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平行四边形的判定定理（基础）
【学习目标】
1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．
2. 会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．
【要点梳理】
要点一、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
（1）
这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
【典型例题】
类型一、平行四边形的判定
1、如图所示，E、F 分别为四边形ABCD 的边AD、BC 上的点，且四边形AECF 和DEBF 都是
平行四边形，AF 和BE 相交于点G，DF 和CE 相交于点H．求证：四边形EGFH 为平行四边形．
【思路点拨】欲证四边形EGFH 为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，
FG∥HE 可用来证明四边形EGFH 为平行四边形．
【答案与解析】
证明：∵ 四边形AECF 为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF 为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH 为平行四边形．
【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平
行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
举一反三：
【变式】如图所示，在
ABCD 中，E、F 分别为BC、AD 上的点，且BE＝DF，
求证：∠AEC＝∠AFC．
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形．
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∴ AD
BC(平行四边形对边平行且相等)．
又∵ BE＝DF，
∴ AF
CE．
∴ 四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴ ∠AEC＝∠AFC(平行四边形的对角相等)．
2、（2013•番禺区一模）如图，已知E、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB、CD 上的两点，
且∠CBF=∠ADE．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）判定四边形DEBF 是否是平行四边形？
【思路点拨】（1）利用平行四边形ABCD 的对角相等，对边相等的性质推知∠A=∠C，AD=BC；然
后根据全等三角形的判定定理AAS 证得结论；
（2）由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”推知四边形DEBF 是平行四边形．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
在△ADE 与△CBF 中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）解：四边形DEBF 是平行四边形．理由如下：
∵DF∥EB，又由△ADE≌△CBF，知AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即DF=EB．
∴四边形DEBF 是平行四边形．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的
判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活
地选择方法．
3、如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，O 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交BO 的延长线
于点E，则四边形ABDE 是什么四边形？并说明理由．
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【思路点拨】根据平行线性质求出∠EAO=∠ODB，∠AEO=∠DBO，证△AOE≌△DOB，推出OB=OE，
根据平行四边形的判定求出即可．
【答案与解析】四边形ABCD 是平行四边形，
理由是：∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ODB，∠AEO=∠DBO，
∵O 是AD 的中点，
∴AO=OD，
∵在△AOE 和△DOB 中
∵
∴△AOE≌△DOB，
∴OB=OE，
∵AO=OD，
∴四边形ABDE 是平行四边形．
【总结升华】本题考查了平行线的性质和平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定的应
用，关键是求出OB=OE，题目比较好．
举一反三：
变式：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延
长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D 是BC 的中点.
【答案】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE，
在△AEF 和△DEB 中，
∵
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=DC，
∴BD=DC，
∴D 是BC 的中点.
类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用
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4、如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF．
（1）猜想探究：BE 与DF 之间的关系： ________________.
（2）请证明你的猜想．
【思路点拨】（1）BE 平行且等于DF；
（2）连接BD 交AC 于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边
形BEDF 即可．
【答案与解析】
（1）解：BE 和DF 的关系是：BE=DF，BE∥DF，
故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接BD 交AC 于O，
∵ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴BFDE 是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性
质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问
题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．
举一反三：
变式：如图，在
ABCD 中，E、F 分别在AD、BC 边上，且AE=CF．请你猜想BE 与DF 的关系，并说
明理由．
【答案】
解：猜想BE 与DF 的关系是BE=DF，BE∥DF，
理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BFDE 是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
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5、如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点P，过点P 作直线交AD 于点E，交BC 于点
F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求证：PA=PC．
（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．
【思路点拨】（1）首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则
易证四边形EMFN 是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可
得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE 为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形
ABCD 为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD 的面积．
【答案与解析】
（1）证明：在PA 和PC 的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PN=PM．
∵PE=PF，
∴四边形EMFN 是平行四边形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
∴△EAM≌△FCN．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC．
（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四边形AFCE 为平行四边形．
∴AE∥CF．
∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，
∴△PED≌△PFB．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，
∴四边形ABCD 的面积为90
．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此
题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
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