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让更多的孩子得到更好的教育
正比例函数（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y
kx
的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
【高清课堂：389342 正比例函数，知识要点】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如y
kx
（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系
数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、y 是x 的正比例函数；
（2）、y
kx
（k 为常数且k ≠0）；
（3）、若y 与x 成正比例；
（4）、
k
x
y
（k 为常数且k ≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数y
kx
（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线
y
kx
.当k ＞0 时，直线y
kx
经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y
也增
大；当k ＜0 时，直线y
kx
经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y
反而减小.
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数y
kx
（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，
y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
1、已知
1
(
2)
m
y
m
x
，当m 为何值时，y
是x 的正比例函数？
【思路点拨】正比例函数的一般式为
(
0)
y
kx k
，要特别注意定义满足
0
k
，x 的指数为
1．
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【答案与解析】
解：由题意得，
2
0
1
1
m
m
解得 m ＝2
∴当m ＝2 时，y 是x 的一次函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）
x 的指数是1.
举一反三：
【变式】如果函数
2 3
(
2)
m
y
m
x
是正比例函数，那么m 的值是________．
【答案】
解：由定义得
2
2
0,
3
1,
m
m
解得
2.
2.
m
m
∴ m ＝2．
类型二、正比函数的图象和性质
2、（2014 秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=﹣x，y=﹣0.6x
的图象．
【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．
【答案与解析】
解：列表：
描点，连线：
【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.
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3、
（2016 春•马山县期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函
数值y 随自变量x 的值的增大而
．（填“增大”或“减小”）
【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断.
【答案】减小；
【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx，得到：2=
6k
﹣
，
解得k=﹣
＜0，
则函数值y 随自变量x 的值的增大而减小.
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k 的值，当k
＞0 时，随着
y 的增大x 也增大；当k ＜0 时，随着y 的增大x 反而减小.
举一反三：
【变式】（2015•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x 的说法中，正确的是（ ）
A．当x=1 时，y=5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y 随x 的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
【答案】B；
解：A、当x=1 时，y=﹣5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选B．
【高清课堂：389342 正比例函数，例3】
4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数
1
y
k x
、
2
y
k x
、
3
y
k x
、
4
y
k x
的
图象分别为
1l 、
2l 、
3l 、
4l ，则下列关系中正确的是（ ）
A．
1k ＜
2k ＜
3k ＜
4k
B．
2k ＜
1k ＜
4k ＜
3k
C．
1k ＜
2k ＜
4k ＜
3k
D．
2k ＜
1k ＜
3k ＜
4k
【答案】B；
【解析】首先根据直线经过的象限，知：
2k ＜0，
1k ＜0，
4k ＞0，
3k ＞0，再根据直线越陡，|k |
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越大，知：
2
|
|
k
＞|
1k |，|
4k |＜|
3k |．则
2k ＜
1k ＜
4k ＜
3k
【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符
号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
类型三、正比函数应用
5、如图所示，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s 与时间
t 的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．
A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定
【思路点拨】观察图象，在t 相同的情况下，有s
s
乙
甲
，故易判断甲乙的速度大小．
【答案】A；
【解析】由s
vt
知，
s
v
t
，观察图象，在t 相同的情况下，有s
s
乙
甲
，故有
s
s
v
v
t
t
甲
乙
乙
甲
．
【总结升华】此问题中，l甲、l乙对应的解析式y
kx
中，k 的绝对值越大，速度越快．
举一反三：
【变式】如图，OA，BA 分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中s 和t 分别表示运动路
程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A.2.5 米 B.2 米 C.1.5 米 D.1 米
【答案】C；
提示：从图中可以看出甲用了8 秒钟跑了64 米，速度是8 米/秒，乙用了8 秒钟跑了
52 米，速度是13
2 米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5 米.
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