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相似三角形的性质--知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
探索相似三角形的性质，能运用性质解决有关的计算或证明问题.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1. 相似三角形周长的比等于相似比
∽
，则
由比例性质可得：
A
B
C
A'
B'
C'
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比.
2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽
，则
分别作出
与
的高
和
，则
2
1
1
2
2
=
1
1
2
2
ABC
A B C
BC AD
k B C k A D
S
k
S
B C
A D
B C
A D
△
△
A
B
C
A'
B'
C'
D
D'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
要点二、相似三角形中对应线段的比
【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清ID 号： 394500
关联的位置名称（播放点名称）：相似形的性质】
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1. △ABC∽△DEF，若△ABC 的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm 是△DEF 中一边的
长度，你能求出△DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由.
【答案与解析】
解：设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.
(1)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长5cm 线段是对应边时，有
，
从而x=
cm，y=
cm.
(2)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长6cm 线段是对应边时，有
，
从而x=
cm，y=
cm.
(3)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长7cm 线段是对应边时，有
，
从而x=
cm，y=
cm.综上所述，△DEF 的另外两边的长度应是
cm,
cm 或
cm，
cm 或
cm，
cm 三种可能.
【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分
类.
2.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O，点E 在边BC 的延
长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE BE
⊥
；
（2）如果OE CD
⊥
，求证：BD•CE=CD•DE．
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
BO=
∴
BD，
OE=OB
∵
，
OE=
∴
BD，
BED=90°
∴∠
，
DE BE
∴
⊥
；
（2）∵OE CD
⊥
CEO+ DCE= CDE+ DCE=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
CEO= CDE
∴∠
∠
，
OB=OE
∵
，
DBE= CDE
∴∠
∠
，
BED= BED
∵∠
∠
，
BDE
DCE
∴△
△
∽
，
∴
，
BD•CE=CD•DE
∴
．
【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，
而熟记定理是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE：EC=3：1，连接
AE 交BD 于点F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A．3：4
B．9：16
C．9：1
D．3：1
【答案】B．
提示：∵四边形ABCD 为平行四边形，
DC AB
∴
∥
，
DFE
BFA
∴△
△
∽
，
DE
∵
：EC=3：1，
DE
∴
：DC=1=3：4，
DE
∴
：AB=3：4，
S
∴
DFE
△
：S
BFA
△
=9：16．
故选：B．
类型二、相似三角形中对应线段的比
3.已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2．求小三
角形的面积.
【答案与解析】
解：设小三角形的面积为S，
∵两相似三角形对应角平分线的比为3:10
∴两相似三角形的相似比为3:10
∴
∴S=36
即小三角形的面积为36cm2.
【总结升华】本题主要考察相似三角形的性质，掌握对角平分线的比等于相似比是解题的关
键.
4.如图所示，已知△ABC 中，AD 是高，矩形EFGH 内接于△ABC 中，且长边FG 在BC
上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH 的面积.
【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.
【答案与解析】
解：∵ 四边形EFGH 是矩形，
∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，
∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，
设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得
，
∴
，
∴
，
∴
.
∴ EF=6cm，EH=12cm.
∴
【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对
应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
举一反三：
【变式】两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为
，则较小三角形的对应
边上的高为 ．
【答案】
