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角平分线的性质
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1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；
2、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用；
3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．
1.角平分线的概念
________________________________________________叫角的平分线．
2.角平分线的性质
角平分线上的点到________________________距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在________________上．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB ∴CD=CE
3.角平分线的性质证明
要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
在△ABC 和△ADC 中：
2
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
4.角平分线的画法
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：
（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB 于M、N．
（2）分别以M、N 为圆心，大于
MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC 即为所求．
1.角平分线的定义．
【例1】（2014•大连六中月考）如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB．若∠COB=35°，则
∠AOD 等于（ ）
A．35°
B．70°
C．110°
D．145°
练1.（2014•滨州渤海中学期末）如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线，如果
∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【例2】如图，△ABC 的角平分线BM、CN 相交于点P．求证：点P 到三边AB、BC、CA 的距离相等．
3
练2. 已知：如图6 所示在
中，
，∠BAC、∠BCA 的角平分线AD、CE 相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
3. 角平分线的性质；三角形的面积．
【例3】如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 于点F．S△ABC=7，
DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5
练3. 如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（
）
A．PA=PB
B．PO 平分∠APB
C．OA=OB
D．AB 垂直平分OP
练4.如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE⊥AC 于点E．已知PE=3，则点P 到AB 的距离是（
）
4
A．3
B．4
C．5
D．6
4．角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【例4】（2014•扬州一中期末）如图：将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不
与B、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数α 满足
（ ）
A．90°＜α＜180°
B．α=90°
C．0°＜α＜90°
D．α 随着折痕位置的变化而变化
练5.（2015•乌兰察布集宁一中月考）如图，已知AC 平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ 上．
下列条件中不能推出AB=AB′的是（ ）
A．BB′⊥AC
B．BC=B′C
C．∠ACB=∠ACB′ D．∠ABC=∠AB′C
5．线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【例5】（2014•三明市中期中）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE
交AB 于点D，交BC 于点E，则下列结论不正确的是（ ）
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A．AE=BE
B．AC=BE
C．CE=DE
D．∠CAE=∠B
练6．（2014•曲靖一中月考模拟）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点
D，且BD：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为 ．
练7．（2014•祁县质检）如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 度．
6.线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
【例6】（2015•陕西西安实验期末）如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D，∠ABC 的平分
线BE 交AD 于点E，连接EC，则∠AEC 的度数是 度．
练8．（2014•益阳一中质检）如图，已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且
PA=PB，下列确定P 点的方法正确的是（ ）
A．P 是∠A 与∠B 两角平分线的交点
B．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点
C．P 为AC、AB 两边上的高的交点
D．P 为AC、AB 两边的垂直平分线的交点
1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC，交CD 于点E，BC=5，
DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）
6
A．10
B．7
C．5
D．4
2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
DE=1，则BC=（ ）
A．
B．2
C．3
D．
+2
3．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PD=6，则点P 到边OB 的距
离为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，在边长为
的等边三角形ABC 中，过点C 垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P，
则点P 到边AB 所在直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，BA 和CD 的延长线交于点E，若点P 使得S△PAB=S△PCD，
则满足此条件的点P（ ）
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A．有且只有1 个
B．有且只有2 个
C．组成∠E 的角平分线
D．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外）
6．如图，已知OP 平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点
E．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ）
A．2
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，AC=3，BC=4，则CD 的长是（
）
A．1
B．
C．
D．2
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1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD 的
面积为 ．
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2．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C，QD⊥OB 于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
3．（2014 秋•深圳中学月考）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=
．
4．已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
PD=10，则PE 的长度为 ．
5．如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P 到边BC
的距离为 cm．
6．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，DE⊥AC 交于点E，DF⊥BC 于点F，且
BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是 ．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D，若AD=4，CD=2，则
AB 的长是 ．
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8．（2015•株洲一中期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点
O、E、F 分别在BD、BC、AC 上，且四边形OECF 是正方形．
（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE 的长．
9．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD，E、F 两点分别在AB、AD 上，
且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 的一半．
10．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
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