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第4 节 空间直线、平面的垂直
考试要求 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中
直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α 互相垂
直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定
理
如果一条直线与一个
平面内的两条相交直
线垂直，那么该直线
与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定
理
垂直于同一个平面的
两条直线平行
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平
面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平
行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角
α－l－β 的平面角是∠
AOB
.
(3)二面角的平面角α 的范围：0°≤α≤180°.
4.平面与平面垂直
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(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个
平面的垂线，那么这两
个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一
个平面内有一直线垂直
于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个
平面垂直
⇒l⊥α
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线
线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l 与平面α 内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线，则α⊥β.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)直线l 与平面α 内的无数条直线都垂直，则有l⊥α 或l 与α 斜交或l⊂α
或l∥α，故(1)错误.
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与
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另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.
(4)若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.
2.(2022·百校大联考)若m，n，l 为空间三条不同的直线，α，β，γ 为空间三个不
同的平面，则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
答案 B
解析 A 中，m，n 可能平行，相交或异面；
C 中，α 与β 可能平行或相交；
D 中，α 与β 可能平行或相交.故选B.
3.(多选)已知两条不同的直线l，m 和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，下面四
个命题正确的是( )
A.若m⊥β，则l∥m
B.若α∥β，则l⊥α
C.若α⊥β，则l∥α
D.若l⊥m，则m∥β
答案 AB
解析 对于A，由l⊥β，m⊥β，可得l∥m，故A 正确；
对于B，若l⊥β，α∥β，可得l⊥α，故B 正确；
对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α 或l⊂α，故C 错误；
对于D，若l⊥β，l⊥m，则m∥β 或m⊂β，故D 错误.
4.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N
分别是A1D，D1B 的中点，则( )
A.直线A1D 与直线D1B 垂直，直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D 与直线D1B 平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D 与直线D1B 相交，直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D 与直线D1B 异面，直线MN⊥平面BDD1B1
答案 A
解析 连接AD1(图略)，则易得点M 在AD1上，且M 为AD1的中点，AD1⊥A1D.
因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，
又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，
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所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，显然A1D 与BD1异面，所以A1D 与
BD1异面且垂直.
在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，
又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
易知直线AB 与平面BB1D1D 成45°角，
所以MN 与平面BB1D1D 不垂直.
所以选项A 正确.
5.(多选)如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆
上异于A，B 的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F 是PB
上一点，则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
答案 ABD
解析 对于A，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则
PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
则BC⊥平面PAC，所以A 正确；
对于B，由A 项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，
所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B 正确；
对于C，由B 项可知AE⊥平面PCB，因而AC 与平面PCB 不垂直，
所以AC⊥PB 不成立，所以C 错误；
对于D，由B 项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，
由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D 正确.
6.在三棱锥P－ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O 是△ABC 的________心.
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(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O 是△ABC 的________心.
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
图1
在Rt△POA，Rt△POB 和Rt△POC 中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即
O 为△ABC 的外心.
(2) 如图2 ，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于H ，D ，G. 因为
PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，
图2
所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面
PGC，所以AB⊥CG，即CG 为△ABC 边AB 上的高.同理可证BD，AH 分别为
△ABC 边AC，BC 上的高，即O 为△ABC 的垂心.
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考点一 直线、平面垂直的判定与性质
例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是PC
的中点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD 中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.
∵E 是PC 的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD 且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
感悟提升 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；
③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的
性质.
训练1 如图，在四棱锥P－ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，
AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在
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AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB.
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E 是PD 的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD 的底面是矩形，
PD⊥底面ABCD，M 为BC 的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD 的体积.
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
又AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)解 ∵M 为BC 的中点，∴BM＝AD.
由题意可知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，
∠MAD＋∠ADB＝90°，
得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，
所以＝，即＝，得AD＝，
所以S 矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P－ABCD 的体积VP－ABCD＝S 矩形ABCD·PD＝××1＝.
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感悟提升 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化
①两种方法：
(i)面面垂直的定义；
(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).
②一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂
线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
(2)面面垂直性质的应用
①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意
“平面内的直线”.
②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.
训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，∠ACB＝∠AA1C
＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)求证：AA1⊥A1B；
(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C 到平面A1ABB1的距离.
(1) 证明 因为平面AA1C1C⊥平面ABC ，平面AA1C1C∩平面ABC ＝AC ，
BC⊥AC，
所以BC⊥平面AA1C1C.
又AA1⊂平面AA1C1C，
所以BC⊥AA1.
因为∠AA1C＝90°，所以AA1⊥A1C.
又因为BC∩A1C＝C，
所以AA1⊥平面A1BC.又A1B⊂平面A1BC，
所以AA1⊥A1B.
(2)解 由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A⊂平面A1ABB1，
所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B，
所以点C 到平面A1ABB1的距离等于△CA1B 的A1B 边上的高，设其为h.
在Rt△AA1C 中，A1A＝2，∠A1AC＝60°，则A1C＝2.
由(1)得BC⊥A1C，
所以在Rt△A1CB 中，BC＝3，A1B＝，
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h＝＝＝.
故点C 到平面A1ABB1的距离为.
考点三 平行、垂直关系的综合应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别
为AD，PB 的中点.求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E 为AD 的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD 为矩形，所以BC∥AD，
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，AB⊂平面
ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC 中点G，连接FG，DG.
因为F，G 分别为PB，PC 的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEFG 为平行四边形，
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
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所以EF∥平面PCD.
感悟提升 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂
直间的转化.求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一
般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进
一步转化为线线垂直.
训练3 如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
点E 在棱PC 上(异于点P，C)，平面ABE 与棱PD 交于点
F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
证明 (1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC.
又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，
所以AB⊥AF.又AB⊥AD，
由点E 在棱PC 上(异于点C)，所以点F 异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
几何法求空间角
一、几何法求线面角
求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射
影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C
是圆周上不同于A，B 的一动点.
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(1)证明：△PBC 是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为时，求直线AB
与平面PBC 所成角的正弦值.
(1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A，B 的一动点.
∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解 如图，过A 作AH⊥PC 于H，
连接BH，
∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH.
又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成的角.
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA 是直线PC 与平面ABC 所成的角，
∴tan∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC 中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH 中，sin∠ABH＝＝＝，
故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为.
二、几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点
作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面
和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
例2 如图，在四棱锥P－ABCD 中，四边形ABCD 是边长
为2 的正方形，△PBC 为正三角形，M，N 分别为PD，
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BC 的中点，PN⊥AB.
(1)求三棱锥P－AMN 的体积；
(2)求二面角M－AN－D 的正切值.
解 (1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，
又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，
AB，BC⊂平面ABCD，
∴PN⊥平面ABCD.
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M 为PD 的中点，∴PN＝，
VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，
∴VP－AMN＝VP－ADN＝VP－ABCD＝××4×＝.
(2)如图，取DN 的中点E，连接ME，
∵M，E 分别为PD，DN 的中点，
∴ME∥PN.
∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.
过E 作EQ⊥AN，连接MQ，
又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，
∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，
∠MQE 即为二面角M－AN－D 的平面角，
∴tan∠MQE＝.
∵PN＝，∴ME＝.
∵AN＝DN＝，AD＝2，
∴QE＝×＝，
∴tan∠MQE＝.
即该二面角的正切值为.
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1.(2021·北京丰台区二模)已知α，β，γ 是三个不同的平面，a，b 是两条不同的
直线，下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C.若a∥α，b∥α，则a∥b
D.若a∥α，a∥β，则α∥β
答案 B
解析 A 中，若α⊥γ，β⊥γ，α，β 可能相交也可能平行，错误；
B 中，a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质可判断a∥b，正确；
C 中，若a∥α，b∥α，a，b 的位置不定，错误；
D 中，若a∥α，a∥β，α，β 可能相交也可能平行，错误.
2.(2022·广州一模)已知α，β 是两个不同的平面，l，m，n 是三条不同的直线，
下列条件中，可以得到l⊥α 的是( )
A.l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α
B.l⊥m，m∥α
C.α⊥β，l∥β
D.l∥m，m⊥α
答案 D
解析 对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l 与α 相交、平行或l⊂α，故A 错
误；
对于B，l⊥m，m∥α，则l 与α 相交、平行或l⊂α，故B 错误；
对于C，α⊥β，l∥β，则l 与α 相交、平行或l⊂α，故C 错误；
对于D，l∥m，m⊥α，则l⊥α，故D 正确.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为AB，B1C 的中点，则EF 与平面
ABCD 所成角的正切值为( )
A.2
B.
C.
D.
答案 D
解析 如图，取BC 的中点O，连接OE，OF，
∵F 是B1C 的中点，
∴OF∥B1B，
∴FO⊥平面ABCD，
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∴∠FEO 是EF 与平面ABCD 所成的角.
设正方体的棱长为2，则FO＝1，EO＝，
∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为.
4. 如图，在斜三棱柱ABC －A1B1C1 中，∠BAC ＝90° ，
BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H 必在( )
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部
答案 A
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC1，
得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC，
所以C1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上.
5.(多选)(2021·南京二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M 为BC 的中点，则
下列说法不正确的是( )
A.A1M⊥BD
B.A1M∥平面CC1D1D
C.A1M⊥AB1
D.A1M⊥平面ABC1D1
答案 ABD
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
对于A ，假设A1M⊥BD ，因为A1A⊥平面ABCD ，所以
A1A⊥BD，又A1A∩A1M＝A1，所以BD⊥平面A1AM，所以
BD⊥AM.而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，故A 不
正确；
对于B，假设A1M∥平面CC1D1D，因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，
A1M⊄平面CC1D1D，所以A1M∥CD1.因为A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，显然不正
确，故B 不正确；
对于C，因为MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1.又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，
所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C 正确；
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对于D，假设A1M⊥平面ABC1D1，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝
A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A1D，显然不成立，故D 不正确.
6.(多选)(2021·广州调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N 分别为棱C1D1，CC1的中点，则(
)
A.A，M，N，B 四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN 与B1M 所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
答案 BC
解析 如图所示，对于A 中，直线AM，BN 是异面直线，故
A，M，N，B 四点不共面，故A 错误；
对于B 中，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，可得AD⊥平面
CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B 正确；
对于C 中，取CD 的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，所
以直线BN 与B1M 所成的角为∠NBO.易知三角形BON 为等边三角形，所以
∠NBO＝60°，故C 正确；
对于D 中，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误.
7.已知平面α，β 和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；
(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，
有m⊥β(填所选条件的序号)
答案 (3)(5) (2)(5)
解析 根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；
根据线面垂直以及面面平行的特征可得，
若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
8.如图，三棱柱ABC－A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，AA1＝3，
AA1⊥AC，D 为A1C1 的中点，BD＝3，则二面角A1－AC－B 的正切值为
________.
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答案 －
解析 取AC 的中点E，连接ED，EB.
∵D 为A1C1的中点，
△ABC 是边长为2 的正三角形，
∴DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，
∴∠BED 为二面角A1－AC－B 的平面角.
在△BED 中，DE＝3，BE＝3，BD＝3，
∴由余弦定理得
cos∠BED＝＝－，
∴∠BED＝120°，∴tan∠BED＝－.
9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧棱长为2，AC＝BC＝
1，∠ACB＝90°，D 是A1B1 的中点，F 是BB1 上的动点，AB1，
DF 交于点E ，要使AB1⊥平面C1DF ，则线段B1F 的长为
________.
答案
解析 设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝h.
又×2×＝×h，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E 中，B1E＝＝.
由△B1DF 的面积相等得××＝×x，得x＝.
10.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD 为正方形，
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AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F 为AC 的中点.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求直线AD 与平面ACE 所成的角的正弦值.
(1)证明 因为AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，
由余弦定理得
BE＝＝，
所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB.
由于平面ABCD⊥平面ABE，且两个平面相交于AB，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又因为AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF⊂平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
(2)解 根据VD－ACE＝VE－ACD，S△ACD＝，AC＝，EA＝EC＝2，则S△ACE＝.
因为VD－ACE＝VE－ACD，设D 到平面ACE 的距离为h，
则·S△ACE·h＝·S△ACD·BE，
解得h＝.
设直线AD 与平面ACE 所成的角为θ，
则sin θ＝＝.
所以直线AD 与平面ACE 所成的角的正弦值为.
11. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为四边形，
△ABD 是边长为2 的正三角形，BC⊥CD ，BC ＝CD ，
PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D 的平面角的余弦值为，求PD 的长.
(1)证明 如图所示，E 为BD 的中点，连接AE，△ABD 是正三
角形，则AE⊥BD.
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE⊂
平面ABCD，
故AE⊥平面PBD.
∵PD⊂平面PBD，故AE⊥PD.
∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB⊂平面ABCD，
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故PD⊥平面ABCD.
(2)解 如图所示，过点E 作EF⊥PB 于点F，连接CF.
∵BC⊥CD，BC＝CD，E 为BD 的中点，故EC⊥BD，
故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.
又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，
∴CF⊥PB，
故∠EFC 为二面角C－PB－D 的平面角.
∵cos∠EFC＝，
故tan∠EFC＝，又EC＝1，故EF＝，
sin∠PBD＝＝，tan∠PBD＝，
即＝，则PD＝1.
12.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱
的中点，M，N 为正方体的顶点，则满足MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为2.
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线
OP，MN 所成的角.在直角三角形OPC 中，OC＝，CP＝1，故tan ∠POC＝＝，
故MN⊥OP 不成立，故A 错误；
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图(1)
对于B，如图(2)所示，取MT 的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MN，
PQ⊥MN，所以MN⊥平面OPQ，又OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B 正确；
图(2)
对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B 的判断可得OP⊥BD，故
OP⊥MN，故C 正确；
图(3)
对于D，如图(4)，取AD 的中点Q，AB 的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，
OK，则AC∥MN.因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补
角)为异面直线PO，MN 所成的角.
图(4)
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，PO＝＝＝，QO2<PQ2＋
OP2，故∠QPO 不是直角，故PO，MN 不垂直，故D 错误.
13.(多选)(2022·海南模拟)棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分
别是AB，BC，B1C1的中点.下列说法正确的是( )
A.P 点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC 体积不变
B.Q 点在直线EF 上运动时，直线GQ 始终与平面AA1C1C 平行
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C.平面B1BD⊥平面ACD1
D.三棱锥D－EFG 的体积为
答案 ABC
解析 对于A，P 在直线BC1上运动时，△AD1P 的面积为矩形ABC1D1的面积的
一半，C 到平面ABC1D1的距离不变，又VA－D1PC＝VC－AD1P，则三棱锥A－D1PC
的体积不变，故A 正确；
对于B，Q 在直线EF 上运动时，由E，F，G 分别是AB，BC，B1C1的中点，可
得EF∥AC，GF∥C1C.又EF∩GF＝F，AC∩C1C＝C，所以平面GEF∥平面
AA1C1C.又GQ⊂平面GEF，则GQ 始终与平面AA1C1C 平行，故B 正确；
对于C，由AC⊥BD，AC⊥BB1，可得AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂平面ACD1，
即有平面B1BD⊥平面ACD1，故C 正确；
对于D，S△DEF＝1－××1－××－××1＝，利用等体积法知VD－EFG＝VG－DEF＝
S△DEF·GF＝××1＝，故D 错误.
14.如图，在四棱锥S－ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝
60°，△SAD 为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，
F 分别为棱AD，SB 的中点.
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB 上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由.
(1)证明 取SC 的中点G，连接FG，EG，
∵F，G 分别是SB，SC 的中点，
∴FG∥BC，FG＝BC，
∵四边形ABCD 是菱形，E 是AD 的中点，
∴AE∥BC，AE＝BC，
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∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE 是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.
(2)证明 ∵△SAD 是等边三角形，E 是AD 的中点，
∴SE⊥AD，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD 是等边三角形，又E 是AD 的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，
∴AD⊥EG，又四边形AFGE 是平行四边形，
∴四边形AFGE 是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F 是SB 的中点，∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)解 存在点M 满足题意.
假设在棱SB 上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连接MO，BE，则BD⊥OM，
∵四边形ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，△SAD 为正三角形，
∴BE＝，SE＝，BD＝2OB＝2，SD＝2，SE⊥AD，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴SB＝＝，
∴cos∠SBD＝＝，
∴＝，∴BM＝，∴＝.
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