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线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中
垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB 的垂直平分线.
作法：
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于2
1
AB 的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD，CD 即为所求直线．
要点诠释：
(1)作弧时的半径必须大于2
1
AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．
(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.
要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方
法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见
线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构
造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看
作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
要点诠释:
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1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在
斜边上，与斜边中点重合.
3.外心到三顶点的距离相等.
要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画
图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般
不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.
【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
1.如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的AB 的长为半径画孤，两弧相交
于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（
）
A、7
B、14 C、17
D、20
【思路点拨】首先根据题意可得MN 是AB 的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC 的周长为
10，求得AC+BC 的长，则可求得△ ABC 的周长．
【答案】C ；
【解析】∵在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的AB 的长为半径画孤，两弧相交于点
M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD．
∴MN 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC 的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC 的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结
合思想的应用．
举一反三：
【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．
已知：线段AB，要作线段AB 的垂直平分线．
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作法：（1）分别以A、B 为圆心，大于 1
2 AB 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；
（2）作直线CD．
直线CD 即为所求作的线段AB 的垂直平分线．
根据上述作法和图形，先填空，再证明．
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=___=___．
求证：CD⊥AB，CD 平分AB．
证明：
【答案】
已知：如图，连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=BC=BD． 求证：CD⊥AB，CD 平分AB．
证明：设CD 与AB 交于点E．
∵在△ACD 和△BCD 中，
,
AC
BC
AD
BD
CD
CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
∴∠1=∠2．
∵AC=BC，
∴△ACB 是等腰三角形．
∴CE⊥AB，AE=BE．
即 CD⊥AB，CD 平分AB．
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2. 如图，已知线段AB，分别以A、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧相交于点C、
Q，连接CQ 与AB 相交于点D，连接AC，BC．那么：
（1）∠ADC=
_________
度；
（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30 度，△ABC 的面积等于
___
（面积单位）．
【思路点拨】利用线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点计算．
【答案】（1）90°； （2）4 3 .
【解析】（1）△ABC，△AQB 中，AC=AQ，BC=BQ，AB=AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB=∠QAB，
根据等腰三角形性质，我们可知：
AD 是等腰△ACQ 底边的高、中线和顶角的平分线．
∴∠ADC=90°．
（2）AC=AB，∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形．
CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD=30°．
CD=
2
2
1
(
)
16
4
2 3
2
BC
BC
.
【总结升华】本题运用了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和勾股定理等知识点，虽然
知识点比较多，但只要找准所求与已知的关系，本题并不难解．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，已知BC=7，AC=16，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，求
△BEC 的周长．
【答案】∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴BE+EC=AE+EC=AC．
∴△BEC 的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23．
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要点二、线段的垂直平分线的逆定理
3.已知，如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点D，点M、N 分别是AB、BC 边的中点．求证：直线
MN 是线段BD 的垂直平分线．
【思路点拨】先连接DM、DN，由于BD⊥AC，那么∠ADB=90°，于是在Rt△ADB 中，M 是AB 的中点，
可得DM= 1
2 AB=BM，可证M 在线段BD 垂直平分线上，同理可证N 线段BD 垂直平分线上，从而
可知MN 是BD 垂直平分线．
【答案与解析】证明：如图所示，连接DM、DN，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB 中，M 是AB 的中点，
∴DM= 1
2 AB=BM，
又在Rt△BDE 中，N 是BC 的中点，
∴DN= 1
2 BC=BN，
∴MN 是线段BD 的垂直平分线．
【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．解题的关
键是连接DM、DN．
类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
4.（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P 为△ABC 的准外心．
应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD= 1
2 AB，求∠APB 的度数．
探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．
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【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况
利用等边三角形的性质求出PD 与AB 的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰
直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB 的度数；
探究：先根据勾股定理求出AC 的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB
三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
【答案与解析】
应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD 为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=
3
3
DB=
3
6
AB，
与已知PD= 1
2 AB 矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD= 1
2 AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，
2
2
2
2
5
3
4
AC
BC
AB
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，
∴x= 7
8 ，即PA= 7
8 ，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB 中，不可能．
故PA=2 或7
8 ．
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【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚
准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，AC 的垂直平分线分别交AC、BC
于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.
【答案】40°；
解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°-∠BAC，即x+y=70°①，
∵DE、GF 分别是AB、AC 的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠BAE=∠B=x，∠CAG=∠C=y，
∵∠BAE+∠CAG+∠EAC=∠BAC，
∴x+y+∠EAC=110°②，
联立①②得，∠EAC=110°-70°=40°．
故答案为：40°．
要点四、尺规作图
5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC 的外心坐标是 (_____________).
【思路点拨】可分别作BC 与AB 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G 即为△ABC 的
外心，继而可求得答案．
【答案与解析】
分别作BC 与AB 的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，
则点G 即为△ABC 的外心，
∴△ABC 的外心坐标是（-2，-1）．
故答案为：（-2，-1）．
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【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合
思想的应用．
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