．
