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11.2 与三角形有关的角 专题一 利用三角形的内角和求角度 1．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则 ∠D=（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 2．如图，已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D. 若AP 平分∠BAC 且交BD 于P，求∠BPA 的度数． 3．已知：如图1，线段AB、CD 相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1 的条件下，∠DAB 和 ∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系：__________； （2）在图2 中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程） （3）如果图2 中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D、∠B 之间的数量关系． （直接写出结论即可） [来源 专题二 利用三角形外角的性质解决问题 4．如图，∠ABD，∠ACD 的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°． （1）求∠DCE 的度数； （2）试写出∠DCE 与∠A、∠B 的之间的关系式．（不必证明） 6．如图： （1）求证：∠BDC= A+ B+ C ∠ ∠ ∠； （2）如果点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD 这4 个角之 间有怎样的关系，并证明你的结论． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 2．直角三角形的性质及判定 性质：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【温馨提示】 1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角． 【方法技巧】 1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互 余”． 2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． 参考答案: 1．C 解析：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D，∴∠1= ACE ∠ ，∠2= ABC ∠ ．又∵∠D= 1 ∠－∠2，∠A= ACE ∠ －∠ABC，∴∠D= A=25° ∠ ．故选C． 2．解：（法1） 因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°， 所以 ( BAC ∠ ＋∠ABC)=45°. 因为BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC ， BAP= ∠ BAC ∠ ，∠ABP= ABC ∠ ， 即∠BAP＋∠ABP=45°， 所以∠APB=180°－45°=135°. [来源:www.shulihua.net 数理化网] （法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°， 所以 ( BAC ∠ ＋∠ABC)=45°， [来源:学§科§网] 因为BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC， DBC= ∠ ABC ∠ ，∠PAC= BAC ∠ ， 所以∠DBC＋∠PAD=45°. [来源:www.shulihua.net] 所以∠APB= PDA ∠ ＋∠PAD = DBC ∠ ＋∠C＋∠PAD = DBC ∠ ＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°. 3．解：（1）∠A+ D= B+ C ∠ ∠ ∠； （2）由（1）得，∠1+ D= 3+ P ∠ ∠ ∠，∠2+ P= 4+ B ∠ ∠ ∠， 1 ∴∠－∠3= P ∠－∠D，∠2－∠4= B ∠－∠P， 又∵AP、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD， 1= 2 ∴∠ ∠，∠3= 4 ∠， P ∴∠－∠D= B ∠－∠P， 即2 P= B+ D ∠ ∠ ∠， P= ∴∠ （40°+30°）÷2=35°． （3）2 P= B+ D ∠ ∠ ∠． 4．B 解析：延长DC，与AB 交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得 ∠ACD=50°+ AEC=50°+ ABD+10° ∠ ∠ ，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC 与BP 相交于点 O，则∠AOB= POC ∠ ，∴∠P+ ACD= A+ ∠ ∠ ABD ∠ ，即∠P=50°－ （∠ACD－∠ABD） =20°．故选B． 5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°， ACB=68° ∴∠ ． CD ∵ 平分∠ACB， DCB= ∴∠ ACB=34° ∠ ． CE ∵ 是AB 边上的高， ECB=90° ∴∠ －∠B=90°－72°=18°． DCE=34° ∴∠ －18°=16°． （2）∠DCE= （∠B－∠A）． 6．（1）证明：延长BD 交AC 于点E， BEC ∵∠ 是△ABE 的外角， BEC= A+ B ∴∠ ∠ ∠． BDC ∵∠ 是△CED 的外角， BDC= C+ DEC ∴∠ ∠ ∠ = C+ A+ B ∠ ∠ ∠． （2）猜想：∠BDC+∠ACD+ A+ ∠ ∠ABD=360°． 证明：∠BDC+∠ACD+ A+ ∠ ∠ABD = 3+ 2+ 6+ 5+ 4+ 1 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ =（∠3+ 2+ 1 ∠ ∠）+（∠6+ 5+ 4 ∠ ∠） =180°+180°=360°．
