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让更多的孩子得到更好的教育
相似多边形及位似--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题
1.下面给出了相似的一些命题：
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相
似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2.下列说法错误的是（ ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.
3.下列说法正确的是（ ）
A.分别在
ABC 的边AB、AC 的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则
ADE
是
ABC 放大后的图形.
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.
4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（ ）
A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.
C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.
D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以
，得到的鱼与原来的鱼位似.
5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的
长是（ ）
A. 10 B. 12 C.
D.
6．如果点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A. AB：AC=AC：BC B. AC=
5
1
2
AB
C.AB=
5
1
2
AC
D.BC≈0.618AB
7. （2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似
中心的位似图形，且相似比为
，点A，B，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐
标为（ ）
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A．（3，2）B．
（3，1）C．
（2，2）D．（4，2）
二. 填空题
8. （2016 春•淄博期末）下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是
．
9.已知
ABC，以点A 为位似中心，作出
ADE，使
ADE 是
ABC 放大2 倍的图形，则这
样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.
10．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A B C D E
，已知
OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A B C D E
的周长的比值是
__________．
11. △ABC 中，D、E 分别在AB、AC 上，DE∥BC，△ADE 是△ABC 缩小后的图形.若DE 把
△ABC 的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.
12.（2015 春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．
13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取
△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取
△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如
此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.
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14. 如图，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC 的平分线与AC 边的交点D 为边AC
的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.
三． 综合题
15.如图，D、E 分别AB、AC 上的点.
(1)如果DE∥BC，那么△ADE 和 △ABC 是位似图形吗？为什么？
(2)如果△ADE 和 △ABC 是位似图形，那么DE∥BC 吗？为什么？
16.如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG，
且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=
，求GD 的长．
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17. 如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相
似比为1：4，矩形ABCO 的边AB=4，BC=4 3 ．
（1）求矩形ODEF 的面积；
（2）将图1 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE 的面积是否存在最
大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．
2．【答案】D.
3．【答案】C.
4．【答案】C.
5．【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴
=
，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1=
=
．
6．【答案】D.
【解析】∵AC＞BC，
∴AC 是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=
5
1
2
AB
, AB=
5
1
2
AC
AC≈0.618AB．故选D．
7.【答案】A．
【解析】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为
，
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∴
=
，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴
=
，
∴
=
，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C 点坐标为：（3，2），
故选：A．
二、填空题
8.【答案】②③．
【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
9.【答案】2 个； 全等.
10.【答案】1：2．
【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
∴五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
故答案为：1：2．
11.【答案】
；
【解析】由BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以
，故
.
12.【答案】63，85°.
【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
∴ 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．
∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．
故答案为63，85°．
13. 【答案】1
256 .
【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC 和△DEF 各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE 的面积为1，
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∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为1
4 ，
同理可得，第三个六角形的面积为：
3
1
4 = 1
64 ，
第四个六角形的面积为：1
1
1
1
=
16
4
4
256
，
故答案为：1
256 .
14. 【答案】2 5-2 ；
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D 点是AC 的黄金分割点，
∴BC=AD=4×
5-1
2
=2 5-2 .
三．解答题
15.【答案与解析】
(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是：
DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以
.
又因为 点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C
是对应点，直线BD 与CE 交于点A，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形.
(2)DE∥BC.理由是：
因为△ADE 和△ABC 是位似图形，
所以△ADE∽△ABC
所以∠ADE=∠B
所以DE∥BC.
16.【答案与解析】
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
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（2）解：连接BD 交AC 于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP= AB=1，
AP=
=
，AE=AG=
，
∴EP=2
，
∴EB=
=
=
，
∴GD=
．
17.【答案与解析】
（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S 矩形ODEF= 1
16 S 矩形ABCO= 1
16 ×4×4 3 = 3 ；
（2）存在．
∵OE=
所以点E 的轨迹为以点O 为圆心，以2 为半径的圆，
设点O 到AC 的距离为h，
AC=
2
2
2
2
4
4 3
8
AB
BC
∴8h=4×4 3 ，
解得h=2 3 ，
∴当点E 到AC 的距离为2 3 +2 时，△ACE 的面积有最大值，
当点E 到AC 的距离为2 3 -2 时，△ACE 的面积有最小值，
S 最大=
1
8 2 3
2
8 3
8
2
S 最小=
1
8 2 3
2
8 3
8
2
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