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1．一艘游船从海岛A 出发，沿南偏东20°的方向航行8 海里后到达海岛B，然后再从海岛B
出发，沿北偏东40°的方向航行16 海里后到达海岛C，若游船从海岛A 出发沿直线到达海岛
C，则航行的路程为( )
A．12 海里
B．8 海里
C．8 海里
D．8 海里
2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的
海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶
的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m
B．2 650 m
C．3 650 m
D．4 650 m
3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、
环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P，对地面B，C 两受灾点的
视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D 共线，且∠ADB＝90°，BC
＝CD＝DA＝1 km，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是( )
A. km
B．2 km
C. km
D．4 km
4．(2022·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝
2sin A，则A 的最大值为( )
A. B. C. D.
5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B,
则cos B＋sin C 的取值范围为( )
A．(0，]
B．(1，]
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C.
D.
6．(多选)(2022·重庆模拟)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，(acos C＋
ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D 是△ABC 外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正
确的是( )
A．△ABC 的内角B＝
B．△ABC 的内角C＝
C．△ACD 的面积为
D．四边形ABCD 面积的最大值为＋3
7．(2022·南宁模拟)2022 年4 月16 日，搭载着3 名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功
着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于
点C，某时刻地面上点A，B 观测点观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若A，B 间距离为
10 千米(其中向量CA与CB同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千
米(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．
8．(2022·六安模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为三个内角A，B，C 的对边，ccos B＋(2a＋
b)cos C＝0，若△ABC 的外接圆面积为π，则△ABC 周长的最大值是________．
9．(2022·益阳模拟)在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，这三个条
件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC 中，角A，B，C 所对的
边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C 的大小；
(2)若c＝4，求AB 的中线CD 长度的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，若sin
Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．
(1)求sin C；
(2)若c＝，求△ABC 周长的取值范围．
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11．(多选)(2023·宁波模拟)一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75°方向，距离12
海里，灯塔C 在A 的北偏西30°方向，距离为12 海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D
处时再看灯塔B 在其南偏东60°方向，下面结论正确的有( )
A．AD＝24
B．CD＝12
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
12．(2023·咸阳模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家
秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名
的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜
幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为
从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c 分别为△ABC 内
角A，B，C 的对边．若＝，b＝2，则△ABC 面积S 的最大值为( )
A. B. C．2 D.
13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在
寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光
射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB 是窗户的高度，BC 是遮阳篷的安装高
度，CD 是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为α，夏至正午时太阳
光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正
午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.
14．(2023·遵义模拟)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝asin B，
a＝，则△ABC 周长的最大值为________．
15．在平面内，四边形ABCD 的∠ABC 与∠ADC 互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四
边形ABCD 面积的最大值等于( )
A. B.＋1 C.＋1 D．2
16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明
了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三
角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，以AB，
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BC，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，
AB＋AC 的最大值为________．
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