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第十二章 全等三角形周周测5
一、选择题(每题3 分，共30 分)
1．下列判断不正确的是( )
A．形状相同的图形是全等图形 B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同 D．全等三角形的对应角相等
2．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=85°，∠B=65°，则∠CAD 度数为（ ）
A．85°
B．65°
C．40°
D．30°
(第2 题图) (第3 题图) (第4 题图) (第5 题图)
3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A 与∠PRQ 的
顶点R 重合，调整AB 和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE 就是
∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有
∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若AB＝10
cm，AC＝6 cm，则BE 的长度为( )
A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
5．如图所示，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中全等三角形共有( )
A．5 对 B．4 对 C．3 对 D．2 对
6．点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则
下列选项正确的是( )
A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5
7．在△ABC 中，∠B＝∠C，与△ABC 全等的△DEF 中有一个角是100°，那么在△ABC 中与
这100°角对应相等的角是( )
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B 或∠C
8．如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则不正确的是( )
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A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE
(第8 题图) (第9 题图) (第10 题图)
9．如图，直线a，b，c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离
相等，则可供选择的地址有( )
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
10．已知：如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C，
D，E 三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD＝CE；
②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°.其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3 分，共30 分)
11．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是：________．(填上你认为
适当的一个条件即可)
12．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠A＝60°，则∠BOC＝________°.
13．在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是
________.
(第11 题图) (第12 题图) (第15 题图) (第16 题图)
14．已知等腰△ABC 的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′
的腰长等于________．
15．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，则∠E＝________°.
16．如图，△ABC≌△DCB，AC 与BD 相交于点E，若∠A＝∠D＝80°，∠ABC＝60°，则
∠BEC 等于________．
17．如图，OP 平分∠MON，PE⊥OM 于点E，PF⊥ON 于点F，OA＝OB，则图中共有________对
全等三角形．
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18．如图，已知P(3，3)，点B，A 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA
＋OB＝________．
(第17 题图) (第18 题图) (第19 题图) (第20 题图)
19．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实
线所围成的图形的面积S 是________．
20．如图，已知点P 到BE，BD，AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠DBC 的平分线上；
②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA 的平分线的交点，
上述结论中，正确的有________．(填序号)
三、解答题(21，22 题每题7 分，23，24 题每题8 分，25～27 题每题10 分，共60 分)
21．如图，按下列要求作图：
(1)作出△ABC 的角平分线CD；
(2)作出△ABC 的中线BE；
(3)作出△ABC 的高AF.
(不写作法)
(第21 题图)
22．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F 与∠M 是对应角．
(1)写出所有相等的线段与相等的角；
(2)若EF＝2.1 cm，FH＝1.1 cm，HM＝3.3 cm，求MN 和HG 的长度．
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(第22 题图)
23．如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACE.
(第23 题图)
24．如图，AC∥BE，点D 在BC 上，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE.
求证：DC＝BE－AC.
(第24 题图)
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25．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 交AB 于点E，点F
在AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
(第25 题图)
26．如图，A，B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从点B 出发在河岸
上画一条射线BF，在BF 上截取BC＝CD，过D 作DE∥AB，使E，C，A 在同一直线上，则DE 的长
就是点A，B 之间的距离，请你说明道理．
(第26 题图)
27．如图(1)，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD，以AD 为一边且
在AD 的右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图(2)，线段CF，BD 所在直线的位置关系为
______，线段CF，BD 的数量关系为________；
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②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图(3)，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(2)如果AB≠AC，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足什么条件时，CF⊥BC(点
C、F 不重合)，并说明理由．
(第27 题图)
参考答案
一、1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B
7．A 8.D
9．D 分析：如图，在△ABC 内部，找一点到三边距离相等，根据到角的两边距离相等的
点在角的平分线上，可知，此点在各内角的平分线上，作∠ABC，∠BCA 的平分线，交于点O1，
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由角平分线的性质可知，O1到AB，BC，AC 的距离相等．同理，作∠ACD，∠CAE 的平分线，交于点
O2，则O2到AC，BC，AB 的距离相等，同样作法得到点O3，O4.故可供选择的地址有四处．故选D.
(第9 题答图)
10．D
二、11.∠B＝∠C(答案不唯一)
12．120 13. 4∶3 14. 8 cm 或5 cm
15．27 16. 100°
17．3 分析：因为△OPE≌△OPF，△OPA≌△OPB，△AEP≌△BFP，所以共有3 对全等三角
形．
18．6 分析：过点P 作PC⊥OB 于C，PD⊥OA 于D，则PD＝PC＝DO＝OC＝3，可证
△APD≌△BPC，∴DA＝CB，∴OA＋OB＝OA＋OC＋CB＝OA＋OC＋DA＝OC＋OD＝6.
19．50 分析：由题意易知，△AFE≌△BGA，△BGC≌△CHD.∴FA＝BG＝3，AG＝EF＝6，CG
＝HD＝4，CH＝BG＝3.∴S＝S 梯形EFHD －S△EFA－S△AGB－S△BGC－S△CHD＝
(4＋6)×(3＋6＋4＋3)－×3×6×2－×3×4×2＝80－18－12＝50.
20．①②③④
三、21.解：(1)角平分线CD 如图①所示．(2)中线BE 如图②所示．(3)高AF 如图③所示．
(第21 题答图)
22．解：(1)EF＝MN，EG＝HN，FG＝MH，FH＝GM，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠MHN，∠FHN
＝∠EGM.
(2)∵△EFG≌△NMH，∴MN＝EF＝2.1 cm，GF＝HM＝3.3 cm，
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∵FH＝1.1 cm，∴HG＝GF－FH＝3.3－1.1＝2.2 (cm)．
23．证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠CAB＝∠DAE＝90°.
∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中，
[来源:学.科.网]
∴△ABD≌△ACE.
24．证明：∵AC∥BE，∴∠DBE＝∠C.∵∠CDE＝∠DBE＋∠E，∠ABE＝∠ABC＋∠DBE，
∠ABE＝∠CDE，∴∠E＝∠ABC.在△ABC 与△DEB 中，∴△ABC≌△DEB(AAS)．∴BC＝BE，AC＝
BD.∴DC＝BC－BD＝BE－AC.
25．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC.
又∵BD＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF＝EB.
(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE.
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
点拨：(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到
AB 的距离＝点D 到AC 的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.
(2)利用角平分线的性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，再将线段AB 进行转化．
26．解：∵DE∥AB，∴∠A＝∠E.
∵E，C，A 在同一直线上，B，C，D 在同一直线上，∴∠ACB＝∠ECD.
在△ABC 与△EDC 中，
∴△ABC≌△EDC(AAS)．
∴AB＝DE.
27．解：(1)①CF⊥BD；CF＝BD
②当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论仍然成立．理由：由正方形ADEF 得AD＝
AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC.
∴∠DAB＝∠FAC.
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又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC.
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴∠ACF＝45°.∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.即CF⊥BD.[来源:Z_xx_k.Com]
(第27 题答图)
(2)当∠ACB＝45°时，CF⊥BC(如图)．
理由：过点A 作AG⊥AC 交CB 的延长线于点G，则∠GAC＝90°.∵∠ACB＝45°，∠AGC＝
90°－∠ACB，∴∠AGC＝90°－45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴△AGC 是等腰直角三
角形，∴AC＝AG.又∵∠DAG＝∠FAC(同角的余角相等)，AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝
∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BC.
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