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思想方法专题：勾股定理中的思想方法
类型一 分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x 为边长的正方形的面积为【易错3】(
)
A．13 B．5
C．13 或5 D．4
2．直角三角形的两边长是6 和8，则这个三角形的面积是____________．
二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论
3．★(2016·东营中考)在△ABC 中，AB＝10，AC＝2，BC 边上的高AD＝6，则BC 的长为
【易错4】( )
A．10 B．8
C．6 或10 D．8 或10
4．在等腰△ABC 中，已知AB＝AC＝5，△ABC 的面积为10，则BC＝____________．
【易错4】
类型二 方程思想
一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端
拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB＝6，
BC＝9，求BF 的长．【方法4】
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三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
类型三 利用转化思想求最值
8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm 的正方体纸箱的A 点沿纸箱外表面爬到B
点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】
9．如图，A，B 两个村在河CD 的同侧，且AB＝km，A，B 两村到河的距离分别为AC＝
1km，BD＝3km.现要在河边CD 上建一水厂分别向A，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费
每千米需3000 元．请你在河岸CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设
水管的总费用W(元)．【方法5】
参考答案与解析
1．C 2.24 或6
3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD
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和Rt△ACD 中，根据勾股定理得BD＝＝＝8，CD＝＝＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；
图②中，同理可得BD＝8，CD＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6 或
10.故选C.
4．2 或4 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD⊥AB，交AB 于点
D.∵S△ABC＝10，AB＝5，∴AB·CD＝10，解得CD＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD＝＝＝
3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD 中，由勾股定理得BC＝＝＝2；
如图②，△ABC 为钝角三角形，过点C 作CD⊥AB，交BA 的延长线于点D.同上可得CD
＝4.在Rt△ACD 中，AC＝5，由勾股定理得AD＝＝＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在
Rt△BDC 中，由勾股定理得BC＝＝＝4.综上所述，BC 的长度为2 或4.
5．17m
6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF
＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB 的中点，AB＝6，∴BC′＝AB＝3.在Rt△C′BF 中，由勾股定理得
C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF 的长为4.
7．解：过A 作AD⊥BC 交BC 于点D.在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，
则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－
x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD 中，由
勾股定理得AD＝＝＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
8．4
9．解：如图，作点A 关于CD 的对称点A′，连接BA′交CD 于O，点O 即为水厂的位置．过
点A′作A′E∥CD 交BD 的延长线于点E，过点A 作AF⊥BD 于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝
1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF 中，AF2＝AB2－BF2＝13－
22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE 中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝＝
＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000 元．
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