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专题十一
概率与统计
第三十二讲
统计初步
答案部分
2019
年
1．
A 解析：
解析：
解析：
解析：
解析：根据题意，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效
评分，7 个有效评分与9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变.故选A．
2．
0.98 解析
解析
解析
解析
解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
10 0.97
20 0.98 10 0.99
0.98
10
20 10
x
+
+
=
=
+
+
.
3.解析
解析
解析
解析
解析（1）由已知得
0.70
0.20
0.15
a
=
+
+
，故
0.35
a =
．
b=1–0.05 0.15 0.70=0.10
–
–
．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
4
．解析
解析
解析
解析
解析
1
1
1
1
(
)
0
3
3
3
3
a
E X
a
+
=
+
+
=
，
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
)
1
3
3
3
3
3
3
a
a
a
D X
a
+
+
+
=
+
−
+
−
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
3
2
(
1)
27
9
9
2
6
a
a
a
a
a
a
=
+
+
−
+
−
=
−
+
=
−
+
因为0
1
a
，所以
(
)
D X
先减小后增大.
故选
．
D
5.
解析
解析
解析
解析
解析 一组数据，，，
6
7
8
8
9
，，10 的平均数为
1
(6
7
8
8
9 10)
8
6
x =
+
+ + +
+
=
，
所以该组数据的方差为
2
2
2
2
2
2
2
1
5
[(6
8)
(7
8)
(8 8)
(8 8)
(9 8)
(10
8) ]
6
3
s =
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
．
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2010-2018
年
1
A
．【解析】通解
通解
通解
通解
通解设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设
前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a．建设后种植收入为0.74a，
其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以
新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选
．
A
优解
优解
优解
优解
优解 因为
0.6
0.37 2
，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A
是错误的．故选
．
A
2
A
．【解析】由折线图，月份后月接待游客量减少，
错误；选
7
A
A．
3．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取
300
60
18
1000
=
件．
4
D
．【解析】由频率分布直方图可知，这
名学生每周的自习时间不少于
小时的频
200
22.5
率为(0.16+0.08+0.04)
2.5=0.7
×
，故这200 名学生中每周的自习时间不少于
小时的
22.5
人数为
×
200
0.7=140．故选
．
D
5
D
．【解析】由图可知℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在℃以上，
正确；
0
0
A
由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均
最高气温都约为
℃，基本相同，
正确；由图可知平均最高气温高于
℃的月份不
10
C
20
是
不正确，故选
．
5 个，D
D
6
C
．【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为
110 70 150 (1 60%)
137
+
−
=
．
7．D【解析】根据柱形图易得选项
，
A
B，C 正确，2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年
份负相关，选项
错误．
D
8
C
．【解析】设样本数据
1x ，
2x ，，
10
x 的标准差为
DX ，则
8
DX =
，即方差
64
DX =
，而数据
1
2
1
x −，
2
2
1
x −，，
10
2
1
x −
的方差
2
2
(2
1)
2
2
64
D
X
DX
−
=
=
，
所以其标准差为
2
2
64
16
=
．故选
．
C
9
C
．【解析】由1000
25
40 =
，可得分段的间隔为
．
25．故选C
10．A【解析】所抽人数为
(3500
2000
4500) 2%
200
+
+
=
，近视人数分别为小学生
3500 10%
350
=
，初中生
4500 30%
1350
=
，高中生
2000 50%
1000
=
，∴抽
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取的高中生近视人数为
1000 2%
20
=
．选
．
A
11．D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方
法，每个个体被抽到的概率都是n
N
，故
1
2
3
p
p
p
=
=
，故选
．
D
12．C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理
的抽样方法是按学段分层抽样，故选
．
C
13 ．
【解析】由图知道
分以上人员的频率为后
项频率的和，由图知道
B
60
4
(0.03 0.025
0.015
0.01)*10
0.8
P =
+
+
+
=
，故分数在
以上的人数为
60
600×0.8=480
人．
14．B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以
87
90 2 91 2 94
+
+
+
90
91 7
x
+
+
=
，
4
x =
．
2
2
2
2
2
1
36
[(87
91)
(90
91)
2
(91 91)
2
(94
91)
2]
7
7
s =
−
+
−
+
−
+
−
=
．
15．【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即
A
45+47 =46
2
，
众数是
，极差为
45
68-12=56.所以选A.
16．90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为
89
89
90
91 91
90
5
+
+
+
+
=
．
17．4【解析】由茎叶图可知，在区间
]
151
,
139
[
的人数为20 ，再由系统抽样的性质可知人
数为
4
35
7
20
=
人.
18
24
．
【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm
(0.025
的频率是
+0.015)×10=0.4，又样本容量是60，所以频数是
×
0.4
60=24．
19．1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有
件，则乙设备
50
生产的有
件，在
件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为
，所以乙设备
30
4800
5:3
生产的产品总数为1800 件．
20．60【解析】应从一年级抽取
4
60
4
5
5
6
300?
+
+
+
名.
21．10【解析】设五个班级的数据分别为
a
b
c
d
e
。由平均数方差的公式得
7
5
a
b
c
d
e
+
+
+
+
=
，
2
2
2
2
2
(
7)
(
7)
(
7)
(
7)
(
7)
4
5
a
b
c
d
e
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
，显然各个括号
为整数．设
7,
7,
7,
7,
7
a
b
c
d
e
−
−
−
−
−
分别为
, , , ,
p q r s t ，
( , , , ,
)
p q r s t
Z
，
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则
2
2
2
2
2
0
(1)
20
(2)
p
q
r
s
t
p
q
r
s
t
+
+
+
+ =
+
+
+
+
=
．
设
2
2
2
2
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
x
p
x
q
x
r
x
s
=
−
+
−
+
−
+
−
=
2
2
2
2
2
4
2(
)
(
)
x
p
q
r
s x
p
q
r
s
−
+
+
+
+
+
+
+
=
2
2
4
2
20
x
tx
t
+
+
−
，
因为数据互不相同，分析
( )
f x 的构成，得
( )
0
f x
恒成立，
因此判别式
0
，得
4
t
，所以
3
t ，即
10
e
。
22．15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的
10
3 ，利用分层抽样的有
关知识得应从高二年级抽取50×10
3 =15 名学生。
23．160【解析】总体中男生与女生的比例为4:3 ，样本中男生人数为
4
280
160
7
=
.
24．9【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，
最右面矩形面积为0.18×1
0.18
50×0.18
＝
，
＝9.
25．0.030 3【解析】因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为，所以有
1
10 (0.005
0.035
0.020
0.010)
1
a
+
+
+
+
=
，解得
0.030
a =
．
由直方图可知，三组内的学生总数为
100 10 (0.030
0.020
0.010)
60
+
+
=
，
其中身高在[140,150]
内的人数为
，所以从身高在
10
[140,150] 内的学生中抽取
的人数应为18
10
3
60
=
．
26．【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有
的工人完成生产任务所需
i
75%
时间至少
分钟，用第二种生产方式的工人中，有
80
75%的工人完成生产任务所需时间
至多
分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
79
（）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
ii
85.5
分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟．因此第
二种生产方式的效率更高．
（
）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于
分
iii
80
钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于
分钟，因此第二种生
80
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产方式的效率更高．
（）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
上的
iv
8
最多，关于茎
大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布
8
在茎
上的最多，关于茎
大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所
7
7
需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第
一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了
种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
4
(2)由茎叶图知
79
81
80
2
m
+
=
=
．
列联表如下：
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于
2
2
40(15 15
5 5)
10
6.635
20 20
20 20
K
−
=
=
，所以有
的把握认为两种生产方式
99%
的效率有差异．
27．【解析】（1）记B
表示事件“旧养殖法的箱产量低于
，
50kg”
C 表示事件“新养殖法的箱
产量不低于
．
50kg”
由题意知
( )
(
)
( ) ( )
P A
P BC
P B P C
=
=
．
旧养殖法的箱产量低于
的频率为
50kg
(0.012
0.014
0.024
0.034
0.040) 5
0.62
+
+
+
+
=
故
( )
P B 的估计值为0.62 ．
新养殖法的箱产量不低于
的频率为
50kg
(0.068
0.046
0.010
0.008) 5
0.66
+
+
+
=
故
( )
P C 的估计值为0.66 ．
因此，事件A 的概率估计值为
0.62 0.66
0.4092
=
．
（）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
2
箱产量50kg
箱产量≥50kg
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旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
2
200 (62 66
34 38)
15.705
100 100 96 104
K
−
=
由于
15.705
6.635
，故有
的把握认为箱产量与养殖方法有关．
99%
（）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于
的直方图面积为
3
50kg
(0.004
0.020
0.044) 5
0.34
0.5
+
+
=
，
箱产量低于
的直方图面积为
55kg
(0.004
0.020
0.044
0.068) 5
0.68
0.5
+
+
+
=
，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5
0.34
50
52.35
0.068
−
+
(kg) ．
28．【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)*组距
∴
(
)
0.5
0.08
0.16
0.4
0.52
0.12
0.08
0.04
2
1
a
+
+
+
+
+
+
+
=
得
0.3
a =
．
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
(
)
0.5
0.12
0.08
0.04 =12%
+
+
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：
30 12%=3.6
(万)
（Ⅲ）由图可知，
用水量小于
月均
2.5吨的居民人数所占百分比为：
(
)
0.5
0.08
0.16
0.3
0.4
0.52
0.73
+
+
+
+
=
即73%的居民
用水量小于
月均
2.5吨,
同理，88%的居民
用水量小于
月均
3吨，故
2.5
3
x
假设月均用水量平均分布，则
(
)
85%
73%
0.5
2.5
0.5
2.9
0.3
x
−
=
+
=
（吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。
29．【解析】（）由系统抽样可知，
1
36 人分成
组，每组
人，其中第一组的工人年龄为
，
9
4
44
所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4
2
n−
，
1,2,
,9
n =
．其数据为：
44,40,36,37,44,43,37
．
（）
2
44
40
37
40
9
x
+
++
=
=
．
由方差公式，
2
2
2
2
1
100
[(44
40)
(40
40)
(37
40) ]
9
9
s =
−
+
−
++
−
=
．
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（）因为
3
2
100
9
s =
，所以
10
(3,4)
3
s =
．
所以
名工人中年龄在
36
x
s
−
和x
s
+
之间的人数等于在区间[37,43] 内的人数．
即
，
40,40,41
，
，共
人．
39
23
所以
名工人中年龄在
36
x
s
−
和x
s
+
之间的人数所占的百分比为23
63.89%
36
．
30．【解析】（）
I
质量指标值
/
频率组距
125
115
105
95
85
75
0.040
0.038
0.036
0.034
0.032
0.030
0.028
0.026
0.024
0.022
0.020
0.018
0.016
0.014
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
（）质量指标值的样本平均数为
II
x =80×0.06+90×0.26+100
0.38+110
0.22+120
0.08 =100.
×
×
×
质量指标值的样本方差为
2
2
2
2
2
( 20)
0.06
0.26+0.38+10
0.22
20
0.08
s = −
+
+
（
）
-10
=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为
，方差的估计值为
．
100
104
（
）质量指标值不低于
的产品所占比例的估计值为
III
95
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于
，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于
0.8
95 的产品至少要占全部产品
”的规定．
80%
31．【解析】（
药观测数据的平均数为
1）设A
x
，
药观测数据的平均数为
B
y ，又观测结果
可得
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1
20
x =
（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0
+3.1+3.2+3.5
=2.3
）
，
1
(0.5
0.5
0.6
0.8
0.9 1.1 1.2 1.2
20
1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9
2.1
2.4
2.5
2.6
2.7
3.2)
1.6
y =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
由以上计算结果可得x >y
，因此可看出
药的疗效更好
A
（）由观测结果可绘制如下茎叶图：
2
A
药
B
药
6 0
．
5 5 6 8 9
8 5 5 2 2 1
．
1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2
．
1 4 5 6 7
5 2 1 0 3
．
2
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎
上，而
药疗效的试
2.3
B
验结果有7
10
的叶集中在茎，上，由此可看出
药的疗效更好。
0
1
A
32．【 解析】（）由题意知苹果的样本总数
1
50
n =
，苹果的重量在
)
95
,
90
的频数为20，∴
苹果的重量在
)
95
,
90
的频率为20 =0.4
50
；
（）
2
设从重量在[80,85) 的苹果中抽取x 个，则从重量在[95,100) 的苹果中抽取 (
)
4
x
−
个．∵从表格可知[80,85),[95,100)
的频数分别为，
．
5
15
∴
(
)
5:15
: 4
x
x
=
−
，解得
1
x = ；
（）设这
个苹果中重量在
3
4
)
85
,
80
的
个记为
1
a ，重量在
)
100
,
95
中的
个为
3
1
2
3
,
,
b b b ，
从中任取两个，可能的情况有：
（a ，
1b ）（a ，
2
b ）（a ，
3
b ）（1b ，
2
b ）（
1b ，
3
b ）（
2
b ，
3
b
）共
设
6 种；
任取2 个，
重量在
)
85
,
80
和
)
100
,
95
中各有
个的事件为
1
A，则
包含有（
事件A
a ，1b ）（a ，2
b ）
（a ，
3
b
）共
种，所以
3
3
1
(A)
6
2
P
=
=
.
33．【解析】（1）
(2
0.02
0.03 0.04) 10
1
0.005
a
a
+
+
+
=
=
关注微信公众号：加油高三
（）平均分为
2
55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05
73
+
+
+
+
=
（）数学成绩在
3
[50,90) 内的人数为
1
4
5
(0.005
0.04
0.03
0.02) 10 100
90
2
3
4
+
+
+
=
人．
数学成绩在[50,90) 外的人数为
100 90
10
−
=
人．
答：（1）
0.005
a =
（
名学生语文成绩的平均分为
2）这100
73
（）数学成绩在
3
[50,90) 外的人数为10 人．
34．【 解析】（Ⅰ）样本中男生人数为
，由分层出样比例为
估计全校男生人数为
．
40
10%
400
（Ⅱ）有统计图知，样本中身高在
之间的学生有
170~185cm
14+13+4+3+1=35 人，样本
容量为
，所以样本中学生身高在
70
170~185cm 之间的频率
35
0.5,
70
f =
=
故有f 估计
该校学生身高在170~180cm 之间的概率
0.5
p =
．
（Ⅲ）样本中身高在
之间的男生有
人，设其编号为①，②，③，④
180~185cm
4
样本中身高在185~190cm 之间的男生有
人，设其编号为⑤，⑥
2
从上述
人中任取
人的树状图为：
6
2
故从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选
人得所有可能结果数为
，求至
2
15
少有
人身高在
1
185~190cm 之间的可能结果数为，因此，所求概率
9
2
9
3
15
5
p =
=
．
