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相似的图形及相似图形的性质--知识讲解
【学习目标】
1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运
算求值；
2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及
相似图形的性质.
【要点梳理】
要点一、相似图形
定义：具有相同形状的图形称为相似图形.
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形是全等.
相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。
要点诠释：相似图形对应线段的比叫相似比；
相似图形的周长比等于相似比；
相似图形的面积比等于相似比的平方.
要点二、比例线段
1．两条线段的比：
在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，
如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：如果
，那么
.
要点诠释：
(1)
叫做这个比例的项，
叫做比例外项，
叫做比例内项；
（2）若a:b=b:c ，则
=ac（b 称为a、c 的比例中项）．
4.比例的性质：
（1）合分比性质：如果
，那么
；
（2）等比性质：如果
那么
.
【典型例题】
类型一、比例线段
1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ).
A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm
C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm
【答案】C.
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【解析】四个选项中只有
，故选C.
【总结升华】根据成比例线段的定义.
举一反三：
【变式】判断下列线段a、b、c、d 是否是成比例线段：
(1)a=4，b=6，c=5，d=10；
(2)a=2，b=
，c=
，d=
．
【答案】(1) ∵
，
，
∴
，
∴ 线段a、b、c、d 不是成比例线段．
(2) ∵
，
，
∴
，
∴ 线段a、b、c、d 是成比例线段．
2.有一块三角形地，它的周长为12m，它的三边为a、b、c，且
，求
这块地的面积．
【答案与解析】
解：由题意得
，解得，
∵32+42=52，即b2+c2=a2，∴此三角形为直角三角形，b、c 为两直角边，
∴S△=
bc=
×3×4=6m2．
【总结升华】解答此题的关键是根据题意列出方程组求出a、b、c 的值，再利用勾股定理的
逆定理判断出三角形为直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解．
3. 已知
，求
的值.
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【思路点拨】根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c=0 进
行讨论．本题还可以设参数法解答．
【答案与解析】
（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
=
=1，
所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有
=
=8．
（2）若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
于是有
=
=-1．
【总结升华】本题考查了等比性质：若
那么
.
（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解
决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k 表示以连比形式出现
的已知条件，可使已知条件便于使用．
举一反三：
【变式】已知xyz≠0 且
=k，求k 的值．
【答案】∵xyz≠0，
∴x、y、z 均不为0，
①当x+y+z≠0 时，∵
=k，
∴k==2，
②当x+y+z=0 时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，
所以，k=-1，
综上所述，k=2 或-1．
类型二、相似图形
4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：
(1)两个腰长不等的等腰三角形;
(2)两个半径不等的圆;
(3)两个面积不等的矩形;
(4)两个边长不等的正方形.
【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
【答案】(2) (4).
【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；
(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比
不一定相等，所以无法确定它们一定相似；
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(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，
是相似形.
【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对
应角相等，对应边的比相等”来识别.
举一反三：
【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并
竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？
【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们
的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.
5.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．
（1）求AD 的长；
（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．
【答案与解析】（1）由已知得MN=AB，MD=
AD=
BC，
∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，
，
∵MN=AB，DM=
AD，BC=AD，
∴
AD2=AB2，
∴由AB=4 得，AD=4
；
（2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为
=
．
【总结升华】考查相似多边形的性质，对应边的比相等．
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