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第十八章 平行四边形周周测9
一 选择题
下列命题中,真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
下列命题中，不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D.对角线相等的菱形是正方形
已知▱ABCD 的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A．4
B．12
C．24
D．28
如图,在平行四边形ABCD 中, BAD
∠
的平分线交BC 于点E, ABC
∠
的平分线交AD 于点F,若
BF=12,AB=10,则AE 的长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接
BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
如图，在菱形ABCD 中，BE AD
⊥
，BF CD
⊥
，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF 等于( )
A．75°
B．60°
C．50°
D．45°
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如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE BC,
⊥
垂足为E,则AE 的长为(
)
A．4
B．2.4
C．4.8
D．5
某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛，如图中的阴影部分所
示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分
种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为( )
A．20m
B．25m
C．30m
D．35m
如图,菱形ABCD 中, B=60°,AB=4,
∠
则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为( )
A．14
B．15
C．16
D．17
如图，菱形ABCD 的对角线相交于坐标原点，点A 的坐标为(a，2)，点B 的坐标为(
1
﹣，﹣
)，点C 的坐标为(2
，c)，那么a，c 的值分别是( )
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A．a=
1
﹣，c=﹣
B．a=
2
﹣
，c=
2
﹣ C．a=1，c=
D．a=2
，c=2
如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结
论:
AE=BF
①
；②AE
BF
⊥
；③AO=OE；④S
AOB
△
=S四边形DEOF中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二 填空题
如图,两个完全相同的三角尺ABC 和DEF 在直线l 上滑动.要使四边形CBFE 为菱形,还需添
加的一个条件是________(写出一个即可).
如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，点D、E、F 分别是AB、AC、BC 中点，若CD=5，则EF 长为
.
如图,在矩形ABCD中,AB=3cm，BC=4cm，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，
使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为________．
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如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，E，F 分别是BC，DC 上的点，∠EAF=60°，连接EF，则
△AEF 的面积最小值是 ．
如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG
将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为______个.
如图，已知正方形ABCD 的边长为10，点P 是对角线BD 上的一个动点，M、N 分别是BC、
CD 边上的中点，则PM＋PN 的最小值是___________．
三 作图题
如图，将四边形ABCD 放在每个小正方形的边长为1 的网格中，点A．B、C、D 均落在格点上．
（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB 为一边的矩形，使该矩形的
面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
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四 解答题
如图，点E、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形．
（1）试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明；
（2）若菱形AECF 的周长为20，BD 为24，试求四边形ABCD 的面积．
如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．
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如图，在△ABC 中，AB=BC，BD 平分∠ABC．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点
F，连接CE．求证：四边形BECD 是矩形．
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D，交AB 于E，F 在DE 上，
并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．
将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
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（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；
（3）在（2）的条件下折痕EF的长．
如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O，E 是BO 的中点，过B 点作AC 的平
行线，交CE 的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD 满足什么条件时，四边形AFBO 是菱形？说明理由．
如图,
ABC
△
中,点O 是边AC 上一个动点,过O 作直线MN BC.
∥
设MN 交∠ACB 的平分线于
点E,交∠ACB 的外角平分线于点F．
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（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12,CF=5,求OC 的长；
（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时,四边形AECF 是矩形？并说明理由．
第十八章 平行四边形周周测9 试题答案
C． B．B. A C； C C； B. C C. C.
C；B=BF 或BE CF
⊥
或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)
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5 3 或1.5
． 3 10
解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，
AD
∴
2+DC2+CB2=10+10=2=22，故答案为：22；
（2）如图，以AB 为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN 交AH 于点Q，交
GB 于点P，矩形ABPQ 即为所求．理由是：∵S HMNG
▱
=2×6
2×
﹣
（+1+ ×5×1）=4，∴S 矩形
HQNG=S HMNG
▱
=4，
S
∵
正方形ABGH=（
）
2=26，∴S 矩形ABPQ=26
4=22
﹣
，所以画出的矩形ABPQ 的面积等于
AD2+DC2+CB2．
解：（1）四边形ABCD 为菱形．理由如下：如图，连接AC 交BD 于点O，
∵四边形AECF 是菱形，∴AC BD
⊥
，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F 为线段BD 的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD，
AO=OC
∵
，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AC BD
⊥
，∴四边形ABCD 为菱形；
（2）∵四边形AECF 为菱形，且周长为20，∴AE=5，∵BD=24，∴EF=8，OE= EF= ×8=4，
由勾股定理得，AO=
=
=3，∴AC=2AO=2×3=6，
S
∴
四边形ABCD= BD•AC= ×24×6=72．
证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE
ABCD OA=OC
∵
∴
▱
，OB=OD OF=BF
OB
∵
﹣
，OE=DE
OD,BF=DE OE=OF
﹣
∴
OA=OC
∵
，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF
证明：∵AB=BC，BD 平分∠ABC，∴BD AC
⊥
，AD=CD．
∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE AD
∥
，BE=AD，∴BE=CD，
∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD AC
⊥
，∴∠BDC=90°，∴▱BECD 是矩形．
解：（1）∵ED 是BC 的垂直平分线∴EB=EC，ED BC
⊥
，∴∠3= 4
∠，
ACB=90°
∵∠
，∴FE AC
∥
，∴∠1= 5
∠，
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2
∵∠与∠4 互余，∠1 与∠3 互余∴∠1= 2
∠，∴AE=CE，
又∵AF=CE，∴△ACE 和△EFA 都是等腰三角形，∴∠5= F
∠，∴∠2= F
∠，
∴在△EFA 和△ACE 中∵∠1= 5, 2= F,AF=CE
∠∠
∠
，∴△EFA
ACE
△
≌
（AAS），
AEC= EAF AF CE
∴
∴
∴
∠
∠
∥
四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形．证明如下：
B=30°
∵∠
，∠ACB=90°
1= 2=60°
AEC=60° AC=EC
∴
∴
∴
∠
∠
∠
∴平行四边形ACEF 是菱形．
证明：（1）如图，取BC 的中点G，连接EG．
E
∵
是BO 的中点，∴EG 是△BFC 的中位线，∴EG=0.5BF．同理，EG=0.5OC，∴BF=OC．
又∵点O 是▱ABCD 的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．
又∵BF AC
∥
，即BF AO
∥
，∴四边形AOBF 为平行四边形，∴FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD 是矩形时，四边形AFBO 是菱形．理由如下：
∵平行四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO 是菱形．
（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F，
2= 5
∴∠
∠，∠4= 6
∠，∵MN BC
∥
，∴∠1= 5
∠，∠3= 6
∠，
1= 2
∴∠
∠，∠3= 4
∠，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：∵∠2= 5
∠，∠4= 6
∠，∴∠2+ 4= 5+ 6=90°
∠
∠
∠
，
CE=12
∵
，CF=5，∴EF=
=13，∴OC= EF=6.5；
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（3）解：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．
证明：当O 为AC 的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF 是平行四边形，
ECF=90°
∵∠
，∴平行四边形AECF 是矩形．
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