28.2 解直角三角形及其应用（二）
一、课前预习 (5 分钟训练)
1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图28－2－2－1，在△ABC 中, C=90°,
∠
点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ADC=
∠
5
3 ，
则BD 的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
图28－2－2－1 图28－2－2－２
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则
AC=______，AD=__________.（用根号表示）
二、课中强化(10 分钟训练)
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A. 9
4 B. 4
5.4
C. 9
2 D. 9
3
2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC 长及tanC.
图28－2－2－3
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测
角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8 米到D，在D 点又测得
旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6 米，求旗杆AB 的高度.（3 的近似
值取1.7，结果保留1 位小数）
图28－2－2－４
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角
为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
图28－2－2－５
[来源:Zxxk.Com]
三、课后巩固(30 分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的
俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
图28－2－2－6 图28－2－2－7
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大
树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10 米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约
为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8 所示，其中∠A=60°，AB BC
⊥
，AD CD
⊥
，AB=200 m，CD
=100 m，求AD、BC 的长.（精确到1 m，3 ≈1.732）
图28－2－2－
8
4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°, C=45°,AC=2,
∠
求AB 和BC.
图28－2－2－9
5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80 米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶
A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01 米）（参考数据
2 =1.414 21，3
=1.732 05）
图28－2－2－10
6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6 海
里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6 海里内有暗礁,若该船继续向东航
行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: 3 ≈1.732)
图28－2－2－11
7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景
点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5 米（BC 所在地面
为水平面）.
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01 米）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01 米）
图28－2－2－12
8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B
处发现一艘可疑船只正以24 海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行
检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1 个小时的航行，恰好在C 处截住可疑
船只，求该艇的速度.
(结果保留整数,
6 =2.449, 3 =1.732,
2 =1. 414)
图28－2－2－13
参考答案
一、课前预习 (5 分钟训练)
1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：AC=BC·tanB=6.
答案：D
2.如图28－2－2－1，在△ABC 中, C=90°,
∠
点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ADC=
∠
5
3 ，
则BD 的长是( )
图28－2－2－1
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt
ADC
△
中,已知一角一边,可求出AD.
在Rt
ADC
△
中，CD=3，且cos ADC=
∠
5
3 ，∴AD=5, BC=AD=5. BD=2.
∴
∴
答案：C
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则
AC=______，AD=__________.（用根号表示）
图28－2－2－２
解析：在Rt
ABD
△
中, A=60°
∠
，CD=5，∴AC=
3
3
10
60
sin
CD
,AD=
3
3
5
60
tan
CD
.
答案:
3
3
10
3
3
5
二、课中强化(10 分钟训练)[来源:Zxxk.Com]
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A. 9
4 B. 4
5.4
C. 9
2 D. 9
3
解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为
9
2
.
答案：C
2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.
解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决.
答案:南偏西15°或西偏南75°
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC 长及tanC.
图28－2－2－3
分析：作BC 边上的高AD，构造直角三角形.在Rt
ADB
△
中已知一角一边，可求得AD、
BD，在Rt
ADC
△
中由勾股定理求出CD.
解：过点A 作AD BC
⊥
于D,
在Rt
ABD
△
中，∠B＝45°，
sinB=
∵
AB
AD ,
AD=AB·sinB=4·sin45°=4×
∴
2
2 =
2
2
,
BD=
∴
2
2
.
在Rt
ADC
△
中，AC=6,
由勾股定理得DC=
7
2
)
2
2
(
6
2
2
2
2
AD
AC
,
BC=BD+DC=
∴
7
2
2
2
,
tanC=
7
14
7
2
2
2
DC
AD
.
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测
角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8 米到D，在D 点又测得
旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6 米，求旗杆AB 的高度.（3 的近似
值取1.7，结果保留1 位小数）
图28－2－2－４
解：设EF 为x 米，
在Rt
AEF
△
中, AFE=60°
∠
，
AE=EF·tan60°=
∴
3 x，
在Rt
AGE
△
中, AGE=45°
∠
，
AE=GE·tan45°=GE=8+x.
∴
∴3 x=8+x.解之,得x=4+4 3 .
AE=12+4
∴
3 ≈18.8.
AB=20.4(
∴
米).
答:旗杆AB 高20.4 米.
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角
为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
图28－2－2－５
解Rt
AEB
△
与Rt
AEB′,
△
得AE 与BE、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案.
解：设树高BC=x(m)，过A 作AE BC
⊥
于E，
在Rt
ABE
△
中，BE=x－2, BAE=30°,cot BAE=
∠
∠
BE
AE ,
AE=BE·cot BAE=(x
∴
∠
－2)· 3 = 3 (x－2).
B′AE=45°,AE BC.
∠
⊥
∵
B′E=AE=
∴
3 (x－2).
又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,
∴3 (x－2)=x+2. x=(4+2
∴
3 )(m).
答：树高BC 为(4+2 3 ) m.
三、课后巩固(30 分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的
俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )
图28－2－2－6
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在
Rt
ADE
△
中, ADE=
∠
α,DE=a,
AE=a·tanα.
∴
在Rt
ABC
△
中, ACB=β,BC=a,
∠
AB=a·tan
∴
β.
CD=AB
∴
－AE=a·tanβ－a·tanα.
答案:D
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大
树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10 米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约
为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
[来源:学科网]
图28－2－2－7
解析:AB=BC·tanC=12(米).
答案:12
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8 所示，其中∠A=60°，AB BC
⊥
，AD CD
⊥
，AB=200 m，CD
=100 m，求AD、BC 的长.（精确到1 m，3 ≈1.732）
图28－2－2－8
解：延长AD，交BC 的延长线于点E，
在Rt
ABE
△
中，∠A=60°，AB=200 m，
BE=AB·tanA=
∴
3
200
(m).
AE=
2
1
200
60
cos
AB
=400(m).
在Rt
CDE
△
中，∠CED=30°，CD=100 m，
DE=CD·cot CED=
∴
∠
3
100
(m),
CE=
2
1
100
sin
CED
CD
=200m.
AD=AE
∴
－DE=400－
3
100
≈227(m),
BC=BE－CE=
3
200
－200≈146(m).
4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°, C=45°,AC=2,
∠
求AB 和BC.
图28－2－2－9
解：作三角形的高AD.
在Rt
ACD
△
中, ACD=45°,AC=
∠
2, AD=CD=
∴
2
.在Rt
ABD
△
中, B=30°,AD=
∠
2
，
BD=
∴
6
30
tan
AD
，AB=
2
2
30
sin
AD
.
CB=BD+CD=
∴
2 +
6 .
5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80 米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶
A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01 米）（参考数据
2 =1.414 21，3
=1.732 05）
图28－2－2－10
解：在Rt
ABD
△
中,BD=80 米，∠BDA=60°，
AB=BD·tan60°=803≈138.56
∴
（米）.
Rt
AEC
△
中,EC=BD=80, ACE=45°
∠
，
AE=CE=80(
∴
米).
CD=AB
∴
－AE≈58.56（米）.
答:塔高与楼高分别为138.56 米、58.56 米.
6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6 海
里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6 海里内有暗礁,若该船继续向东航
行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: 3 ≈1.732)
图28－2－2－11
解:继续向东行驶,有触礁的危险.
过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,
CAB=30°, CBD=60°,
BCD=30°.
∵∠
∠
∴∠
设CD 的长为x,则tan CBD=
∠
BD
x
BD
CD
,
BD=
∴
3
3 x.
tan CAB=tan30°=
∴
∠
x
x
AD
CD
3
3
6
3
3
.
x=
∴
3
3
.
x≈5.2<6.
∴
∴继续向东行驶,有触礁的危险.
7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景
点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5 米（BC 所在地面
为水平面）.[来源:学科网]
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01 米）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01 米）
图28－2－2－12
解：（1）如图，在Rt
ABC
△
中，
AC=AB·sin44°=5sin44°≈3.473.
在Rt
ACD
△
中，AD=
32
sin
473
.3
32
sin
AC
≈6.554.
AD
∴
－AB=6.554－5≈1.55.
即改善后的台阶会加长1.55 米,
（2）如图，在Rt
ABC
△
中，
BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.
在Rt
ACD
△
中，CD=
32
tan
473
.3
32
tan
AC
≈5.558，
BD=CD
∴
－BC=5.558－3.597≈1.96,
即改善后的台阶多占1.96 米长的一段地面.
8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B
处发现一艘可疑船只正以24 海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行
检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1 个小时的航行，恰好在C 处截住可疑
船只，求该艇的速度.
(结果保留整数,
6 =2.449, 3 =1.732,
2 =1. 414)
图28－2－2－13
解：设OA 的长为x，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得
tan30°=
3
12
24
3
3
24
x
x
x
x
x
x
+12.
AC2=x2+x2AC=
2
2
x
x
, AC≈46
∴
（海里）.
答：该艇的速度是46 海里/时.
