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第26 章 反比例函数 A 卷
满分120 分
一、单选题
1. ( 3 分 ) 若双曲线 y = k
x 与直线 y = x +1 的一个交点的横坐标为-2，则K 的值是（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】 D
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将x = -2 代入直线y=2x+1 得
y= 1×（-2）+1= - 1,
则交点坐标为(-2,-1)，
将(-2,-1)代入 y = k
x 得
k= - 2× (-1) = 2,
故答案为：D.
【分析】反比例函数和一次函数图像的一个交点的横坐标为 ? 2 ，把这个横坐标x = -2 代入 y = x +1 ，
易计算出交点坐标为（-2，-1），然后把交点坐标代入 y = k
x ，即可求出k 的值.
2. ( 3 分 ) 已知点M (－2，6)在双曲线 y = k
x 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A. (2， 6) B. (－6，－2 ) C. (6，2) D. (2，－6)
【答案】 D
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】将M（-2，6）代入得：6= k
? 2 ，k=-12，
∴函数解析式为：y=- 12
x ．将各点代入得：
A、 ? 12
2 =? 6 ≠6，不符合题意；
B、 ? 12
? 6 =2 ≠-2，不符合题意；
2
C、 ? 12
6 =? 2 ≠2，不符合题意；
D、 ? 12
2 =? 6 ，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将M 点的坐标代入 双曲线 y = k
x ，即可算出k 的值，再根据双曲线上点的横纵坐标的乘积是一
个常数K 即可一一判断。
3. ( 3 分 ) 函数 y =? 2
x ( x>0) 的图象位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象
限 C. 第三象
限 D. 第四象限
【答案】 D
【考点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：函数 y =? 2
x ( x>0) 的图象位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数中 y = k
x ，当 k <0 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y
随x 的增大而增大，进而得出答案.
4. ( 3 分 ) 如图， O 为坐标原点，点 B 在 x 轴的正半轴上，四边形 OBCA 是平行四边形，
，反比例函数 y = m
x (m>0) 在第一象限内的图像经过点 A ，与 BC 交于点 F ，若点
F 为 BC 的中点，且
的面积为12，则 m 的值为（ ）
3
A. 16 B. 24 C. 36 D. 48
【答案】 A
【考点】反比例函数系数k 的几何意义，平行四边形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标
特征
【解析】【解答】解：过点A 作AM OB
⊥
于M，FN OB
⊥
于N，
设OA=5k，
∵
AM=4k,OM=3k,m=12k
∴
2,
∵四边形OACB 是平行四边形， F 为 BC 的中点，
FN=2k
∴
，ON=6k，
S
∵
AOM
△
=S
OFN
△
，
S 四边形OAFN=S 梯形AMNF+S
AOM
△
=S
AOF
△
+S
OFN
△
，
S
∴
梯形AMNF=S
AOF
△
=12，
∴1
2 (4k+2k) 3k=12
⋅
，
k
∴
2= 4
3 ，
4
m=12k
∴
2=16.
故答案为：A.
【分析】过点A 作AM OB
⊥
于M，FN OB
⊥
于N，，设OA=5k，通过解直角三角形得出
AM=4k,OM=3k,m=12k2,，再根据S 四边形OAFN=S 梯形AMNF+S
AOM
△
=S
AOF
△
+S
OFN
△
得到S 梯形AMNF=S
AOF
△
=12，得出 1
2
(4k+2k) 3k=12
⋅
，得到k2的值，再求m 得值即可．
5. ( 3 分 ) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a ， b ， c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数
y=cx+ b
2a与反比例函数 y = ab
x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】解答：∵抛物线开口向上，
5
a
∴＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b
2a＜0 ，
b
∴＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下 方，
c
∴＜0，
∴一次函数y=cx+ b
2a的图象过第一、二、四象限，反比例函数 y = ab
x 分布在第一、三象限．
故选：D．
分析：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a
＞0，抛物线开 口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣b
2a；与y 轴的交点坐标为（0，
c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
6. ( 3 分 ) 如图，已知点 A ,B 分别在反比例函数 y = 1
x ( x>0) ， y =? 4
x ( x>0) 的图象上，且
，则 tan ABO 的值为（ ）.
A. 4 B. 2 C. 1
4 D. 1
2
【答案】 D
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】设点 A 坐标为 ( xa, ya) ，点 B 坐标为 ( xb, yb)
∵点 A ,B 分别在反比例函数 y = 1
x ( x>0) ， y =? 4
x ( x>0) 的图象上
6
∴ ya= 1
xa
( xa>0) ， yb=? 4
xb
( xb>0)
∴ A( xa, 1
xa
) ， B( xb, ? 4
xb
)
∴ O A
2= xa❑
2+
1
xa❑
2 ， O B
2= xb❑
2+ 16
xb❑
2 ， A B
2=( xb? xa)
2+( yb? ya)
2
∵
∴ A B
2=O A
2+O B
2
∴ xa xb+ ya yb=0
∴ xa xb=
4
xa xb
解得： xa xb=2
∵ xa>0 ， xb>0
∴ xa xb>0
∴ xa xb=2 ，即 xb= 2
xa
∴
故答案为：D.
【分析】设点 A 坐标为 ( xa, ya) ，点 B 坐标为 ( xb, yb) ，根据反比例函数的性质，得 A( xa, 1
xa
) ，
B( xb, ? 4
xb
) ；根据两点之间距离的性质，得 O A
2= xa❑
2+
1
xa❑
2 ， O B
2= xb❑
2+ 16
xb❑
2 ，
A B
2=( xb? xa)
2+( yb? ya)
2 ，结合勾股定理和分式方程，通过计算得 xb= 2
xa
；根据三角函数的性质计
算，即可得到答案.
7. ( 3 分 ) 如图所示的直角坐标系内，双曲线的解析式为 y = 6
x ，若将原坐标系的 x 轴向上平移两个单
位，则双曲线 y = 6
x 在新坐标系内的解析式为（ ）
7
A. y ? 2= 6
x
B. y +2= 6
x
C. y = 3
x
D. y =
6
x? 2
【答案】 B
【考点】反比例函数的图象，坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将坐标系向上平移两个单位相当于将图象向下平移2 个单位，
∴ y = 6
x
向下平移2 个单位的解析式为 y = 6
x
-2，
即：y+2= 6
x
，
故答案为：B．
【分析】将坐标系向上平移2 个单位相当于将图象向下平移2 个单位，据此求解即可．
8. ( 3 分 ) 如图，已知在平面直角坐标系中，
的顶点 A(0,3) ， B(3,0) ，
，
函数 y = 4
x ( x>0) 的图象经过点 C ，则 AC 的长为（ ）
A. 3√2 B. 2√5 C. 2√6 D. √26
【答案】 B
【考点】等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C 作
轴于点D，
8
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设 BD =CD =a ，则 OD =OB+ BD =3+a ，
，
将 C(3+a,a) 代入 y = 4
x ( x>0) 得： 4
3+a =a ，
解得 a=1 或 a=? 4<0 （不符题意，舍去），
，
由两点之间的距离公式得： AC =√(4? 0)
2+(1? 3)
2=2√5 ，
故答案为：B.
【分析】过点C 作
轴于点D，由
中OA=OB 可得
为等腰直角三角形，
9
故可得∠ABO=45°，且
，故∠CBD=45°，故△BCD 为等腰直角三角形，设点C（3+a,a），
且点C 在反比例函数图象上可得a，由勾股定理可得AB、BC，在Rt
ABC
△
中，AC=√A B
2+ BC
2 ， 即
可.
9. ( 3 分 ) 对于函数y=
，下列说法错误的是（ ）。
A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图
形又是中心对称图形
C. 当x＞0 时，y 随x 的增大而增大 D. 当x＜0 时，y
随x 的增大而减小
【答案】 C
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】函数y=
的图象位于第一、第三象限，A 正确；
图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B 正确；
当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，C 错误；
当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，D 正确
选：C．
【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=
，当k＞0 时，在每一个象限内，函数值y 随自变
量x 的增大而减小；当k＜0 时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大解答
10. ( 3 分 ) 已知反比例函数y = ab
x
， 当x>0时，
随
的增大而增大，则关于
的方程a x
2? 2 x +b=0
的根的情况是（ ）
A. 有两个正根 B. 有两个负
根 C. 有一个正根一个负
10
根 D. 没有实数根
【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数的性质
【解析】【分析】因为反比例函数y = ab
x
， 当x＞0 时，y 随x 的增大而增大，
所以ab＜0，
所以△=4
4ab
﹣
＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
再根据x1x2=b
a
＜0，
故方程有一个正根和一个负根．
故选C．
二、填空题
11. ( 4 分 ) 已知点(1,-2)在反比例函数 y = k
x
的图象上,则 k =________.
【答案】 -2
【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵y=k
x
,
k=xy=1×(-2)=-2.
∴
故答案为：-2.
【分析】由反比例函数关系式可知，k=xy，代入图象上点的坐标即可求出k 值.
12. ( 4 分 ) 反比例函数y=﹣2
x
的比例系数k 是________ ．
【答案】 -2
【考点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：反比例函数y=﹣2
x
的比例系数k 为﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可．
11
13. ( 4 分 ) 已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y= k2
x
(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，
则它的另一个交点的坐标是________.
【答案】 (2，1)
【考点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵正比例函数 y1=k1 x(k ≠0) 与反比例函数 y2= k2
x (k2≠0) 的图象交于两点，正比
例函数 y1=k1 x(k ≠0) 与反比例函数 y2= k2
x (k2≠0) 的图象均关于原点对称.则两点关于原点对称，一
个交点的坐标为（−2，−1），则另一个交点的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
14. ( 4 分 ) 已知某双曲线过点（3，﹣ 1
3
），则这个双曲线的解析式为________．
【答案】 y=
﹣1
x
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设双曲线的解析式为y= k
x
，
∵双曲线过点（3，﹣ 1
3
），
k=3×
∴
（﹣ 1
3
）=
1
﹣，
∴双曲线的解析式为：y=
﹣1
x
．
故答案为：y=
﹣1
x
．
【分析】直接利用待定系数法来求.设出双曲线的解析式，把已知点的坐标代入可求解.
15. ( 4 分 ) 已知反比例函数 y = k
x
的图象经过点A（-2，3），则 k =________；
【答案】 －6
【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数 y = k
x
的图象经过点A（－2，3），∴ 3= k
? 2
，解得： k =? 6 .
故答案为：－6.
12
【分析】把点A 的坐标代入反比例函数的解析式即得答案.
16. ( 4 分 ) 如图，已知反比例函数 y = k
x ( x>0) 与正比例函数
的图象，点 A(1,5) ，点
与点 B
′
均在反比例函数的图象上，点 B 在直线 y = x 上，四边形
是平行四边形，
则 B 点的坐标为________.
【答案】 ( √21 , √21 )
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵反比例函数y= k
x
（x＞0），点A（1，5），
k=1×5=5
∴
，
∴反比例函数解析式为：y= 5
x
，
∵点A′（5，b）在反比例函数的图象上，
5b=5
∴
，
解得：b=1，
A′
∴
（5，1），
∵点B 在直线y=x 上，
∴设B 点坐标为：（a，a），
∵点A（1，5），A′（5，1），
A
∴
点向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，即可得到A′点，
∵四边形AA′B′B 是平行四边形，
B
∴
点点向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，即可得到B′点（a+4，a-4），
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴（a+4）（a-4）=5，
解得：a=± √21 （负数不合题意），
13
故B 点坐标为：（ √21 ， √21 ）．
【分析】用待定系数法可求得反比例函数的解析式为y = 5
x
， 而点A′（5，b）在反比例函数的图象上，
所以5b=5，解得：b=1，则A′（5，1），由题意可设B 点坐标为：（a，a），根据点A（1，5），A′（5，
1）可知A 点向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，即可得到A′点，而四边形AA′B′B 是平行四边形，
所以B 点点向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，即可得到B′点（a+4，a-4），所以可得（a+4）
（a-4）=5，解得a=±√21 ， 因为B 在第一象限，所以B 点坐标为：（√21 ，√21 ）．
17. ( 4 分 ) 已知y 与2x+1 成反比例，且当x=1 时，y=2，则当y=
2
﹣时，x=________．
【答案】 3
4
【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设y=
k
2 x +1
，
把x=1，y=2 代入得 k
2+1
=2，解得k=6，
所以y=
5
2 x +1
，
当y=
2
﹣时，
5
2 x +1
=
2
﹣，解得x= 3
4
．
故答案为 3
4
．
【分析】根据反比例的定义，设y=
k
2 x +1
，再把x=1，y=2 代入可计算出k 的值．从而得到y=
5
2 x +1
，然后计算y=
2
﹣所对应的x 的值．
18. ( 4 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B，C 在第一象限，
顶点D 的坐标 ( 5
2 ,2) . 反比例函数 y = k
x
（常数 k >0 ， x>0 ）的图象恰好经过正方形ABCD 的两
个顶点，则k 的值是________.
14
【答案】 5 或22.5
【考点】正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，分别过B、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F、E 点，
并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G；
∵正方形ABCD，
DAB=90°
∴∠
，AB=BC=CD=DA，
DAE+ BAF=90°
∴∠
∠
，
又∵∠DAE+ ADE=90°
∠
，∠BAF+ ABF=90°
∠
，
DAE= ABF
∴∠
∠
，∠ADE= BAF
∠
，
∴
≌
，
同理可证△ADE
BAF
CBG
△
△
≌
≌
；
DE=AF=BG
∴
，AE=BF=CG；
设AE=m，
∵点D 的坐标 ( 5
2
，2) ，
OE=
∴
5
2
，DE=AF=BG=2，
15
B
∴（ 9
2 +m ， m ），C（ 9
2
， m+2 ），
∵ 5
2 ×2=5 ，
当 9
2 (m+2)=5 时， m=? 8
9 <0 ，不符题意，舍去；
当 ( 9
2 +m)m=5 时，由
解得 m= √161? 9
4
，符合题意；故该情况成立，此时 k =5 ；
当 ( 9
2 +m)m= 9
2 (m+2) 时，由
解得 m=3 ，符合题意，故该情况成立，此时
;
故答案为：5 或22.5.
【分析】分别过B、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F、E 点，并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G，利
用角角边定理证明△ADE
BAF
CBG
≌△
≌△
，得出DE=AF=BG，AE=BF=CG，设AE=m，把B、C 两点坐标用
m 表示出来，然后根据反比例函数的坐标特征分三种情况分别构建方程求解并验证即可.
三、解答题
19. ( 5 分 ) 已知反比例函数 y = m? 5
x
的图象过点P（－1，3），求m 的值和该反比例函数的表达式.
【答案】 解：把点P（-1，3）代入 y = m?5
x
，得 m?5
?1 =3 .解得 m=2 .
把m=2 代入 y = m?5
x
，得 y = 2?5
x
，即 y =? 3
x
.
∴反比例函数的表达式为 y =? 3
x
.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】把点P 的坐标代入函数解析式求得m 的值即可
20. ( 5 分 ) 如图，已知一次函数y1＝kx＋b 与反比例函数y2＝ m
x
的图象交于 A(2,4) 、 B(? 4 ,n) 两
点.分别求出y1 和y2 的解析式.
16
【答案】 解：把点 A(2,4) 代入 y2= m
x
∴y2= 8
x
当 x =? 4 时，
y =? 2
把 A(2,4) ， B(? 4 ,? 2) 代入y1＝kx＋b
，
-
①②得，
k =1
把 k =1 代入①得，
b=2
即 {k =1
b=2
4 y1= x +2 .
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】先把A 点坐标代入 y2＝ m
x
，求出反比例函数解析式，接着把
代入反比例
函数求出B 点坐标，最后把A、B 两点坐标代入一次函数 y1＝kx＋b ，解出k、b 即可得到一次函数解析
式.
17
21. ( 5 分 ) 如图，点P（－3，1）是反比例函数y = m
x
的图象上的一点.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）设直线y =kx与双曲线y = m
x
的两个交点分别为P 和P′，
当m
x
＜kx时，直接写出x 的取值范围．
【答案】 （1）∵点P（－3,1）在反比例函数y = m
x
的图象上，
由1= m
? 3
得m=? 3.
∴反比例函数的解析式为y = ? 3
x
.
（2）x<? 3或0< x<3.
【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数图象的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，反比例
函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）把A 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m，确定出反比例解析式;
（2）根据图像直接写出x 的取值范围．
22. ( 9 分 ) 面积一定的梯形，其上底长是下底长的1
3
， 设上底长为xcm，高为ycm，且当x=5cm，
y=6cm，
18
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）求当y=4cm 时，下底长多少？
【答案】 （1）解：∵x=5cm，y=6cm，上底长是下底长的1
3
， ∴下底长为15cm，
∴梯形的面积=1
2
×（5+15）×6=60，
∴梯形的高=
y=
∴
120
x +3 x
=30
x
；
（2）解：当y=4cm 时，x=7.5，
3x=22.5
∴
．
答：下底长22.5cm．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）先根据梯形的面积公式得到梯形的面积，进而根据梯形的面积表示出梯形的高即
可；
（2）把y=4 代入（1）得到的式子求出上底，再乘以3 即为下底长．
23. ( 10 分 ) 综合题
（1）探究：如图1 ，直线l 与坐标轴的正半轴分别交于A，B 两点，与反比例函数 y = k
x
(k >0，x>0)
的图象交于C，D 两点(点C 在点D 的左边)，过点C 作CE y
⊥轴于点E，过点D 作DF x
⊥轴于点F，CE 与
DF 交于点G(a ， b).
19
①若 EC
CG = 1
n
，请用含n 的代数式表示 AC
CD
；
②求证： AC = BD ；
（2）应用：如图2，直线l 与坐标轴的正半轴分别交于点A，B 两点，与反比例函数 y = k
x
(k >0，x>0) 的图象交于点C，D 两点(点C 在点D 的左边)，已知 BD
CD = 1
m
，△OBD 的面积为1，试用
含m 的代数式表示k.
【答案】 （1）①∵CE y
⊥轴，DF x
⊥轴，∴∠AEC= DFB=90°
∠
，又∵∠ACE= DCG
∠
，∴△ACE
DCG∴
∴
△
∽
；
②证明：易证△ACE
DCG
DBF
∽△
∽△
又∵G(a,b) C(
∴
) ，D(a, )
∴
即△ACE 与△DBF 都和△DCG 相似，且相似比都为
20
ACE
DBF
∴△
△
≌
AC=BD.
∴
（2）如图，过点D 作DH x
⊥轴于点H
由（2）可得AC=BD
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
.
【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
21
【解析】【分析】（1）①由直角相等，对顶角相等，可证明△ACE∽△DCG ，
；②由①同
理可证明△ACE∽△DCG∽△DBF ， 通过证明△ACE∽△DCG 相似比与△DBF∽△DCG 相似比相等，则可证
得△ACE≌△DBF ， 则AC=BD；（2）过点D 作DH⊥x 轴于点H ， 则DH//OA，所以有
，
，根据反比例函数k 的几何意义可得
，
则可写出
，代入比可解得.
四、综合题
24. ( 12 分 ) 如图，一次函数的图象 y =kx +b 与反比例函数 y = a
x
的图象在第一象限交于点 A(4,3) ，
与y 轴的负半轴交于点B，且 OA =OB ．
（1）求一次函数 y =kx +b 与反比例函数 y = a
x
的表达式；
（2）已知点C 在x 轴上，且
的面积是8，求此时点C 的坐标；
（3）请直接写出不等式 0<kx +b< a
x
的解集．
【答案】 （1）解：∵点 A(4,3) 在反比例函数 y = k
x
的图象上，
∴
，
22
∴反比例函数解析式为 y = 12
x
；
∵ OA =√4
2+3
2=5
， OA =OB ，点B 在y 轴负半轴上，
∴点 B(0,?5) ．
把点 A(4,3) 、 B(0,?5) 代入 y =kx +b 中，
得 {4 k +b=3
b=? 5
，
解得： { k =2
b=?5
，
∴一次函数的解析式为 y =2 x? 5
（2）解：设点C 的坐标为 (m,0) ，令直线 AB 与x 轴的交点为D，如图1 所示．
令 y =2 x? 5 中 y =0 ，则 x = 5
2
，
∴ D( 5
2 ,0) ，
∴
，
解得： m= 1
2
或 m= 9
2
．
答：当
的面积是8 时，点C 的坐标为 ( 1
2 ,0) 或 ( 9
2 ,0) ；
（3）解：不等式 0<kx +b< a
x
，
反应函数在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值，
23
由图象知反比例函数图像在一次函数图像的上方在点 A(4,3) 的左侧，直线AB 与x 轴交点 D( 5
2 ,0) 的
右侧，
∴不等式 0<kx +b< a
x
的解集为 2.5< x<4 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点
问题
【解析】【分析】（1）由点 A(4,3) 在反比例函数 y = k
x
的图象上，
；由
OA =√4
2+3
2=5
，求点 B(0,?5) ．利用待定系数法一次函数的解析式即可；
（2）设点C 的坐标为 (m,0) ，令直线 AB 与x 轴的交点为D，
的面积以DC 为点，A、B 两点
纵坐标之差为高列方程求解即可；
（3）不等式 0<kx +b< a
x
，说明函数在第一象限内部分，反比例函数值大于一次函数值，由图象知反比
例函数图像在一次函数图像的上方在点 A(4,3) 的左侧直线与轴交点 D( 5
2 ,0) 的右侧即可．
25. ( 12 分 ) 如图，反比例函数y= k
x
的图象与一次函数y= 1
4
x 的图象交于点A、B，点B 的横坐标是
4．点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．
（1）若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；
24
（2）设直线PA、PB 与x 轴分别交于点M、N，求证：△PMN 是等腰三角形；
（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P、B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ、BQ，比较
∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．
【答案】 （1）解：k=4，S
PAB
△
=15．
提示：过点A 作AR y
⊥轴于R，过点P 作PS y
⊥轴于S，连接PO，
设AP 与y 轴交于点C，如图1，
把x=4 代入y= 1
4
x，得到点B 的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y= k
x
，得k=4．
解方程组 {
y = 1
4 x
y = 4
x
，得到点A 的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A 与点B 关于原点对称，
OA=OB
∴
，
S
∴
AOP
△
=S
BOP
△
，
S
∴
PAB
△
=2S
AOP
△
．
设直线AP 的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP 的解析式为y=x+3，
则点C 的坐标（0，3），OC=3，
S
∴
AOP
△
=S
AOC
△
+S
POC
△
= 1
2
OC•AR+ 1
2
OC•PS
= 1
2
×3×4+ 1
2
×3×1= 15
2
，
S
∴
PAB
△
=2S
AOP
△
=15；
25
（2）解：过点P 作PH x
⊥轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y= 4
x
，
设P（m， 4
m
），直线PA 的方程为y=ax+b，直线PB 的方程为y=px+q，
联立 {
4
m =ma+b
? 1=? 4 a+b
，解得直线PA 的方程为y= 1
m
x+ 4
m
1
﹣，
联立 {
4
m =mp+q
4 p+q =1
，解得直线PB 的方程为y=
﹣1
m
x+ 4
m
+1，
M
∴
（m
4
﹣，0），N（m+4，0），
H
∴（m，0），
MH=m
∴
﹣（m
4
﹣）=4，NH=m+4
m=4
﹣
，
MH=NH
∴
，
PH
∴
垂直平分MN，
PM=PN
∴
，
PMN
∴△
是等腰三角形；
26
（3）解：∠PAQ= PBQ
∠
．
理由如下：
过点Q 作QT x
⊥轴于T，设AQ 交x 轴于D，QB 的延长线交x 轴于E，如图3．
可设点Q 为（c， 4
c
），直线AQ 的解析式为y=px+q，则有
{
? 4 p+q =? 1
cp+q = 4
c
，
解得： {
p= 1
c
q = 4
c ? 1
，
∴直线AQ 的解析式为y= 1
c
x+ 4
c
1
﹣．
当y=0 时， 1
c
x+ 4
c
1=0
﹣
，
解得：x=c
4
﹣，
D
∴（c
4
﹣，0）．
同理可得E（c+4，0），
DT=c
∴
﹣（c
4
﹣）=4，ET=c+4
c=4
﹣
，
DT=ET
∴
，
QT
∴
垂直平分DE，
QD=QE
∴
，
QDE= QED
∴∠
∠
．
27
MDA= QDE
∵∠
∠
，
MDA= QED
∴∠
∠
．
PM=PN
∵
，∴∠PMN= PNM
∠
．
PAQ= PMN
MDA
∵∠
∠
﹣∠
，∠PBQ= NBE= PNM
QED
∠
∠
∠
﹣
，
PAQ= PBQ
∴∠
∠
．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，线段垂直平
分线的性质，等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）过点A 作AR y
⊥轴于R，过点P 作PS y
⊥轴于S，连接PO，设AP 与y 轴交于点
C，如图1，可根据条件先求出点B 的坐标，然后把点B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然
后求出直线AB 与反比例函数的交点A 的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S
PAB
△
=2S
AOP
△
， 要求
△PAB 的面积，只需求△PAO 的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P 作PH x
⊥轴于H，如图
2．可用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到
MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN 是等腰三角形；（3）过点Q 作QT x
⊥轴于T，
设AQ 交x 轴于D，QB 的延长线交x 轴于E，如图3．可设点Q 为（c， 4
c
），运用待定系数法求出直线
AQ 的解析式，即可得到点D 的坐标为（c
4
﹣，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直
平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE= QED
∠
．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到
∠PAQ= PBQ
∠
．
28
