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线段的垂直平分线——巩固练习（提高）
【巩固练习】
一．选择题
1.（2011•丹东）如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分AB 于D．若AC=9，
则AE 的值是（ ）
A、6
B、4
C、6
D、4
2.如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB
的长度为（ ）
A、6
B、5 C、4
D、3
3.如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB 上取两点D、E，
使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D、E，则D、E 即为所求；
（乙）作AC、BC 之中垂线，分别交AB 于D、E，则D、E 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A、两人都正确
B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确
4.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D，交BC 于点E，
则下列结论不正确的是（ ）
A、AE=BE
B、AC=BE C、CE=DE
D、∠CAE=∠B
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5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A、AB 垂直平分CD
B、CD 垂直平分AB
C、AB 与CD 互相垂直平分
D、CD 平分∠ACB
6. 在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是
（ ）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点.
二．填空题
7．如图，等腰三角形ABC 中，已知AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D，则∠CBD 的
度数为
_________
°．
8.如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分BC，ED=3．则CE 长为
_________
．
9.如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D，那么∠ADC=_____
度．
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11.如图:已知,在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的
周长等于
_________
．
12.如图，△ABC 的周长为19cm，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D，E 为垂足，AE=3cm，则△ABD 的
周长为
_________
cm．
三．解答题：
13.（2012•泰安）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F 为BC 中
点，BE 与DF，DC 分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
14.已知，如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB 交AB 于点E，且CD=AC，
DF∥BC，分别与AB、AC 交于点G、F．
（1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF 的长．
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15.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D，交AB 于点M，有下面4 个结论：
①BD 是∠ABC 的角平分线；
②△BCD 是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C；
【解析】∵BE 平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED 垂直平分AB 于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=6．
故选C．
2．【答案】B;
【解析】∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，
∴PB=PA，
而已知线段PA=5，
∴PB=5．
3.【答案】D；
【解析】∵CP 是线段AB 的中垂线，∴△ABC 是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC 之中垂线分别交AB 于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE．
4【答案】B；
【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；
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B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；
C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得
∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；
D、根据C 的证明过程．故该选项正确．
5.【答案】A；
【解析】∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B 在线段CD 的垂直平分线上．
∴AB 垂直平分CD．
6.【答案】B；
二．填空题
7.【答案】45；
【解析】∵△ABC 是等腰三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB 的垂直平分线交AC 于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
8.【答案】6；
【解析】∵ED 垂直平分BC，
∴BE=CE，∠EDB=90°，
∵∠B=30°，ED=3，
∴BE=2DE=6，
∴CE=6．
9.【答案】50°；
【解析】∵DE 垂直平分AC，∠A=30°，
∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，
∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°﹣30°=50°．
10.【答案】60；
【解析】由AB=AC，∠BAC=120°，
可得∠B=30°，
因为点D 是AB 的垂直平分线上的点，
所以AD=BD，
因而∠BAD=∠B=30°，
从而∠ADC=60 度．
11.【答案】8；
【解析】∵△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，
∴AD=BD，AE=CE
∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．
△ADE 的周长等于8．
12.【答案】13；
【解析】∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D，E 为垂足
∴AD=DC，AC=2AE=6cm，
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∵△ABC 的周长为19cm，
∴AB+BC=13cm
∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm．
三．解答题
13.【解析】
证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH 和△DCA 中
,
BDH
CDA
BD
CD
HBD
ACD
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°），
∴∠BCD=45°=∠ABC，
∴DB=CD，
∵F 为BC 的中点，
∴DF 垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴EC=EA，
在Rt△CGE 中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2-GE2=EA2．
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14. 【解析】
（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC 和Rt△DFC 中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE．
（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE= 1
2 AC= 1
2 CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE= 1
2 BC= 1
2 BD= 1
2 ．
在直角三角形ABC 中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE= 3
2 ．
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE= 3
2 ．
15. 【解析】
解：（1）连接BD，
①∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180 -36 =72
2
，
∵AB 垂直平分线交AC 于D，交AB 于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．
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有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD 平分∠ABC，故正确；
②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD 是等腰三角形．故正确；
③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，故正确；
④∵∠ADM=90°≠∠C=72°，
∴△AMD 与△BCD 不是全等三角形．故不正确．
∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③；
（2）证明：BD 平分∠ABC，
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180 -36 =72
2
，
∵AB 垂直平分线交AC 于D，交AB 于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD 平分∠ABC．
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