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专题六数列
第十六讲等比数列
2019
年
1.
2019
1
（
全国
理14）记Sn 为等比数列{an
}的前
项和．若
n
2
1
4
6
1
3
a
a
a
=
=
，
，则
S5=____________．
2.（2019 全国3 理5）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项为和为15，且a5=3a3+4a1，
则a3=
A．
B
16
．
8
C．
4
D． 2
3.（2019 全国2 卷理19）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
+
−
=
+
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
+
−
=
−
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比
例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依
次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比
都等于12 2 ．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．3 2f
B．3
2 2 f
C．12
5 2 f
D．12
7 2 f
2．(2018 浙江)已知
1a ，2a ，3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
3
4
1
2
3
ln(
)
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
．若
1
1
a
，则
A．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
B．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
C．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
D．
1
3
a
a
，
2
4
a
a
3
2017
．（
新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红
“
光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是：一座
层塔共挂了
”
7
381
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盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
倍，则塔的顶层共有灯
2
A
1
B
3
C
5
D
9
．盏
．盏
．盏
．盏
4
2015
．（
新课标Ⅱ）等比数列{
}
na
满足
1
3
a =
，
1
3
5
21
a
a
a
+
+
=
，则
3
5
7
a
a
a
+
+
=
A
21 B
42 C
63
D
．
．
．
．84
5
2014
．（
重庆）对任意等比数列{
}
na
，下列说法一定正确的是
A．
1
3
9
,
,
a a a 成等比数列 B．
2
3
6
,
,
a a a 成等比数列
C．
2
4
8
,
,
a a a 成等比数列
．
D
2
6
9
,
,
a a a 成等比数列
6
2013
．（
新课标Ⅱ）等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
2
1
10
S
a
a
=
+
，
5
9
a =
，则
1a =
A．1
3
B
．
1
3
−
C．1
9
D．
1
9
−
7．（2012
北京）已知{
}
na
为等比数列．下面结论中正确的是
A．
1
3
2
2
a
a
a
+
…
B．
2
2
2
1
3
2
2
a
a
a
+
…
C．若
1
3
a
a
=
，则
1
2
a
a
=
D．若
3
1
a
a
，则
4
2
a
a
8
2011
．（
辽宁）若等比数列{
}
na
满足
1
16n
n
n
a a + =
，则公比为
A
2 B
．
．
．
．
4 C
8 D
16
9
2010
．（
广东）已知数列
na
为等比数列，
n
S
是是它的前
若
n 项和,
2
3
1
2
a
a
a
=
，且
4a 与
2
7a 的等差中项为5
4
，则
5 S =
A
35 B
33 C
3l D
．
．
．
．29
10．（ 2010 浙江）设
ns 为等比数列{
}
na
的前n 项和，
2
5
8
0
a
a
+
=
则
5
2
S
S
=
A
B
8 C
5
D
．－11
．－
．
．11
11．（ 2010 安徽）设
na
是任意等比数列，它的前n 项和，前2n项和与前3n项和分别为
, ,
X Y Z，则下列等式中恒成立的是
A．
2
X
Z
Y
+
=
B．
(
)
(
)
Y Y
X
Z Z
X
−
=
−
C．
2
Y
XZ
=
D
．
(
)
(
)
Y Y
X
X Z
X
−
=
−
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12．（ 2010 北京）在等比数列
na
中，
1
1
a =
，公比 1
q .若
1
2
3
4
5
m
a
a a a a a
=
，则m =
A
9 B
10 C
11 D
．
．
．
．12
13．（ 2010 辽宁）设
n
S 为等比数列
na
的前n 项和，已知
3
4
3
2
S
a
=
−
，
2
3
3
2
S
a
=
−
，则
公比 q =
A
3
B
4
C
5
D
6
．
．
．
．
14．（ 2010 天津）已知
na
是首项为
的等比数列，
1
ns 是
na
的前n 项和，且
3
6
9s
s
=
，
则数列
1
n
a
的前
项和为
5
A．15
8
或
．
5 B
31
16
或
．
5 C
31
16
D．15
8
二、填空题
15．（ 2017 新课标Ⅲ）设等比数列{
}
na
满足
1
2
1
a
a
+
= −，
1
3
3
a
a
−
= −，则
4a = _______．
16．
（2017 江苏）等比数列{
}
na
的各项均为实数，其前n 项的和为
n
S ，已知
3
7
4
S =
，6
63
4
S =
，
则
8a =
．
17．（2017 北京）若等差数列
na
和等比数列
nb
满足
1
1
1
a
b
=
= −，
4
4
8
a
b
=
=
，
则
2
2
a
b =_____．
18．（ 2016 年全国）设等比数列
I
{
}
na
满足
1
3
10
a
a
+
=
，
2
4
5
a
a
+
=
，则
1
2
n
a a
a
的最大
值为 .
19．（2016 年浙江）设数列{
}
n
a
的前n 项和为
n
S ．若
2
4
S =
，
1
2
1
n
n
a
S
+ =
+ ，
*
n
N
，则
1a = ，
5
S =
．
20．（2015 安徽）已知数列{
}
n
a
是递增的等比数列，
1
4
3
2
9,
8
a
a
a a
+
=
=
，则数列{
}
n
a
的
前n 项和等于
．
21．（ 2014 广东）等比数列
na
的各项均为正数，且
1
5
4
a a =
，则
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
log
+log
+log
+log
+log
=
a
a
a
a
a
________
．
22．（ 2014 广东）若等比数列
n
a
的各项均为正数，且
5
12
9
11
10
2e
a
a
a
a
=
+
，则
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1
2
20
ln
ln
ln
a
a
a
+
+
+
=
．
23．（ 2014 江苏）在各项均为正数的等比数列
}
{ n
a
中，
,1
2 =
a
4
6
8
2a
a
a
+
=
，则6
a 的值
是
．
24．（ 2013 广东）设数列{
}
n
a
是首项为1 ，公比为2
−的等比数列，则
1
2
3
4
|
|
|
|
a
a
a
a
+
+
+
=
．
25．（ 2013 北京）若等比数列
na
满足
2
4
a
a
+
=20，3
5
a
a
+
=40
=
，则公比q ；前n
项和
n
S
=
．
26．（ 2013 江苏）在正项等比数列
na
中，
2
1
5 =
a
，
3
7
6
=
+ a
a
．则满足
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
3
2
1
3
2
1
+
+
+
+
的最大正整数n 的值为
．
27．
（2012 江西）等比数列
na
的前n 项和为
n
S
，公比不为1。若
1
1
a =
，且对任意的n
N+
都有
2
1
2
0
n
n
n
a
a
a
+
+
+
−
=
，则
5
S =_________________．
28．（2012 辽宁）已知等比数列
}
{
n
a
为递增数列，若
0
1
a
，且
1
2
5
)
(
2
+
+
=
+
n
n
n
a
a
a
，则数
列
na
的公比
=
q
．
29．（ 2012 浙江）设公比为
(
0)
q q
的等比数列{
}
n
a
的前n 项和为
n
S ．若
2
2
3
2
S
a
=
+
，
4
4
3
2
S
a
=
+ ，则 q =
．
30．（2011 北京）在等比数列{
}
n
a
中，
1
1
2
a =
，4
4
a = −，则公比q =_____
_________
；
1
2
...
n
a
a
a
+
+
+
= ____________
．
三、解答题
31．（ 2018 全国卷Ⅲ）等比数列{
}
n
a
中，
1
1
a =
，
5
3
4
a
a
=
．
(1)求{
}
n
a
的通项公式；
(2)记
n
S 为{
}
n
a
的前n项和．若
63
m S =
，求m ．
32．（
）已知
2017 山东
{
}
n
x
是各项均为正数的等比数列，且
1
2
3
x
x
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
．
（Ⅰ）求数列{
}
n
x
的通项公式；
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（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点
1
1 ( ,1)
P x
，
2
2 (
,2)
P x
，…，
1
1
(
,
1)
n
n
P
x
n
+
+
+
得到折线
1P
2P …
1
nP + ，求由该折线与直线
0
y =
，
1
x
x
=
，
1
n
x
x +
=
所围成的区域的面积
nT ．
P4
P3
P2
P1
O
x4
x3
x2
x1
y
x
33．（ 2016 年全国
高考）已知数列
III
{
}
n
a
的前n项和
1
n
n
S
a
= +
，其中
0
．
（Ⅰ）证明{
}
n
a
是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若
5
31
32
S =
，求．
34．（ 2014 新课标）已知数列
na
满足
1a =1，
1
3
1
n
n
a
a
+ =
+ ．
（Ⅰ）证明
1
2
n a +
是等比数列，并求
na
的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1
2
3
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
…+
．
35．（ 2014 福建）在等比数列{
}
na
中，
2
5
3,
81
a
a
=
=
.
（Ⅰ）求
n
a ；
（Ⅱ）设
3
log
n
n
b
a
=
，求数列{ }
nb
的前n 项和
n
S .
36．（ 2014 江西）已知数列
na
的前n项和
−
=
N
n
n
n
Sn
，
2
3
2
．
（Ⅰ）求数列
na
的通项公式；
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（Ⅱ）证明：对任意
1
n
，都有
N
m
，使得
m
n
a
a
a
，
，
1
成等比数列．
37．(2013 四川) 在等比数列{
}
n
a
中，2
1
2
a
a
−
=
，且
2
2a 为
1
3a 和
3a 的等差中项，求数列
{
}
n
a
的首项、公比及前n 项和。
38． (2013
)
天津已知首项为3
2 的等比数列{
}
n
a
的前
项和为
n
(
*)
n
S
nN
， 且
2
3
4
,
2
,
4
S
S
S
−
成
等差数列．
(Ⅰ) 求数列{
}
n
a
的通项公式；
(Ⅱ) 证明
13
*)
6
1
(
n
n
S
n
S
+
N
．
39．（2011 新课标）已知等比数列{
}
n
a
的各项均为正数，且
2
1
2
3
2 6
2
3
1,
9
a
a
a
a a
+
=
=
．
（）求数列
Ⅰ
{
}
n
a
的通项公式．
（
）设
Ⅱ
3
1
3
2
3
log
log
log
n
n
b
a
a
a
=
+
+
+
，求数列1
{
}
nb
的前
项和．
n
40．（ 2011 江西）已知两个等比数列
{
},{ }
n
n
a
b
，满足
(
),
,
a
a a
b
a
=
−
=
,
b
a
b
a
−
=
−
= ．
（）若
Ⅰ
a =，求数列{
}
n
a
的通项公式；
（
）若数列
Ⅱ
{
}
n
a
唯一，求a 的值．
41．（2011 安徽）在数
和
之间插入
1
100
n个实数，使得这
2
n +
个数构成递增的等比数列，
将这
2
n +
个数的乘积记作
nT ，再令
,
lg
n
n
a
T
=
1
n≥.
（）求数列
Ⅰ
{
}
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）设
1
tan
tan
,
n
n
n
b
a
a +
=
求数列{ }
nb
的前n 项和
n
S ．
