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第二十七章 相似三角形 培优卷
满分 120 分
一、单选题
1. ( 3 分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则
它们对角线AC 与A′C′的比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
【答案】 A
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，
∴
=
，∠B= B′
∠
，
ABC
A′B′C′
∴△
△
∽
，
∴
=
=
24
36 =
2
3 ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′,根据已知易证△ABC
A′B′C′
∽△
，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长
比等于相似比，可解答。
2. ( 3 分 ) 如图，已知DE 为△ABC 的中位线，△ADE 的面积为3，则四边形DECB 的面积为（ ）
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A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE 为△ABC 的中位线，
DE BC
∴
∥
，2DE＝BC，
ADE
ABC
∴△
△
∽
，
∴
＝（
DE
BC ）2＝
1
4 ，
S
∴
ABC
△
＝4S
ADE
△
＝12，
∴四边形DECB 的面积为12
3
﹣＝9，
故答案为：C.
【分析】利用三角形中位线定理可证得DE BC
∥
，2DE＝BC，可以推出△ADE
ABC
∽△
，再利用相似三角
形的面积比等于相似比的平方，就可求出△ABC 的面积，然后求出四边形DECB 的面积。
3. ( 3 分 ) “相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重
合的图形 D. 大小相同的图形
【答案】 A
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
4. ( 3 分 ) 如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任一点，点F，G，E 分别是AD，BF，CF 的中点，连结
GE，若△FGE 的面积为8，则△ABC 的面积为( )
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A. 32 B. 48 C. 64 D. 72
【答案】 C
【考点】三角形的角平分线、中线和高，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 点G，E 分别是BF，CF 的中点，
GE BC
∴
∥
，GE=1
2BC，
FEG
FBC
∴△
△
∽
，
∴
，
FGE
△
∵
的面积为8 ，
FBC
∴△
的面积为32，
∵点F 是AD 的中点，
S
∴
AFB
△
=S
FBD
△
， S
ACF
△
=S
CDF
△
，
S
∴
AFB
△
+S
ACF
△
=S
FBD
△
+S
CDF
△
=S
FBC
△
=32，
S
∴
ABC
△
=S
AFB
△
+S
ACF
△
+S
FBC
△
=64.
故选C.
【分析】根据三角形中位线定理可得GE BC
∥
，GE=1
2BC，利用平行线可证△FEG
FBC
∽△
，利用相似三角
形的性质可得
， 从而可得△FBC 的面积为32.根据三角形的等底同高可得
S
AFB
△
=S
FBD
△
， S
ACF
△
=S
CDF
△
， 从而可得S
AFB
△
+S
ACF
△
=S
FBD
△
+S
CDF
△
=S
FBC
△
=32，由
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S
ABC
△
=S
AFB
△
+S
ACF
△
+S
FBC
△
即可求出结论.
5. ( 3 分 ) 已知△ABC 的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF 的一边长为4cm ， 当
△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定
【解析】解答：设△DEF 的另两边为xcm，ycm，
若△DEF 中为4cm 边长的对应边为6cm，
则：
=
=
，
解得：x=5，y=6；
若△DEF 中为4cm 边长的对应边为7.5cm，
则：
=
=
，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF 中为4cm 边长的对应边为9cm，
则：
=
=
解得：x=
，y=
；
故选C ．
分析：根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF 中为4cm 边长的对应边可能是6cm 或
7.5cm 或9cm，所以有三种情况．
6. ( 3 分 ) 如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 的中点，连结AG 并延长，交BC 边的延长线于点E，对角
线BD 交AG 于点F，已知AF=2，则线段AE 的长是（ ）
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A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】 B
【考点】正方形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB＝CD ， AB∥CD ，
∴∠ABF＝∠GDF ， ∠BAF＝∠DGF ，
∴△ABF∽△GDF ，
AF
FG = AB
DG ，
∴FG＝1
2AF＝1，
∴AG＝3．
∵CG∥AB ， AB＝CD=2CG ，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE＝2AG＝6．
故答案为：B ．
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD ， 进而可得出△ABF∽△GDF ， 由相似三角形的性质可得
出AF
FG = AB
DG ＝2，结合AF＝2 可求出FG、AG 的长度，由CG∥AB、AB＝2CG 可得出CG 为△EAB 的中位
线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度．
7. ( 3 分 ) 已知抛物线y=–x2+1 的顶点为P，点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的
平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD 交AB
于点E，△PAD 与△PEA 相似吗？（ ）
A. 始终相似 B. 始终不相似
C. 只有AB=AD 时相似 D. 无法确定
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【答案】 A
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质
【解析】【解答】解：令x=0，则y=1，
OP=1
∴
，
设A（m，﹣m2+1），即AD=
m
﹣
2+1，
AB
y
∵
⊥轴，AD x
⊥轴，
AF=OD=m
∴
，OF=
m
﹣
2+1，PF=m2 ，
在Rt
PAF
△
中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2 ，
在Rt
POD
△
中，PD= √O P
2+O D
2=√1+m
2 ，
由AB x
∥轴得，△PEF
PDO
∽△
，
∴PF
OP = PE
PD ，
即 m
2
1 =
PE
√1+m
2 ，
解得PE=m2 √1+m
2 ，
PA
∴
2=PD·PE= m4+m2 ，
∴PA
PD = PE
PA ，
APE= DPA
∵∠
∠
，
PAD
PEA
∴△
△
∽
，
则△PAD 与△PEA 始终相似.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y 轴交点的坐标特点求出点P 的坐标，从而求出OP 的长，根据点的坐标与图形的
性质设点A 的坐标为A（m，﹣m2+1），根据矩形的性质及点到坐标轴的距离公式即可得出AF=OD=m，
OF=
m
﹣
2+1，进而根据线段的和差得出PF=m2 ， 在Rt
POD
△
中，根据勾股定理表示出PD，根据平行于
三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△PEF
PDO
∽△
，根据相似三角形对应边
成比例得出PF
OP = PE
PD ，根据比例式表示出PE 的长，在Rt
PAF
△
中根据勾股定理表谁出PA2 ， 进而即
可得出PA2=PD·PE，即PA
PD = PE
PA ， 根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出
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△PAD
PEA
∽△
，故△PAD 与△PEA 始终相似.
8. ( 3 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B 分别在x 轴上和函数y=x 的图象上，AB＝4，
CB AB
⊥
，BC＝2，则OC 的最大值为（ ）
A. 2 √2 ＋2 B. 2 √2 ＋4 C. 2 √5 D. 2 √5 ＋2
【答案】 A
【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作以B 为圆心，以2 为半径的圆，
当OC AB
∥
时最大，此时OC 与圆B 相切，
过B 作BE x
⊥轴于E，过A 作AD OC
⊥
于D，
BC
AB
∵
⊥
，OC BC
⊥
，
∴四边形ABCD 为矩形，
AD=BC=2
∴
，CD=AB=4，
点B 在y=x 上，点A 在x 轴上，
设A（n，0），B（m，m），
OAD+ BAE=90°
∵∠
∠
，∠BAE+ ABE=90°
∠
，
OAD= ABE
∴∠
∠
，
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又∠ODA= AEB=90°
∠
，
AOD
BAE
∴△
△
∽
，
∴AD
BE =OA
AB 即 2
m =n
4 ，
∴mn=8
在RtABE 中，
AE=m-n，
由勾股定理得： (m-n)
2+m
2=16 ，
2m
2−2mn+n
2=16 ，
2m
2+n
2=32 ，
{2m
2+n
2=32
mn=8
，
2m
2+( 8
m )
2
=32 ，
2m
4+64 =32m
2 ，
m
4−16m
2+32=0 ，
，
m
2=8卤4√2 ，
2
∵
< m < 4，
4
∴
< m2 < 16，
m
2=8+ 4√2 ，
在Rt
OAD
△
中，
OD=
，
，
=√28−2m
2 ，
=√28−2(8+ 4√2) ，
=√12−8√2 ，
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=√(2√2−2)
2 ，
，
OD
∴
，
OC=OD+DC=
，
故答案为：A.
【分析】作以B 为圆心，以2 为半径的圆，当OC // AB 时最大，此时OC 与圆B 相切，过B 作BE x
⊥轴于
E，过A 作AD OC
⊥
于D，可证四边形ABCD 为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B 在y=x 上，点
A 在x 轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD
BAE
∽△
，由相似三角形的性质可得2
m =n
4 ， 即mn=8，
由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得
， 由2<m<4，可确定m2=8+4√2 ， 在
Rt
OAD
△
中，由勾股定理OD=
， 则由线段和差关系求得OC 长.
9. ( 3 分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB =3 ， AD = 4 ， CE 平分
，与对角线 BD 相交于
点 N ， F 是线段 CE 的中点，则下列结论中：① OF = 5
6 ；② ON = 25
26 ；③
；④
，正确的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【答案】 C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，过点E 作
，
CE
∵
是
的角平分线，
，
，
BE=EG
∴
，
GC=BC=4
∴
，
又∵ AB =3 ， AD = 4 ，
AC=5
∴
，
AG=1
∴
，
在Rt
AGE
△
中，
，
得 AE = 5
3 ， BE = 4
3 ，
O
∵、F 分别是AC、EC 的中点，
∴
，
∴
，
∴OF
AE = OC
AC = 1
2 ，
∴OF = 1
2 AE = 5
6 ，故①符合题意；
由
得
，
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∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴NO = 25
26 ，故②符合题意；
∵EC =√E B
2+ BC
2= 4√10
3
，
∴
，故④不符合题意；
∵NO = 25
26 ，
∴BN = 20
13 ，
∴ON
BN = 5
8 ，
NOF
∴△
与△NBE 的相似比是
，
，
∵
∴
，
同理可得：
，
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∴
，故③符合题意；
故答案选：C．
【分析】过点E 作
，证明
，可得到①，根据平行证出
，根
据比例可得到②，根据勾股定理求出EC，再由正弦的意义可得出④，根据已知线段的长度，可求出
△NOF 与△NBE 的相似比是
，分别计算△NOF 和△OFC 的面积相加即可；
10. ( 3 分 ) 在正方形ABCD 中，E、F 分别为BC、CD 边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：
①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA 平分∠DFE；④连接MF，则△AMF 为等腰直角三角形；
⑤∠AMN＝∠AFE. 其中一定成立的结论有（ ）
A. 2 个 B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD 正方形，
AB=AD
∴
，
，
∴将
绕点A 逆时针旋转 90 掳 得到
，如图所示，
则AH=AE，
，
∴
，
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∴
，
AF=AF
∵
，
∴
，
EF=FH=DF+DH=DF+BE
∴
，故①正确；
如图所示，
将
绕点A 逆时针旋转 90 掳 得到
，连接NG，易证
，
是
直角三角形，
MN=GN
∴
，
∴M N
2= N G
2= D N
2+ DG
2= D N
2+ B M
2 ,故②正确；
由①可得，
，
∴
，
FA
∴
平分∠DFE，故③正确；
BD
∵
是正方形ABCD 的对角线，
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BDC=45°
∴∠
，
MAN=45°
∵∠
，
BDC= MAN
∴∠
∠
，
∴点A，M，F，D 四点共圆，
ADF=90°
∵∠
，
AMF=90°
∴∠
，
∴则△AMF 为等腰直角三角形，故④正确；
由∠MAN＝∠FDN=45°，
，可得到
，
∴
,
又∵
，
AMN
∴∠
＝∠AFE，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】通过图形的旋转，得到
，证明
，可得①正确；将
绕点A 逆
时针旋转 90 掳 得到
，连接NG，证得
，可得②正确；根据
可得③正确；由∠BDC= MAN=45°
∠
，可得点A，M，F，D 四点共圆，进而可得到④正
确；通过证明三角形相似可得⑤正确；
二、填空题
11. ( 4 分 ) 如图，一次函数 y = 4
3 x +b 的图象与y 轴交于点 B(0,3) ，与反比例函数 y = k
x ( x<0) 的
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图象交于点 D(m,n) ．以 BD 为对角线作矩形 ABCD ，使顶点 A ， C 落在 x 轴上（点 A 在点
C 的右边）， BD 与 AC 交于点 E ．则 k = ________．
【答案】 27
2
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D 作DF x
∥轴，交y 轴于点F，如图所示．
∵直线 y = 4
3 x +b 经过点
，
∴b=3 ．
OB=3
∴
．
∴一次函数的解析式为 y = 4
3 x +3 ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BE = DE = 1
2 BD ．
∵DF // x 轴，
∴
．
∴BO
BF = BE
BD = 1
2 ．
∴BO = 1
2 BF ．
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∴点O 是BF 的中点．
OF=OB=3
∴
．
∴
．
∴
．
∵点
在直线 y = 4
3 x +3 上，
∴
解得，
．
∴
．
∵点
在双曲线 y = k
x ( x<0) 上，
∴
．
故答案为： 27
2 ．
【分析】先求出一次函数的解析式为 y = 4
3 x +3 ，再求出
， 最后求解即可。
12. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC= ACB
∠
，AD=4，BD=5,则边AC 的长为
________．
【答案】 6
【考点】相似三角形的判定与性质
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【解析】【解答】解：∵ ∠ADC= ACB
∠
，∠A= A
∠，
ACD
ABC
∴△
△
∽
，
∴
AC
AB = AD
AC
∵
AD=4，BD=5 ，
AB=9
∴
，
∴
AC
9 = 4
AC ，
AC=6.
∴
故答案为：6.
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△ACD
ABC
∽△
，由相似三角形对应边成比例，可得
AC
AB = AD
AC ， 代入相应数据计算即得.
13. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、BC 上的点，且DE AC
∥
，若S
BDE
△
：S
CDE
△
＝1：
4，则S
BDE
△
：S
ACD
△
＝________.
【答案】 1：20
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵S
BDE
△
：S
DEC
△
＝1：4，
BE
∴
：EC＝1：4，
BE
∴
：BC＝1：5，
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DE AC
∵
∥
，
BED
BCA
∴△
△
∽
，
∴
＝ ( BE
BC )
2
＝
1
25 ，
设S
BED
△
＝k，则S
DEC
△
＝4k，S
ABC
△
＝25k，
S
∴
ADC
△
＝20k，
S
∴
BDE
△
：S
DCA
△
＝1：20.
故答案为：1：20.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三
角形与原三角形相似”可得△BED
BCA
∽△
，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得
可求解.
14. ( 4 分 ) 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 B 的坐标为 (3,1) ，在第三象限内作与
位似的
，点 A 的对应点为点 C ，
与
的位似比为 1:3 ，则点 C 的
坐标为________．
【答案】 (-1
3 ,-1)
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵
与
位似，点 A 的对应点为点 C ，
与
的位
似比为 1:3 ，
∵点 A 的坐标为 (1,3) ，点 C 在第三象限内，
∴点 C 的横纵坐标分别为：
， 3 脳(-1
3 )=-1 ；
∴点 C 的坐标为 (-1
3 ,-1) ；
故答案为： (-1
3 ,-1) ；
【分析】根据相似和点C 所在的象限求解即可。
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15. ( 4 分 ) 如图，在
中， AC = BC =5 ， AB =6 ，点D 为AC 上一点，作 DE // AB 交BC
于点E ， 点C 关于DE 的对称点为点O ， 以OA 为半径作⊙O 恰好经过点C ， 并交直线DE 于点
M ， N 则MN 的值为________．
【答案】 25√3
8
【考点】垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO 交AB 于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC
交MN 于K，
ACB
∵△
为等腰三角形，
CH AB
∴
⊥
，
CH=
=√5
2−3
2=4，
FBC= BHC=90°
∵∠
∠
，∠BCH= BCF
∠
，
BHC
FBC
∴△
△
∽
，
BC
∴
：CH=CF：BC，
，
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OM=
∴
25
8 ，
∵点C 关于DE 的对称点为点O，
OK=KC=
∴
25
16 ，
MK=
∴
，
MN=2MK=
∴
25√3
8
.
故答案为：25√3
8
.
【分析】连接OC，延长CO 交AB 于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC 交MN 于K，根据
等腰三角形的性质，先求出CH 的长，再利用相似三角形的性质求出CF 的长，则知圆的半径的长，再由对
称的性质得出OK 的长，然后根据勾股定理即可求出MK 的长，则知MN 的长.
16. ( 4 分 ) 如图，在Rt
ACB
△
中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N 是斜边AB 上方一点，连接BN，
点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN，交AB 于点E，连接DN，交AB 于点F，当△ANF 为直角三角形时，
线段AE 的长为________．
【答案】 6 或 28
5
【考点】线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图1 中，当∠AFN＝90°时，
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在Rt
ACB
△
中，∵∠C＝90°，AC＝4，∠ABC＝30°，
AB
∴
＝2AC＝8，BC＝ √3 AC＝4 √3 ，
AFN
∵∠
＝∠DFB＝90°，∠ABC＝30°，
FDB
∴∠
＝60°，
CD
∵
＝DB＝2 √3 ，
DF
∴
＝ 1
2 BD＝ √3 ，
DM
∵
垂直平分线段BN，
DB
∴
＝DN，
FDN
∴∠
＝∠EDB＝∠EBD＝30°，
DE
∴
＝EB，
DE
∵
＝
＝2，
BE
∴
＝DE＝2，
AE
∴
＝AB
BE
﹣
＝8
2
﹣＝6．
如图2 中，当∠ANF＝90°时，连接AD，CN 交于点O，过点E 作EH DB
⊥
于H．设EH＝x，则BH＝ √3
x，DH＝2 √3
﹣√3 x．
AC
∵
＝AN，CD＝DN，
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AD
∴
垂直平分线段CN，
AON
∴∠
＝90°，
CD
∵
＝DB，MN＝BM，
DM CN
∴
∥
，
ADM
∴∠
＝∠AON＝90°，
ACD
∵∠
＝∠EHD＝90°，
ADC+ EDH
∴∠
∠
＝90°，∠EDH+ DEH
∠
＝90°，
ADC
∴∠
＝∠DEH，
ACD
DHE
∴△
△
∽
，
∴AC
DH = CD
EH ，
∴
＝
2√3
x
，
解得x＝ 6
5 ，
BE
∴
＝2x＝ 12
5 ，
AE
∴
＝AB
BE
﹣
＝8
﹣12
5 ＝ 28
5 ，
综上所述，满足条件的AE 的值为6 或 28
5 ．
故答案为6 或 28
5 ．
【分析】分两种情形：如图1 中，当∠AFN＝90°时．如图2 中，当∠ANF＝90°时，分别求解即可解决问
题．
17. ( 4 分 ) 如图，Rt
ABC
△
中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D 在边BC 上，点E 在边AB 上，沿DE
将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，连接AD ， 点P 是线段AD 上一动点，当半径为5 的⊙P 与△ABC
的一边相切时，AP 的长为________．
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【答案】 25
3 或 15
4
【考点】直线与圆的位置关系，翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD＝x ， 由折叠知AD＝BD＝x ， CD＝16﹣x ，
在Rt△ACD 中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2 ，
解得，x＝10，
∴CD＝10，
∵AB＝ √A C
2+ BC
2 = √8
2+16
2 = 8√5 ，
∴AE＝BE＝ 1
2 AB＝ 4√5 ，
∴DE＝ √10
2-(4√5)
2=2√5<5 ，
∴点P 是线段AD 上运动时，⊙P 不可能与AB 相切，
分两种情况：①当⊙P 与AC 相切时，过点P 作PF⊥AC 于点F ， 如图1，
∴PF＝5，PF∥CD ，
∴△APF∽△ADC ，
∴AP
AD = PF
CD ，即 AP
10 =5
6 ，
∴AP=25
3
；
②⊙P 与BC 相切时，过点P 作PG⊥BC 于点G ， 如图2，
∴PG＝5，PG∥AC ，
∴△DPG∽△DAC ，
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∴DP
DA = PG
AC ，即 DP
10 =5
8 ，
∴DP＝ 25
4 ，
∴AP＝10
﹣25
4 = 15
4 ，
综上，AP 的长为 25
3 或 15
4 ．
【分析】设BD＝x ， 由折叠性质得AD 与CD ， 在Rt△ACD 中由勾股定理列出x 的方程，进而求得
DE ， 得出⊙P 不能与AB 相切，进而分两种情况：⊙P 与AC 相切和⊙P 与BC 相切，过P 作切线的垂线
段，再根据相似三角形的比例线段便可求得结果．
18. ( 4 分 ) 在Rt
ABC
△
中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P 为边AC 上一点，且AP＝5cm．点Q
为边AB 上的任意一点（不与点A，B 重合），若点A 关于直线PQ 的对称点A'恰好落在△ABC 的边上，
则AQ 的长为________cm．
【答案】 50
11 或4
【考点】勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】在Rt
ABC
△
中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
BC
∴
＝6cm，
①若点A'落在BC 上，如图：
点A 关于直线PQ 的对称点A'，
∵点A 关于直线PQ 的对称点A'，
A'Q
∴
＝AQ，AP＝A'P，
AP
∵
＝5，
PC
∴
＝3，A'C＝4，A'B＝2，
A'A
∴
＝4 √5 ，
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作A'H 垂直AB，由勾股定理可得：
，
设AQ＝AQ'＝x，BH＝y，
∴
，
解得： {
x = 50
11
y = 6
5
，
故AQ 的长为 50
11 ．
②若点A'落在AB 上，如图：
∵点A 关于直线PQ 的对称点A'，
PQ AB
∴
⊥
，
APQ
∴△
～△ABC，
∴AP
AB = AQ
AC ，
∴5
10 = AQ
8 ，
AQ
∴
＝4．
综上所述：若点A 关于直线PQ 的对称点A'恰好落在△ABC 的边上，则AQ 的长为 50
11 或4cm．
故答案为 50
11 或4．
【分析】由对称可知AP=A'P，AQ=A'Q，由勾股定理可计算A'C，A'P，作A'H AB
⊥
构造直角三角形，用
勾股定理列方程组即可计算AQ 的长．
三、解答题
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19. ( 5 分 ) 如图,小丽在观察某建筑物AB．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB 在阳光下的投影．
（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB 的投影长分别为1.2m 和8m,求建筑物AB
的高．
【答案】 解：（1）如图:
（2）如图,因为DE,AB 都垂直于地面,且光线DF AC,
∥
所以Rt
DEF Rt
ABC,
△
△
∽
所以DE
AB = EF
BC ,
即1.65
AB = 1.2
8 ,所以AB=11（m）．
即建筑物AB 的高为11m．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】考查相似三角形的应用．因为在同一时刻物高与影长成正比例,所以解题的关键是将实际
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问题转化为数学问题．
20. ( 11 分 ) 如图
，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，
，垂足为点E，
，垂足为点F.
（1）发现问题：在图
中， AG
BE 的值为________.
（2）探究问题：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转
角
，如图
所示，探究线
段AG 与BE 之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF 在旋转过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，如图
所示，延长CG
交AD 于点H；若 AG =6 ， GH =2√2 ，直接写出BC 的长度.
【答案】 （1）√2
（2）解： AG =√2BE ，
理由如下：
如图
，
四边形ABCD，四边形GECF 是正方形，
，
，
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，
，
，
，
AC
BC =√2 ，
，且
，
∽
，
，
即 AG =√2BE ，
（3）解：如图
，过点H 作
于点M，
四边形ABCD，四边形GECF 是正方形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
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，
在
中，
AH =√AM
2+ HM
2=2√5 ，
，且
∽
，
即 6
AC = 2√2
2√5
，
，
在
中，
BC= √2
2 AC=3√5 ，
的长度为 3√5 .
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】（1） 四边形ABCD 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
故答案为： √2
【分析】（1）由正方形的性质可得
，
，可证 AB//GE ，
，可得 GC=√2EC ，由平行线分线段成比例可得 AG
BE =CG
CE =√2 ；（2）由正方形
的性质可得
，即可证
∽
，可得 AG
EB = AC
BC =√2 ，则 AG =√2BE ；（3）
过点H 作
于点M，构造等腰
，利用HG 的长度分别求出HM，GM，AH 的长度，再
利用
与
相似即可求出AC 的长度，进一步求出BC 的长度.
21. ( 10 分 ) 如图，在△ABC 中，AB=AC，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B，C 重合），满足
∠DEF= B
∠，且点D．F 分别在边AB、AC 上．
（1）求证：△BDE
CEF
∽△
；
（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC．
【答案】 （1）证明：∵AB=AC，
B= C
∴∠
∠，
BDE=180°
B
DEB
∵∠
﹣∠﹣∠
，
CEF=180°
DEF
DEB
∠
∠
∠
﹣
﹣
，
DEF= B
∠
∠，
BDE= CEF
∴∠
∠
，
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BDE
CEF
∴△
△
∽
（2）证明：∵△BDE
CEF
∽△
，
∴BE
CF = DE
EF ，
∵点E 是BC 的中点，
BE=CE
∴
，
∴CE
CF = DE
EF ，
DEF= B= C
∵∠
∠
∠，
DEF
CEF
∴△
△
∽
，
DFE= CFE
∴∠
∠
，
FE
∴
平分∠DFC
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B= C
∠，根据三角形的内角和和平角的定义得到
∠BDE= CEF
∠
，利用相似三角形的判定方法可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BE：CF＝DE：EF，然后根据线段中点定义可得BE=CE，等量代换得到
CE：CF＝DE：EF，根据相似三角形的判定即可得角相等，从而得到结论.
22. ( 5 分 ) 如图，△ABC 中，
， AB =2 AC ．点P 在△ABC 内，且
，求△ABC 的面积．
【答案】 解：如图，作△ABQ，
使得
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则△ABQ
ACP .
∽△
由于 AB =2 AC ，所以相似比为2.于是
．
.由 AQ: AP =2:1 知，
，
于是 PQ =√3 AP =3 ．所以 B P
2=25= BQ
2+ PQ
2 ，从而
．于是
A B
2= PQ
2+( AP+ BQ)
2=28+8√3
.故
．
【考点】三角形的面积，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】通过旋转把PA 、PB、PC 组合到一个直角三角形中，运用三角形面积公式S=1
2 absinC
,可求出面积.
23. ( 5 分 ) 附加题：
如图，在
中， AB = AC ，
，垂足为 D ， E 、 G 分别为 AD 、 AC 的中点，
，垂足为 F ，求证： FG= DG ．
【答案】 证明：连接 AF 、 CF ，
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AD
BC
∵
⊥
，DF BE
⊥
BFD= DFE= BDE=90°
∴∠
∠
∠
，
BDF+ FDE= FBD+ BDF =90°
∴∠
∠
∠
∠
，
FDE= FBD
∴∠
∠
∴
，
BDF= DEF
∴∠
∠
， BD
DE = DF
EF ，
180°- BDF=180°- DEF
∴
∠
∠
即∠FDC= FEA
∠
E
∵
是AD 的中点
AE=DE
∴
AB=AC
∵
，AD BC
⊥
BD=CD
∴
∴CD
AE = BD
DE
∴CD
AE = DF
EF
∴
AFE= CFD
∴∠
∠
AFE+ EFC= CFD+ EFC
∴∠
∠
∠
∠
即∠AFC= EFD=90°
∠
，
又∵G 是AC 的中点，
∴在Rt
AFC
△
中， FG = 1
2 AC
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在Rt
ADC
△
中， DG = 1
2 AC
∴FG= DG ．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明
，再求出 ∠AFE= CFD
∠
，最后计算求解即可。
四、综合题
24. ( 12 分 ) 抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为E，EF x
⊥轴于F 点，M（m，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若
∠MNC＝90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．
（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O 重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q
（点P 在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H，当k 发生改变时，请说明直线QH 过定点，并求
定点坐标．
【答案】 （1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、C，
把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y＝x2
2x
3
﹣
﹣；
（2）解：如图，作CH EF
⊥
于H，
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y
∵＝x2
2x
3
﹣
﹣＝（x
1
﹣）2
4
﹣，
∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），
设N 的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0
MNC
∵∠
＝90°，
CNH+ MNF
∴∠
∠
＝90°，
又∵∠CNH+ NCH
∠
＝90°，
NCH
∴∠
＝∠MNF，
又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，
Rt
NCH
MNF
∴
△
△
∽
，
∴CH
NF = HN
FM ，
即
解得：m＝n2+3n+1＝ (n+ 3
2 )
2
m:sm:s−5
4 ，
∴当
时，m 最小值为
；
当n＝﹣4 时，m 有最大值，m 的最大值＝16
12+1
﹣
＝5．
m
∴
的取值范围是
．
（3）解：设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H，
H
∴（﹣x1 ， y1），
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y
∵＝kx+2，y＝x2 ，
消去y 得，x2
kx
2
﹣
﹣＝0，
x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，
设直线HQ 表达式为y＝ax+t，
将点Q（x2 ， y2），H（﹣x1 ， y1）代入，得
，
y
∴
2
y
﹣
1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，
a
∴＝x2﹣x1 ，
∵x2
2 ＝（ x2
x
﹣
1）x2+t，
t
∴＝﹣2，
∴直线HQ 表达式为y＝（ x2
x
﹣
1）x
2
﹣，
∴当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
【考点】二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，设点N 坐标为（1，n），由已知点N 是线段EF 上一点可得﹣4≤n≤0，根
据已知条件易证得△NCH
MNF
∽△
，利用相似的性质可得m 关于n 的函数关系式，利用二次函数的增减性
可得m 的最小值；当N 与E 重合时，求得m 的最大值，故可得m 的取值范围。
（3）设直线HQ 表达式为y＝ax+t，抛物线平移后的解析式为y=x2。设点P（x1 ， y1），Q（x2 ，
y2），由抛物线的轴对称性可得H（﹣x1 ， y1），然后由待定系数法和勾股定理可得a＝x2
x
﹣
1 ，
t=-2，可得HQ 过定点（0，-2）。
25. ( 10 分 ) 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D 从点C 出发，以2cm/s 的速度
沿折线C→A→B 向点B 运动，同时点E 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，设点E 运动的
时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t 的值；
（2）若四边形CDEF 是以CD、DE 为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S 关于t 的函数关系
式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF 为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
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【答案】 （1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE 是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
BD=6+10-2t=16-2t
∴
，
BED= C=90°
∵∠
∠
，
DE AC
∴
∥
，
∴
，
∴
，
DE=
∴
3t
4 ，
sinB=
∵
DE
BD = 3
5 ，
∴
，
t= 64
13 ；
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE 是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
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cosB=
，
∴
，
t=
∴
40
7 ；
答：当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 64
13 或 40
7
（2）解：①如图3，当0＜t≤3 时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
S
∴
CDEF
▱
=2S
CDE
△
=2× 1
2 ×2t×（8-t）=-2t2+16t，
如图4，当3＜t＜8 时，BE=t，CE=8-t，过D 作DH BC
⊥
，垂足为H，
DH AC
∴
∥
，
∴
，
∴
，
DH=
∴
3(16−2t )
5
，
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S
∴
CDEF
▱
=2S
CDE
△
=2× 1
2 ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× 3(16−2t )
5
= 6
5 t2− 96
5 t+ 384
5 ；
S
∴于t 的函数关系式为：当0＜t≤3 时，S=-2t2+16t，
当3＜t＜8 时，S= 6
5 t2− 96
5 t+ 384
5 ；
②存在，如图5，当▱CDEF 为菱形时，DH CE
⊥
，
由CD=DE 得：CH=HE，
BH=
4(16−2t )
5
，BE=t，EH=
，
BH=BE+EH
∴
，
∴
4(16−2t )
5
=t+
，
t=
∴
88
21 ，
即当t= 88
21 时，▱CDEF 为菱形．
【考点】菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为 △BDE 是直角三角形有两种情况：
①
当∠BED=90°时， 可得 DE AC
∥
， 根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似 可得
,于是可得比例式将DE 用含t 的代数式表示，再根
据 sinB= DE
BD 可得关于t 的方程，解方程即可 求解 ；
②
当∠EDB=90°时，同理可求解；
（2）① 当0＜t≤3 时， S ▱ CDEF =2S
CDE
△
可得s 与t 的关系式； 当3＜t＜8 时， 过D 作DH BC
⊥
，
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垂足为H，根据 平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似 可得
,于是可得比例式将DH 用含t 的代数式表示，则 S ▱ CDEF =2S △ CDE 可得s 与t
的关系式； 当3＜t＜8 时，同上；
②
存在，当▱CDEF 为菱形时，DH CE
⊥
， 根据 BH=BE+EH 可得关于t 的方程， 解方程即可求解。
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