第十六章二次根式-2020-2021学年八年级数学下册单元能力提升检测（人教版）(28054189)_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

第十六章  二次根式
一、选择题(每题3 分,共30 分)
1.给出下列各式:①√π;②√a
2+b
2;③√a+5;④√-3 y(y≤0);⑤√m
2-1
;⑥√ab(a<0,b<0).其中一
定是二次根式的有
(　　) 
 
A.3 个
                        B.4 个
  
C.5 个
                        D.6 个
2.下列二次根式是最简二次根式的是(　　)
A.√
1
5
                         B.√0.5  
C.√5
                        D.√5
2
3.若二次根式√2 x +6有意义,则x 的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
4.下列计算正确的是
(　　)
A.√12÷√3=2           
B.5 √3×5 √2=5 √6
  
C.√3+√2=√5
   
D.√8-√2=2
5.若a,b 都是实数,b=√a-3+√3−a+8,则ab+1 的平方根为
(　　)
A.±5
                          B.-5
  
C.5                               D.±1
6.√11的整数部分是x,小数部分是y,则y(x+√11)的值为(　　)
A.3-√11           
B.9-3√11
  
C.-2                 
D.2
7.若√18 x+2√
x
2
+√2 x=10,则x 的值等于(　　)
A.4                         B.±4
  
C.2                 
D.±2
8.若x<1,且y=√( x -1)
2
x -1
+3,则y√3 y÷ 1
y
×
√
1
y
的值是
(　　)
A.1
3
 √3                         B.4√3
  
C.16√3
               
 D.64√3
9.甲、乙两人计算a+√1−2a+a
2的值,当a=5 时得到不同的答案,甲的解答是a+
√1−2a+a
2=a+√(1-a)
2=a+1-a=1;乙的解答是a+√1−2a+a
2=a+√(a-1)
2
=a+a-1=2a-1=9.下列判断正确的是
(　　)
A.甲、乙都对         
 B.甲、乙都错
  
C.甲对,乙错
   
D.甲错,乙对
10.对于任意的正数m,n,定义运算※:m※n={
√m-√n(m≥n),
√m+√n(m<n).
计算(3※2)×(8※12)的结果
为
(　　)
A.2-4√6             
B.2  
C.2√5
                    D.20
二、填空题(每题3 分,共18 分)
11.计算6√5-10√
1
5
的结果是　　　　. 
12.若√45与最简二次根式√2a-1可以合并,则a=　　　　. 
13.若实数x,y,z 满足√x -3+(y+√2)2+√z +√6=0,则xyz 的值是　　　　. 
14.规定运算:a􀱋b=|a-b|,其中a,b 为实数,则√7􀱋3+√7=　　　　. 
15.若0<a<1,a+1
a
=6,则代数式√a- 1
√a
的值为　　　　. 
16.观察下列各式:
√
1+ 1
1
2 + 1
2
2
=1+ 1
1×2
;
√
1+ 1
2
2 + 1
3
2
=1+ 1
2×3
;
√
1+ 1
3
2 + 1
4
2
=1+
1
3×4
;….请
利用你所发现的规律,计算
√
1+ 1
1
2 + 1
2
2
+
√
1+ 1
2
2 + 1
3
2
+
√
1+ 1
3
2 + 1
4
2
+…+
√
1+ 1
9
2 + 1
10
2
,其结
果为　　　　. 
三、解答题(共52 分)
17.(12 分)计算:
(1)(√6+√8)×√3÷3√2; 
(2)√48÷2√3-√27×√6
3
+4√
1
2
;
(3)√3(√2-√3)-√24-|√6-3|; 
  
(4)(√3-2√5)(√15+5)-(√10-√2)
2.
18.(6 分)如图,数轴上点P 表示的数为x.
(1)借助数轴判断下列各式的正负性:
x-
①2　　　　0;
x-
②3　　　　0;③2x-5　　　　0. 
(2)化简| x-2|-√( x -3)
2+√4 x
2-20 x +25
.
19.(8 分)先化简再求值:
(1)(√x+√y)2-(√x-√y)2,其中x=√6+√2,y=√6-√2;
(2)m
2-4m+ 4
m-1
÷( 3
m-1
-m-1),其中m=√2-2.
20.(8 分)如图,某居民小区有一块长方形绿地ABCD,长BC 为√243 m,宽AB 为√128 m,现要
在长方形绿地中修建一个长方形花坛(图中阴影部分),长方形花坛的长为(√14+1)m,宽为(
√14-1)m.
(1)长方形绿地ABCD 的周长是多少?
(2)除修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为5 元/m2的地砖,要铺完整
个通道,则购买地砖需要花费多少元?(结果化为最简二次根式)
  
21.(8 分)若a+b=2,则称a 与b 是关于1 的平衡数.
(1)3 与　　　　是关于1 的平衡数,5-√2与　　　　是关于1 的平衡数; 
(2)若(m+√3)×(1-√3)=-5+3√3,判断m+√3与5-√3是否是关于1 的平衡数,并说明理由
.
22.(10 分)小明在学习完二次根式后有了新发现:
发现(一):在实数范围内进行因式分解,如x2-5=x2-(√5)2=(x+√5)(x-√5).
发现(二):一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2.
善于思考的小明还进行了以下探索:设a+b√2=(m+n√2)2(其中a,b,m,n 均为整数),则有a+b
√2=m2+2n2+
2mn√2,所以a=m2+2n2,b=2mn.
(1)因式分解:x2-2=　　　　　. 
(2)仿照小明发现(二)的探索方法解决下列问题:
①因式分解:4+2√3=　　　　　; 
②若a+4√3=(m+n√3)2,且a,m,n 均为正整数,求a 的值.
参考答案
1.B　【解析】　根据二次根式的概念,知①②④⑥一定是二次根式.故选B.
2.C　【解析】　因为√
1
5
=√5
5 ,√0.5=√
1
2
=√2
2 ,√5
2=5,所以A,B,D 不是最简二次根式.故选
C.
3.C　【解析】　根据题意,得2x+6≥0, x
∴≥-3,结合选项,知选C.
4.A　【解析】　√12÷√3=√
12
3
=√4=2,故A 正确;5 √3×5 √2=25 √3×2=25√6,故B 错
误;√3与√2不能合并,故C 错误;√8-√2=2 √2-√2=√2,故D 错误.故选A.
5.A　 【解析】　由题意,知a-3≥0 且3-a≥0, a=
∴
3, b=
∴
8,
ab+
∴
1=25, ab+
∴
1 的平方根为±5.故选A.
6.D　【解析】　因为3<√11<4,所以x=3,y=√11-3,所以y(x+√11)=(√11-3)×(3+√11)=11-
9=2.故选D.
7.C　【解析】　因为√18 x+2√
x
2
+√2 x=3√2 x+2×√2 x
2
+√2 x=10,所以5√2 x=10,所以
√2 x=2,所以x=2.故选C.
8.B　【解析】　因为x<1,所以y=-( x -1)
x -1
+3=-1+3=2,所以y√3 y÷ 1
y ×√
1
y
=2√6÷1
2×√
1
2
=4√6×√2
2
=4√3.故选B.
9.D　【解析】　a+√1−2a+a
2=a+√(1-a)
2=a+|1-a|,当a=5 时,1-a<0,所以原式
=a+a-1=2a-1=9,所以甲错,乙对.故选D.
10.B　【解析】　(3※2)×(8※12)=(√3-√2)×(√8+√12)=(√3-√2)×2(√2+√3)=2.故选B.
11.4√5　【解析】　6√5-10√
1
5
=6√5-10×√5
5 =6√5-2√5=4√5.
12.3　【解析】　√45=3√5,因为√45与最简二次根式√2a-1可以合并,所以2a-1=5,所以
a=3.
13.6√3　【解析】　由于√x -3+(y+√2)2+√z +√6=0,所以x-3=0,y+√2=0,z+√6=0,解得
x=3,y=-√2,
z=-√6,所以xyz=3×(-√2)×(-√6)=6√3.
14.3　【解析】　由题意,可知√7􀱋3+√7=|√7-3|+√7=3-√7+√7=3. 
15.-2　【解析】　∵0<a<1,∴√a- 1
√a
<0. a
∵+1
a
=6,∴(√a- 1
√a
)2=a-2+1
a
=4,∴√a- 1
√a
=-2.
16.99
10
　【解析】　由题意,得
√
1+ 1
1
2 + 1
2
2
+
√
1+ 1
2
2 + 1
3
2
+
√
1+ 1
3
2 + 1
4
2
+…+
√
1+ 1
9
2 + 1
10
2
=1+ 1
1×2
+1+ 1
2×3
+1+
1
3×4
+…+1+
1
9×10
=9+(1-1
2
+1
2
-1
3
+1
3
-1
4
+…+1
9
- 1
10
)=9+1- 1
10
=
99
10
.
17.【解析】　(1)(√6+√8)×√3÷3√2
=(√18+√24)÷3√2
=(3√2+2√6)÷3√2
=1+2√3
3
.
(2)√48÷2√3-√27×√6
3
+4√
1
2
=4√3× 1
2√3
-3√3×√6
3
+4×√2
2
 
=2-√18+2√2
=2-3√2+2√2
=2-√2.
(3)√3(√2-√3)-√24-|√6-3|
=√6-3-2√6-(3-√6)
=√6-3-2√6-3+√6
=-6.
(4)(√3
-2 √5
)(√15
+5)-(√10-√2)
2
=√45+5 √3-2 √75-10√5-(10-2√20+2)
=3 √5+5 √3-10√3-10√5-10+4√5-2
=-3 √5-5 √3-12.
18.【解析】　(1)
<
①;
<
②;
<
③
(2)|x-2|-√( x -3)
2+√4 x
2-20 x +25
=2-x-(3-x) +√(2 x -5)
2
=2-x-3+x+(5-2x) 
=2-x-3+x+5-2x
=4-2x.
19.【解析】　(1)(√x+√y)2-(√x-√y)2
=x+2√xy+y-(x-2√xy+y) 
=4√xy.
当x=√6+√2,y=√6-√2时,
原式=4√(√6+√2)(√6-√2)=4×2=8.
(2)m
2-4m+ 4
m-1
÷( 3
m-1
-m-1)
=(m-2)
2
m-1
÷3−m
2+1
m-1
=(m-2)
2
m-1
÷(2+m)(2-m)
m-1
=(m-2)
2
m-1
×
m-1
(2+m)(2-m)
=2−m
2+m
.
当m=√2-2 时,原式=2−√2+2
2+√2-2
=4−√2
√2
=2√2-1.
20.【解析】　(1)2×(√243+√128)=2×(9 √3+8 √2)=(18√3+16√2)(m),
故长方形绿地ABCD 的周长为(18 √3+16 √2)m.
(2)5×[√243×√128-(√14-1)×(√14+1)]
=5×(9 √3×8 √2-13) 
=5×(72 √6-13)
=(360 √6-65)(元),
故购买地砖需要花费(360 √6-65)元.
21.【解析】　(1)-1　-3+√2
(2)不是.理由如下:
∵(m+√3)×(1-√3)=m-m√3+√3-3,
m-m
∴
√3+√3-3=-5+3 √3,
m-m
∴
√3=-2+2 √3,
m
∴(1-√3)=-2(1-√3),
m=-
∴
2.
m+
∴
√3+(5-√3)=-2+√3+5-√3=3,
m+
∴
√3与5-√3不是关于1 的平衡数.
22.【解析】　(1)(x+√2)(x-√2)
(2) ①(1+√3)2
a+
②
4√3=(m+n√3)2 =m2+3n2+2mn√3,
∴2mn=4, mn=
∴
2.
a
∵,m,n 均为正整数, mn=
∴
1×2 或mn=2×1,
即m=1,n=2 或m=2,n=1.
当m=1,n=2 时,a=m2+3n2=13;
当m=2,n=1 时,a=m2+3n2=7.
故a 的值为13 或7.