期末检测卷
一、选择题(每题3 分,共30 分)
1.下列二次根式中,能与√2合并的是( )
A.√4
B.√
2
9
C.√12 D.√20
2.如图,小聪在作线段AB 的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A 和点B 为圆心,大于1
2
AB 的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD 即所求.根据他的作图方法,可知四边形
ADBC 一定是( )
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.无法判定
3.下列运算错误的是
( )
A.4√
3
2
=2 √6
B.√3×2√2=2√6
C.√24∶√6=2 D.1
3 √18-3√
8
9
=√2
4.已知直角三角形的两边长分别为5 和12,则该三角形的周长为 ( )
A.30 B.17+√119
C.30 或17+√119
D.以上都不对
5.为了解学生课外阅读时间情况,随机收集了30 名学生一天中的课外阅读时间,整理如下表:
课外阅读时间/h 0.5 及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5 及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中课外阅读时间的中位数和众数分别是
( )
A.0.7 h 和0.7 h
B.0.9 h 和0.7 h
C.1 h 和0.7 h D.0.9 h 和1.1 h
6.如图,经过点B(-1,0)的直线y=kx+b 与直线y=-2x+2 相交于点A(m,8
3
),则不等式-2x+2<kx+b
的解集为
( )
A.x<-1
3
B.x>1 C.x<1
D.x>-1
3
第6 题图 第7 题图 第8 题图
7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别是边AB,AC 的中点,延长BC 至F,使CF=1
2
BC,
若AB=10,则EF 的长是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.将n 个边长都为1 cm 的正方形按如图所示的方法摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形对角线
的交点,则重叠部分的面积和为( )
A.1
4
cm2
B.n-1
4
cm2 C.n
4
cm2 D.(1
4
)n cm2
9.如图,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,点P 从点B 出发,沿B→C→D 向终点D 匀速运动,设点P
运动的路程为x,△ABP 的面积为S,下列能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是
( )
A B C D
10.小东家与学校之间是一条笔直的公路,早饭后,小东步行前往学校,途中发现忘带画板,停下
给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上画板马上赶往学校,同时小东沿原路返回,两人相遇后,小
东立即赶往学校,妈妈沿原路返回,经过16 min 到家,再过5 min 小东到达学校.小东始终以
100 m/min 的速度步行,小东和妈妈的距离y(m)与小东打完电话后的步行时间t(min)之间的
函数关系如图所示,给出下列结论:①打电话时,小东和妈妈的距离为1 400 m;②小东和妈妈
相遇后,妈妈回家的速度为50 m/min;③小东打完电话后,经过27 min 到达学校;④小东家离学
校的距离为2 900 m.其中正确的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每题3 分,共18 分)
11.直线y=2x-1 与x 轴的交点坐标为 .
12.已知y=√2 x -4+√4−2 x+5,则x+3y= .
13.如图,在四边形ABCD 中,点E,F 分别是边AB,AD 的中点,若
BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=55°,则∠ADC= .
第13 题图 第15 题图 第16 题图
14.已知数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为8,方差为1,则增加一个数据8 后所得的数据
x1,x2,x3,…,x8,8 的平均数x 8,方差s2 1. (填“>”“<”或“=”)
15.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠,点D 落在点D'处,CD'与AB 交于点
F,则△AFC 的面积为 .
16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,AC=8 cm,BD=6 cm,点P 从点A 开始沿
AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动.设运动时间为t s,当t= 时,△PAB 为等腰三角
形.
三、解答题(共52 分)
17.(6 分)计算下列各题:
(1)(3√12-2√
1
3
+√48)÷2√3;
(2)(2√3-1)2+(√3+2)(√3-2).
18.(8 分)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求
△ABC 的周长.(结果保留根号)
19.(8 分)4 月23 日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智
慧启发,让人滋养浩然之气.”某校响应号召,鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了
解学生课外阅读情况,抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间,过程如下:
①数据收集,从全校随机抽取20 名学生,进行每周用于课外阅读时间的调查,数据如下(单
位:min):
30
60
81
50
44 110 130 146 80 100
60
80 120 140 75
81
10
30
81
92
②整理数据,按如下分段整理样本数据并补全表格:
课外阅读时间x/
min
0≤x<40
40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
③分析数据,补全下列表格中的统计量:
平均数
中位数
众数
80
c
81
④得出结论.
(1)表格中的数据a= ,b= ,c= ;
(2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ;
(3)如果该校现有学生400 人,估计等级为“B”的学生有多少人;
(4)假设平均阅读一本课外书的时间为320 min,请你用样本平均数估计该校学生每人一年(按
52 周计算)平均阅读多少本课外书.
20.(8 分)某网店销售甲、乙两种水果,已知甲种水果每千克的价格比乙种水果多15 元,王老师
从该网店购买2 kg 甲种水果和3 kg 乙种水果,共花费205 元.
(1)该网店甲、乙两种水果的售价分别是多少?
(2)该网店决定购进甲、乙两种水果共1 000 kg,且甲种水果的进货量不低于乙种水果进货量
的3 倍,已知甲种水果的进价为40 元/kg,乙种水果的进价为20 元/kg.请求出网店所获利润
y(元)与甲种水果的进货量x(kg)之间的函数关系式,并说明当x 为何值时,所获利润最大?最大
利润为多少?
21.(10 分)数学活动 实验、猜想与证明
问题情境 数学活动课上,小颖向同学们提出了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD
中,AB=2BC,点M,N 分别是AB,CD 的中点,作射线MN,连接MD,MC,请直接写出线段MD 与
MC 的数量关系.
解决问题
(1)请你解答小颖提出的问题;
(2)小彬受此问题启发,将矩形ABCD 变为平行四边形,其中∠A 为锐角,如图2,AB=2BC,点M,N
分别是AB,
CD 的中点,过点C 作CE⊥AD 交射线AD 于点E,交射线MN 于点F,连接ME,MC,则ME=MC,
请你证明小彬的结论;
(3)小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题,∠BME 与∠AEM 有怎样的数量关系?请你回
答小丽提出的问题,并证明你的结论.
22.(12 分)如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 分别是BC,AB 上的点,且CE=BF,连接DE,过点E
作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.
(1)判断:FG 与CE 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,若点E,F 分别是边CB,BA 延长线上的点,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?
请作出判断并给予证明.
(3)如图3,若点E,F 分别是边BC,AB 延长线上的点,正方形ABCD 的边长为2a,GE=√5a(a>0),
其他条件不变,求四边形BEGF 的面积.(用含a 的式子表示)
图1 图2 图3
参考答案
1.B 【解析】 √4=2,√
2
9
=√2
3 ,√12=2√3,√20=2√5,所以能与√2合并的是√
2
9
.故选B.
2.B 【解析】 根据题中作图方法,可知AC=BC=BD=AD,所以四边形ADBC 是菱形.故选
B.
3.D 【解析】 4√
3
2
=4×√6
2 =2√6,故A 正确;√3×2√2=2×√3×2=2√6,故B 正确;√24∶√6
=√4=2,故C 正确;1
3 √18-3√
8
9
=√2-2√2=-√2,故D 错误.故选D.
4.C 【解析】 设该三角形的第三条边长为x,分情况讨论:①当12 为直角边长时,x 为斜边
长,由勾股定理,得x=√5
2+12
2=13,此时该三角形的周长为5+12+13=30;②当12 为斜边长
时,x 为直角边长,由勾股定理,得x=√12
2-5
2=√119,此时该三角形的周长为5+12+√119
=17+√119.综上,该三角形的周长为30 或17+√119.故选C.
5.B 【解析】 由题中表格,得位于中间位置的数是0.9 和0.9,所以本次调查中课外阅读时
间的中位数为0.9+0.9
2
=0.9(h).因为阅读时间为0.7 h 的人数最多,所以众数是0.7 h.故选B.
6.D 【解析】 把A(m,8
3
)代入y=-2x+2,得-2m+2=8
3
,解得m=-1
3
.由题中图象,知当x>-1
3
时,
直线y=kx+b 在直线y=-2x+2 的上方,所以不等式-2x+2<kx+b 的解集为x>-1
3
.故选D.
7.A 【解析】 ∵点D,E 分别是边AB,AC 的中点, DE
∴
∥BC,DE=1
2
BC,又CF=1
2
BC, DE
∴
∥CF,DE=CF,
∴四边形DEFC 是平行四边形, EF=CD.
∴
∵∠ACB=90°,AD=DB,AB=10, CD=
∴
1
2
AB=5, EF=
∴
5.
故选A.
8.B 【解析】 由题意,可得每个阴影部分的面积等于正方形面积的1
4
,因为正方形的面积
为1 cm2,所以每个阴影部分的面积是1
4
,所以重叠部分的面积和为n-1
4
cm2.故选B.
9.C 【解析】 当0<x≤2 时,S=1
2
AB·BP=1
2
x;当2<x≤3 时,S=1
2
AB·BC=1.所以S=
{
1
2 x,0< x ≤2,
1,2< x ≤3.
结合选项,可知选C.
10.D 【解析】 打电话时,t=0,对应y=1 400,所以此处小东和妈妈的距离是1 400 m,故①正
确.由题中图象,知小东与妈妈相遇时,t=6,妈妈回到家时,t=22,设妈妈回家的速度为x m/min,
则16×100+16x=2 400,解得x=50,即妈妈回家的速度为50 m/min,故②正确.因为小东打完电
话时,t=0,小东到学校时,t=27,所以小东打完电话后经过27 min 到达学校,故③正确.相遇后妈
妈回家的路程为50×16=800(m),小明到达学校的路程为100×21=2 100(m),所以小东家离学
校的距离是2 900 m,故④正确.综上,正确的结论是①②③④.故选D.
11.(1
2
,0) 【解析】 在y=2x-1 中,令y=0,得2x-1=0,所以x=1
2
,所以直线y=2x-1 与x 轴的交
点坐标是(1
2
,0).
12.17 【解析】 根据题意,得2x-4≥0 且4-2x≥0,所以x=2,所以y=5,所以x+3y=2+3×5=17.
13.145° 【解析】 如图,连接BD,∵点E,F 分别是边AB,AD 的中点, BD=
∴
2EF=12,EF∥BD,
∴∠ADB=∠AFE=55°. BD
∵
2+CD2=225,BC2=225, BD
∴
2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=∠AD
B+∠BDC=145°.
14.= < 【解析】 根据题意,得1
8
(x1+x2+x3+…+x8)=8,1
8
[(x1-8)2+(x2-8)2+…+(x8-8)2]=1,∴数
据x1,x2,x3,…,x8,8 的平均数x=1
9
(x1+x2+x3+…+x8+8) =1
9
×(8×8+8)=8,方差s2=1
9
[(x1-8)2+(x2-
8)2+
…+(x8-8)2+(8-8)2]=1
9
[(x1-8)2+(x2-8)2+…+(x8-8)2]<1.
15.10 【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形, AD=BC
∴
,∠B=∠D=90°.由折叠的性质,得
AD'=AD,∠D'=
∠D, AD'=BC
∴
,∠D'=∠B.在△AD'F 和△CBF 中,{
∠AFD'=∠CFB,
∠D'=∠B,
AD'=CB,
∴△AD'F≌△CBF, AF=CF.
∴
设BF=x,则CF=AF=8-x,在Rt△CBF 中,根据勾股定理,得(8-
x)2=x2+42, x=
∴
3, AF=
∴
5,∴△AFC 的面积为1
2
AF×BC=1
2
×5×4=10.
16.5 或8 或25
8
【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形,AC=8 cm,BD=6
cm, AC
∴
⊥BD,AO=OC=4 cm,
BO=OD=3 cm,由勾股定理,得BC=AB=AD=CD=5 cm.分三种情况讨论:①如图1,当
PA=AB=5 cm 时,t=5÷1=5.②如图2,当点P 和点C 重合时,PB=AB=5 cm,PA=AC=8
cm, t=
∴
8÷1=8.③如图3,作AB 的垂直平分线交AC 于点P,连接PB,此时PB=PA,在Rt△BOP
中, BP
∵
2=BO2+OP2, AP
∴
2=32+(4-AP)2,解得AP=25
8
cm, t=
∴
25
8
÷1=25
8
.综上,t 的值为5 或8 或
25
8
.
17.【解析】 (1)(3√12-2√
1
3
+√48)÷2√3
=3√12÷2√3-2√
1
3
÷2√3+√48÷2√3
=3-1
3
+2
=42
3
.
(2)(2√3-1)
2+(√3
+2)(√3
-2)
=12+1-4√3+3-4
=12-4√3.
18.【解析】 ∵△ABD 是等边三角形,∴∠B=60°,
又∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,
AB=
∵
2, BC=
∴
2AB=4.
在Rt△ABC 中,由勾股定理,得AC=√BC
2- A B
2=2√3,
∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=2√3+4+2=6+2√3.
19.【解析】 (1)5 4 80.5
由题中数据,可知40≤x<80 的学生有5 人,120≤x<160 的学生有4 人,
所以a=5,b=4.
因为第10 个数据和第11 个数据分别为80,81,
所以c=80+81
2
=80.5.
(2)B
(3)根据题意,得400× 8
20
=160(人),
所以估计等级为“B”的学生约有160 人.
(4)根据题意,得80
320
×52=13(本),
所以估计该校学生每人一年(按52 周计算)平均阅读课外书约13 本.
20.【解析】 (1)设甲、乙两种水果的售价分别为x 元/kg、y 元/kg.
由题意,得{
x - y =15,
2 x +3 y =205,解得{
x =50,
y =35.
答:甲、乙两种水果的售价分别是50 元/kg、35 元/kg.
(2)因为甲种水果的进货量为x kg,所以乙种水果的进货量为(1 000-x)kg,
由题意,得y=(50-40)x+(35-20)(1 000-x)=-5x+15 000,
因为k=-5<0,所以y 随x 的增大而减小,
又x≥3(1 000-x),所以x≥750,
所以当x=750 时,y 取得最大值,最大值为11 250.
答:当x 为750 时,所获利润最大,最大利润为11 250 元.
21.【解析】 (1)MD=MC.
∵四边形ABCD 是矩形, AD=BC
∴
,∠A=∠B.
∵点M 是AB 的中点, AM=BM
∴
,
∴△DAM≌△CBM, MD=MC.
∴
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
AB=CD
∴
,AB∥CD.
∵点M,N 分别是AB,CD 的中点,
CN=DN=
∴
1
2
CD,AM=BM=1
2
AB,
DN=AM
∴
,DN∥AM,
∴四边形DAMN 是平行四边形, MN
∴
∥AD.
CE
∵
⊥AE,∴∠DEC=∠NFC=90°.
连接EN,则EN=NC,
EF=CF
∴
, MF
∴
是CE 的垂直平分线, ME=MC.
∴
(3)∠BME=3∠AEM.
由(2)知CN=BM=1
2
AB,CN∥BM,
∴四边形BCNM 是平行四边形.
AB=
∵
2BC, BM=BC
∴
,∴四边形BCNM 是菱形,
∴∠BMC=∠NMC.
MN
∵
∥AE,∴∠AEM=∠EMF.
ME=MC
∵
,MF⊥CE,∴∠EMF=∠FMC.
∴∠BME=3∠AEM.
22.【解析】 (1)FG=CE FG∥CE
如图1,设DE 与CF 交于点M.
∵四边形ABCD 是正方形,
BC=CD
∴
,∠ABC=∠DCE=90°.
在△CBF 和△DCE 中,{
BF =CE,
∠CBF =∠DCE,
BC =CD,
∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE.
∵∠BCF+∠DCM=90°,∴∠CDE+∠DCM=90°,
∴∠CMD=90°, CF
∴
⊥DE,
GE
∵
⊥DE, EG
∴
∥CF.
EG=DE
∵
,CF=DE, EG=CF
∴
,
∴四边形EGFC 是平行四边形,
FG=CE
∴
,FG∥CE.
(2)结论仍然成立.证明如下:
如图2,设DE 与CF 交于点N.
∵四边形ABCD 是正方形,
BC=CD
∴
,∠ABC=∠DCE=90°.
在△CBF 和△DCE 中,{
BF =CE,
∠CBF =∠DCE,
BC =CD,
∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE.
∵∠BCF+∠DCN=90°,∴∠CDE+∠DCN=90°,
∴∠CND=90°, CF
∴
⊥DE.
GE
∵
⊥DE, EG
∴
∥CF.
EG=DE
∵
,CF=DE, EG=CF
∴
,
∴四边形EGFC 是平行四边形.
FG=CE
∴
,FG∥CE.
(3)∵四边形ABCD 是正方形,
BC=CD
∴
,∠FBC=∠ECD=90°.
在△CBF 和△DCE 中,{
BF =CE,
∠CBF =∠DCE,
BC =CD,
∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE.
EG=DE
∵
, CF=EG.
∴
DE
∵
⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°.
∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠CDE=∠CEG,
∴∠BCF=∠CEG, CF
∴
∥EG,
∴四边形CEGF 是平行四边形,
FG
∴
∥CE,FG=CE,CF=EG=√5a.
在Rt△BCF 中,BF=√C F
2- BC
2=a,
CE=BF=FG=a
∴
,BE=3a,
∴S四边形BEGF=3a+a
2
·a=2a2.
