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让更多的孩子得到更好的教育
角的平分线的性质（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD 平分∠ADB，点P 是CD 上一点，且PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD 于点E，PF⊥BD 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠ADB
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB 于E.
（2）分别以D、E 为圆心，大于1
2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
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三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形
三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个.如图所示：△ABC 的
内心为
1P ，旁心为
2
3
4
,
,
P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质及判定
1、（2014 秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线
相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；
（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D．求证：CE=ED．
【思路点拨】（1）过P 作PT⊥BC 于T，PS⊥AC 于S，PQ⊥BA 于Q，根据角平分线性质求出
PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据ASA 求出△AED≌△AEC 即可．
【答案与解析】
证明：（1）过P 作PT⊥BC 于T，PS⊥AC 于S，PQ⊥BA 于Q，如图，
∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP 平分∠DAC，
即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；
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（2）∵PA 平分∠BAC 的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED 和△AEC 中
∴△AED≌△AEC，
∴CE=ED．
【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是
能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS 和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的
距离相等．
举一反三：
【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，交AB 的延长线于点E，DF⊥AC 于点F，且DB＝
DC.
求证：BE＝CF.
【答案】
证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD 是∠BAC 的平分线，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°
在Rt△BDE 与Rt△CDF 中，DB
DC
DE
DF
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE＝CF
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2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG 和△AED 的面积分别
为50 和39，则△EDF 的面积为：（ ）
A.11 B.5.5 C.7
D.3.5
【答案】 B；
【解析】
解： 过D 点作DH⊥AC 于H，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF＝DH
在Rt△EDF 和Rt△GDH 中
DE＝DG，DF＝DH
∴Rt△EDF≌Rt△GDH
同理可证Rt△ADF 和Rt△ADH
∴
AED
EDF
ADG
GDH
S
=
S
S
S
△
△
△
△
∴
EDF
ADG
AED
2
=
S
S
S
△
△
△
＝50－39＝11，
∴△EDF 的面积为5.5
【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED
的面积来表示△EDF 面积.
【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】
3、（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点P，且与
AB 垂直．若AD=8，则点P 到BC 的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路点拨】过点P 作PE⊥BC 于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P
到BC 的距离.
【答案与解析】
解：过点P 作PE⊥BC 于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
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∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助
线是解题的关键．
类型二、角的平分线的性质综合应用
4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
【思路点拨】在BA 的延长线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，从而将四条线段转化到同一个
△PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：①当点P 与点A 不重合时，在BA 延长线上取一点D，使AD＝AC，连接PD.
∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2
∵在△PAD 和△PAC 中
1
2
PA
PA
AD
AC
∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD 中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD
∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P 与点A 重合时，PB＋PC＝AB＋AC.
综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，
从而把分散的线段集中到同一个三角形中.
举一反三：
【变式】（2014 秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC 中，∠D=∠ABD=90゜，点O 为BD 的中
点，且OA 平分∠BAC．
（1）求证：OC 平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
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【答案】
证明：（1）过点O 作OE⊥AC 于E，
∵∠ABD=90゜，OA 平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O 为BD 的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC 平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO 和Rt△AEO 中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
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