文档文本内容
用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）
【学习目标】
1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；
2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；
3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问
题抽象成数学问题的能力.
【要点梳理】
要点一、基本作图
1.尺规作图的定义
利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.
要点诠释：
尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一
起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个
任意的长度.
2.常见基本作图
常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；
3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.
要点诠释：
1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.
第3、4 条基本作图，在第5 章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.
要点二、三角形全等的实际应用
在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.
【典型例题】
类型一、基本作图
1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a
b
﹣．
（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）
已知：
求作：
结论：
【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．
【答案与解析】
解：已知：线段a、b，
求作：线段AC，使线段AC=2a
b
﹣．
【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相
减在较长的线段上截去．
第1页 共5页
举一反三：
【变式】作图：把∠AOB 四等分（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】
类型二、作三角形
2、已知∠α 和线段a 和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分
别为a 和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）
已知：
求作：
【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C 为圆心，以a 长为半径画弧，与边BC 相交于点B，
再以点C 为圆心，以b 的长为半径画弧与CA 相交于点A，连接AB 即可得解．
【解析】
解：已知：∠α，线段a，b，
求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，
如图所示，△ABC 即为所求作的三角形．
第2页 共5页
【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线
段，都是基本作图，需熟练掌握．
举一反三：
【变式】已知∠α 及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α 和
，且两角的夹边为
b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）
已知：
求作：
结论：
【答案】
解：已知：∠α，线段b；
求作：△ABC，使得∠B=α，∠C= α，BC=b．
结论：如图，△ABC 为所求．
第3页 共5页
类型三、三角形全等的实际应用
３、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD 三段
路旁各有一只小石凳E、M、F，M 恰好为BC 的中点，且E、F、M 在同一直线上，在BE 道路上
停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其
中的道理．
【思路点拨】先根据SAS 判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE 之间的距离相
当于测量CF 之间的距离．
【答案与解析】
解：能．
证明：连接EF
∵AB∥CD，（已知）
∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．
∵M 是BC 中点
∴BM=CM，
在△BEM 和△CFM 中，
∴△BEM≌△CFM（SAS）．
∴CF=BE（对应边相等）．
【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．
举一反三
【变式】要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C，D，使
CD=BC，再定出BF 的垂线DE，使A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明
△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当
的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
【答案】B；
第4页 共5页
4、如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以再AB 的垂直线BF 上取两点
C，D．使BC=CD，再画出BF 的垂直线DE，使E 与A，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就
是AB 的长．它的理论依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
【思路点拨】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要
根据已知选择判断方法．
【答案与解析】
解：∵在Rt△ABC 和Rt△EDC 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB=ED．
故选C．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地
借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，
根据已知选择方法．
举一反三
【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四
块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带
（ ）
A.第4 块 B. 第3 块 C. 第2 块 D.第1 块
【答案】C；
第5页 共5页
