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相似的图形及相似图形的性质--巩固练习
【巩固练习】
一．选择题
1. 在比例尺为1︰1 000 000 的地图上，相距3 cm 的两地，它们的实际距离为（ ）.
A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km
2.下列四条线段中，不能成比例的是（ ）.
A.
＝2，
＝4，
＝3，
＝6 B.
＝
，
＝
，
＝1，
＝
C.
＝6，
＝4，
＝10，
＝5 D.
＝
，
＝2
，
＝
，
＝2
3.下列命题正确的是( ).
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的矩形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似
4.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对
应大鱼上的点( ).
A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)
5. 若x 是3、5、7 的第四比例项，则x 的值为（ ）.
A.
B.
C.
D.无法确定
6.设x 是a2与b2的比例中项，则x 等于（ ）.
A. a2b2 B．ab C．±ab D．±a2b2
二. 填空题
7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.
8. 若
，则
________.
9．已知若
若
:
=___.
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10.已知
则
11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD，若四边形的边长被放大为原来的10 倍，下列结论①放大后的
∠B 是原来∠B 的10 倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有
.
12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则
三 综合题
13.如果
，一次函数
经过点（-1,2），
求此一次函数解析式.
14. 若矩形ABCD 能以某种方式分割成n 个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形ABCD 相似，则此时我们
称矩形ABCD 可以自相似n 分割，已知AB=1，BC=x（x≥1），
（1）若下图可以自相似2 分割，请在图中画出分割草图，并求出x 的值．
（2）若矩形ABCD 可以自相似3 分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的x 值．
15. 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行
于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能
帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN 是中位线（如图①）．
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根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND 与梯形ABCD 是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_____________ ；（填“相似”
或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________；
（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2， 你能找到
与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q 在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD 与梯形PBCQ 相似吗？
请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_____________（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底
边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是AP
ab
PB
b
．（不妨
设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．）
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B．
【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．
2．【答案】C．
【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．
3．【答案】D.
4．【答案】A.
【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1 倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.
5．【答案】A.
【解析】若x 是3、5、7 的第四比例项即：
，，则x=
．故选A．
6．【答案】C.
【解析】x 是a2与b2的比例中项，即x2=a2•b2．则x=±
=±ab．故选C．
二、填空题
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7.【答案】.1：30 000.
【解析】比例尺=图上距离︰实际距离.
8.【答案】
.
【解析】由
可得
，故填
.
9.【答案】
10.【答案】
【解析】提示：设
11.【答案】③.
12.【答案】
.
【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB，所以
,即EF=
,
所以
三、解答题
13.【解析】∵
,
∴
,
∴
,
则分两种情况：（1）
，即
,
;
(2)
,即
,
所以当
，过点（-1,2）时，
,
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当
，过点（-1,2）时，
.
14.【解析】（1）∵是自相似2 分割，
∴BF=FC=
BC，
根据相似矩形对应边成比例
，
∴x•
x=1，
解得x=
；
（2）如上图，EF，GH 三等分矩形，则
，
∴x•
x=1，
解得x=
；
如上图，点G 为AB 中点，则
，
∴BF=
BC=
x，
又
，
∴BC•FC=CD•CD=1，
即x（x-
x）=1，
解得x=
．
15.【解析】问题一：（1）不相似.
因为两个梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
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（2）相似性无法确定．
问题二：（1）不相似；
（2）梯形APQD 与梯形PBCQ 相似，
∴
AD
PQ
PQ
BC
，即
2
8
PQ
PQ
解得：PQ=4．
∵
2
1
4
2
AP
AD
PB
PQ
又∵AP+PB=6，
∴AP=2.
（3）存在.
如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则
AD
PQ
PQ
BC
, AP
AD
PB
PQ
，
∵AD=a，BC=b，
∴PQ=
AD BC
ab
，
∴AP
a
ab
PB
b
ab
.
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