文档文本内容
直角三角形----知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，
原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的
逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a
b
，
，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程
求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2
2
2
a
c
b
，
2
2
2
b
c
a
，
2
2
2
c
a
b
ab
.
（4）勾股数：满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉
斯数），显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……
②如果a
b
c
、、是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形必
为直角三角形.
③
2
2
1 2
1
n
n
n
，，
（
1,
n
n
是自然数）是直角三角形的三条边长；
④
2
2
2
2 , 2
1, 2
2
1
n
n
n
n
n
（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；
⑤
2
2
2
2
,
,2
m
n
m
n
mn
（
,
m
n m
n
、是自然数）是直角三角形的三条边长.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
第1页 共10页
图（2）中
，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
.
要点三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直
角三角形.
要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）
首先确定最大边（如c ）.
（2）
验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的
直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：
当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为钝角三角形；当
2
2
2
a
b
c
时，此三角形为锐角三角形，
其中c 为三角形的最大边.
要点五、互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，
则另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆
定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们
称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定
理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.
第2页 共10页
要点六、直角三角形全等的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角
形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形
全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】
类型一、勾股定理
1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
【思路点拨】利用勾股定理
2
2
2
a
b
c
来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，
2
2
2
a
b
c
，a ＝5，b ＝12，
所以
2
2
2
2
2
5
12
25 144
169
c
a
b
．所以c ＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，
2
2
2
a
b
c
，c ＝26，b ＝24，
所以
2
2
2
2
2
26
24
676
576
100
a
c
b
．所以a ＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜
边，再决定用勾股定理的原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；
（2）已知
:
3:5
a c
，b ＝32，求a 、c ．
【答案】
解：（1）∵∠C＝90°，b ＝2，c ＝3，
∴
2
2
2
2
3
2
5
a
c
b
；
（2）设
3
a
k
，
5
c
k
．
∵∠C＝90°，b ＝32，
∴
2
2
2
a
b
c
．
即
2
2
2
(3 )
32
(5 )
k
k
．
第3页 共10页
解得k ＝8．
∴
3
3 8
24
a
k
，
5
5 8
40
c
k
．
2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷
子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
【答案与解析】
解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．
则在Rt△BCD 中，
2
2
2
BD
DC
BC
，
所以
2
2
2
2
16
12
20
BD
DC
BC
(cm )．
答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．
【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一
对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前
有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m ，AC＝12m ，
∴
2
2
2
2
2
5
12
169
AB
BC
AC
．
∴
169
13
AB
(m )．
∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m )．
∴ 旗杆折断前的高度为18m ．
类型二、勾股定理的逆定理
3、判断由线段a
b
c
，，组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；
（2）a ＝4
3 ，b ＝1，c ＝3
4 ；
（3）
2
2
a
m
n
，
2
2
b
m
n
，
2
c
mn
(
0
m
n
)；
第4页 共10页
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两
条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵
2
2
2
2
7
24
625
a
b
，
2
2
25
625
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形是直角三角形．
（2）∵ a
b
c
，
2
2
2
2
3
9
25
1
1
4
16
16
b
c
，
2
2
4
16
3
9
a
，
∴
2
2
2
b
c
a
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵
0
m
n
，
∴
2
2
2
m
n
mn
，
2
2
2
2
m
n
m
n
．
∵
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
(
)
(2
)
2
4
2
a
c
m
n
mn
m
m n
n
m n
m
m n
n
，
2
2
2
2
4
2
2
4
(
)
2
b
m
n
m
m n
n
，
∴
2
2
2
a
c
b
．
∴ 由线段a
b
c
，，组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进
行判断，即首先确定最大边，然后验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系，再根据结果判断是否
为直角三角形．
举一反三：
【变式1】判断以线段a
b
c
，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中
7
a
，
3
b
，
2
c
．
【答案】
解：由于a
c
b
，因此a 为最大边，只需看
2
a 是否等于
2
2
b
c
即可．
∵
2
2
( 7)
7
a
，
2
2
( 3)
3
b
，
2
2
2
4
c
，∴
2
2
2
a
b
c
，
∴以线段a
b
c
，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．
【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）
A．20:15:12
B．3:4:5
C．5:4:3
D．10:8:2
【答案】A.
第5页 共10页
提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：12
5 ，即20:15:12.
4、如图所示，在四边形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形
ABCD 的面积．
【答案与解析】
解：连接AC，在△ABC 中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以
2
2
2
2
2
3
4
9 16
25
AC
AB
BC
，所以AC＝5，
在△ACD 中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以
2
2
2
2
2
2
5
12
25 144
169
13
DC
AC
AD
，
即
2
2
2
DC
AC
AD
．
所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以
1
1
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
AB
BC
AC
DC
△
△
四边形
1
1
3 4
5 12
2
2
6
30
36
．
【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
应想到连接AC，则在Rt△ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD
中，已知AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断
△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．
类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
5、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每
第6页 共10页
小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里，
如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
【答案与解析】
解：根据题意可画出上图，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，
在△PQR 中，
2
2
2
2
24
18
576
324
900
PQ
PR
，
∴
2
2
2
PQ
PR
QR
．
∴ △PQR 是直角三角形且∠RPQ＝90°．
又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，
∴ ∠RPN＝45°．
由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．
【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成
90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．
类型四、原命题与逆命题
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等.
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
【答案与解析】
1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．ƒ（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）
【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其
逆命题也不一定错误.
举一反三：
【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
第7页 共10页
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a
b
c
，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】①④
提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，
那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实
数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角
三角形，那么三角形的三边长a
b
c
，，满足
2
2
2
a
b
c
”也是正确的.
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝CD：
（2）AD∥BC．
【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.
【答案与解析】
证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°
在Rt△ABD 和Rt△CDB 中，
AD
BC
BD
DB
＝
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
（2）由∠ADB＝∠CBD
∴AD∥BC .
【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形
全等的证明方法.
举一反三：
【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．
第8页 共10页
【答案】
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAE＝∠CBA＝90°
在Rt△DAE 与Rt△CBA 中，
ED
AC
AE
AB
＝
＝
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）
∴∠E＝∠CAB
∵∠CAB＋∠EAF＝90°，
∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°
即ED⊥AC．
8、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A，B 两点分别作直线l
的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的
过程.
【答案与解析】
解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.
证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE
在△ACD 与△CBE 中，
90
ADC
CEB
CAD
BCE
AC
BC
∴△ACD≌△CBE（AAS）.
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的
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一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角
形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
第10页 共10页
