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等腰三角形（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作
图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，
初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两
腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 是等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A
是顶角，∠B、∠C 是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC 为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.
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(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的
对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等
腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称
轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角
（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
.
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不
一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线
合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离
相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三
角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论
是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰
三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推
出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的
结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的
命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立；
（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以
证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关角度的计算题
1、如图，在△ABC 中，D 在BC 上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2 的度数.
【答案与解析】
解： ∵AB＝AC
∴∠B ＝∠C
∵AB＝BD
∴∠2＝∠3
∵∠2＝∠1＋∠C
∴ ∠2＝∠1＋∠B
∵∠2＋∠3＋∠B＝180°
∴∠B＝180°－2∠2
∴∠2＝∠1＋180°－2∠2
∴3∠2＝∠1＋180°
∵∠1＝30°
∴∠2＝70°
【总结升华】解该题的关键是要找到∠2 和∠1 之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出
∠C 与∠2 的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD 的角之间的关系，
问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.
举一反三：
【变式】已知：如图，D、E 分别为AB、AC 上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B 的度数．
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【答案】
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝
，∠BCD＝∠BDC＝
，
则∠AED＝∠ADE＝2
，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC 中，根据三角形内角和得，
＋
＋180°－4
＋180°－4
＝180°①
又∵A、D、B 在同一直线上，∴2
＋
＋
＝180°②
由① ，②解得
＝36°
∴∠B＝180°－4
＝180°－144°＝36°.
类型二、等腰三角形中的分类讨论
2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的
角度去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数
；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，
小心别漏解．
3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案与解析】
解：(1)3 为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3 为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长
．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明
边长为3 的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两
边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而
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决定取舍，最后得到正确答案．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8
，且|AC－BC|＝2
，那么腰AC 的长为( )．
A．10
或6
B．10
C．6
D．8
或6
【答案】A；
解 ：∵ |AC－BC|＝2
，∴ AC－BC＝±2．
又BC＝8．
∴ AC＝10 或6．
∴ AB＝10（
）或（6
）．
类型三、等腰三角形的性质及其运用
4、如图，在△ABC 中，边AB＞AC．
求证：∠ACB＞∠ABC
【思路点拨】在AB 上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三
角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC 即可．
【答案与解析】
证明：证明：在AB 上截取AE=AC，连接CE，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC＞∠B，
∴∠ACB＞∠ABC．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE 和
∠AEC＞∠ABC 是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，BD 是中线，延长BC 至点E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
【答案与解析】
证明：如图，在△ABC 中，
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∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠2=60°，
∵BD 是中线，
∴BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠1=30°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠3，
∴∠E= ∠2=30°，
∴∠E=∠1，
∴DB=DE．
类型四、等腰三角形的判定
5、已知：如图，△ABC 的两条高BE、CD 相交于点O，且OB=OC，求证：
△ABC 是等腰三角形．
【思路点拨】由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由锐角△ABC 的两条高BE、CD 相交于
点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC 是等腰三角形．
【答案与解析】
证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC 的两条高BE、CD 相交于点O，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠DBO=∠ECO，
∴∠OBC+∠DBO=∠OCB+∠ECO，
即：∠ABC=∠ACB
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定．注意等角对等边定理的应用．
举一反三
【变式1】如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，点D、E 在BC 上，试说明
△ADE 是等腰三角形．
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【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE
∴△ADE 是等腰三角形．
类型三、 含有30°角的直角三角形
6. 如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.
【答案与解析】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°
∴在Rt△ACD 中，AD=
AC，
又∵∠ACB=90°，
在Rt△ACB 中，
∴∠B=30°，
∴AC=
AB ∴AD=
AB，
则AD=
BD，即BD=3AD.
【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而
可推出AB=4BD，从而不难证得BD 与AD 的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的
性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
举一反三：
【变式】如图，等边三角形ABC 内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．
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【答案】解：如图，以AP 为边作等边△APD，连接BD．
则∠BAD=60°-∠BAP=∠CAP，
在△ADB 和△APC 中，
AD=AP．∠BAD=∠CAP，AB=AC
∴△ADB≌△APC（SAS）
∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4
∴BP2+PD2=42+32=25=BD2
∴∠BPD=90°
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+ 90°=150°．
类型四、反证法
7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
【答案】已知：△ABC
求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180 度矛盾．假设不成立．
∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°
【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步
骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定
一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
举一反三：
【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2
【答案】A．
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