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考点突破练3 三角函数与解三角形
1.(2023 安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=√3sin ωxcos ωx+cos2ωx-1
2(ω>0).
(1)若ω=1,求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象在区间(0,π
4 )内有且仅有一条对称轴,求f(π
8 )的取值范围.
2.(2023 福建福州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b
2+c
2-a
2
sin B
= a
2+c
2-b
2
sin A
.
(1)证明:A=B;
(2)若D 为BC 的中点,从①AD=4,②cos C=1
4 ,③CD=2 这三个条件中选取两个作为条件证明另外一
个成立.
3.(2023 山东潍坊模拟)如图,P 为半圆(AB 为直径)上一动点,OA⊥OB,OA=√3,OB=1,记∠BAP=θ.
(1)当θ=15°时,求PO 的长;
(2)当△APO 周长最大时,求θ.
4.(2023 湖南长沙模拟)如图,在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足√3c
acos B +tan B=√3.
2
(1)求A;
(2)在△ABC 所在平面上存在点E,连接BE,CE,若EC=√3AC,∠ACE=∠A,∠EBC=30°,BC=2,求△ABC
的面积.
5.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园.如图,MN 为该城区内河段的一部分,现有
两种设计方案,方案一的设计为△AMN 区域,方案二的设计为△BMN 区域,经测量,AM=AN=700 米,
BM=500 米,BN=800 米,∠A=∠B.
(1)求MN 的长度.
(2)若市民公园建设每平方米的造价为80 元,不考虑其他因素,要使费用较低,该选哪个方案?说明理由,
并求出造价为多少?(参考数据:√3≈1.732)
6.(2023 浙江湖州、衢州、丽水二模)在锐角三角形ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,满足
sin A
sinC -1=sin
2 A - sin
2C
sin
2B
,且A≠C.
(1)求证:B=2C;
(2)已知BD 是∠ABC 的平分线,若a=4,求线段BD 长度的取值范围.
3
考点突破练3 三角函数与解三角形
1.解 (1)f(x)=√3sin ωxcos ωx+cos2ωx-1
2 = √3
2 sin 2ωx+1+cos2ωx
2
- 1
2 = √3
2 sin 2ωx+1
2cos
2ωx=sin(2ωx+π
6 ).
由ω=1,得f(x)=sin(2x+π
6 ),则T=2π
2 =π.
(2)由x∈(0,π
4 ),得2ωx+π
6 ∈(π
6 , π
2 ω+π
6 ),
因为y=f(x)的图象在区间(0,π
4 )内有且仅有一条对称轴,所以π
2 < π
2 ω+π
6 ≤3 π
2 ,解得2
3<ω≤8
3.
因为f(π
8 )=sin(π
4 ω+π
6 ),且π
3 < π
4 ω+π
6 ≤5 π
6 ,所以1
2≤sin(π
4 ω+π
6 )≤1,所以f(π
8 )的取值范围是[1
2
,1].
2.(1)证明 已知b
2+c
2-a
2
sin B
= a
2+c
2-b
2
sin A
,由余弦定理可得2bc cos A
sin B
= 2ac cos B
sin A
,即
bcos A
sin B = acos B
sin A .
又由正弦定理
b
sin B =
a
sin A ,得cos A=cos B.
因为A,B 均为△ABC 中内角,所以A=B.
(2)解 在△ABC 中,A=B,D 为BC 的中点,如图所示.
①②⇒③
由(1)知,AC=BC,
则AC=2CD.在△ACD 中,cos C= A C
2+C D
2- A D
2
2 AC ·CD
= 4C D
2+C D
2-16
4C D
2
= 1
4 ,解得CD=2.
①③⇒②
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4,所以在△ACD 中,
cos C= A C
2+C D
2- A D
2
2 AC ·CD
= 16+ 4 -16
2×4×2 = 1
4 .
②③⇒①
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4.在△ACD 中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C=16+4-
2×4×2×1
4 =16,所以AD=4.
3.解 (1)在△ABO 中,OA⊥OB,OA=√3,OB=1,则AB=2,
∴∠BAO=30°,∠ABO=60°,且O 在以AB 为直径的圆上,
∴∠APO=60°.
在△APO 中,∠PAO=45°,OA=√3,
由正弦定理,得
OP
sin 45° =
OA
sin60°,解得OP=√2.
(2)在△APO 中,∠APO=60°,OA=√3,
由余弦定理,得OA2=PA2+PO2-2PA·POcos∠APO,即PA2+PO2-PA·PO=3,
4
∴(PA+PO)2-3PA·PO=3,∴3PA·PO=(PA+PO)2-3≤3(PA + PO
2
)2,当且仅当PA=PO=√3时,等号成
立,
∴(PA+PO)2≤12,∴PA+PO≤2√3.
故当PA=PO 时,△APO 周长最大,此时∠PAO=60°,
∴θ=60°-30°=30°.
4.解 (1)在△ABC 中,由√3c
acos B +tan B=√3,
得√3c=√3acos B-asin B.
由正弦定理,得√3sin C=√3sin Acos B-sin Asin B.
因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
因此√3sin(A+B)=√3sin Acos B-sin Asin B,
即√3cos Asin B=-sin Asin B,
而0°<A<180°,0°<B<180°,则sin B≠0,
故√3cos A=-sin A,
显然cos A≠0,则tan A=-√3,故A=120°.
(2)令∠ABC=α,四边形内角和为360°,由(1)的结论知,E=90°-α.在△ABC 中,由正弦定理得,
BC
sin A = AC
sin α ,
则AC=4√3
3
sin α.
在△BCE 中,
EC
sin ∠CBE = BC
sin E ,则EC=2× 1
2
sin E =
1
sin(90°-α ) =
1
cosα
.
又EC=√3AC,则4sin α=
1
cosα ,即2sin 2α=1,
得sin 2α=1
2.
因为A=120°,A+α+∠ACB=180°,则0<α<60°,故2α=30°,即α=15°.
又sin α=sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=√6-√2
4
,
因此AC=4√3
3
sin α=3√2-√6
3
.又∠ACB=45°,
所以△ABC 的面积S△ABC=1
2AC·BCsin 45°=1
2 × 3√2-√6
3
×2×√2
2 = 3-√3
3
.
5.解 (1)在△AMN 中,由余弦定理得cos A= A M
2+ A N
2- M N
2
2 AM · AN
= 490 000+ 490 000- M N
2
2×700×700
.
在△BMN 中,由余弦定理得
cos B=B M
2+ B N
2- M N
2
2BM ·BN
= 250 000+640 000- M N
2
2×500×800
.
由∠A=∠B,得cos A=cos B,
故490 000+ 490 000- M N
2
2×700×700
= 250 000+640 000- M N
2
2×500×800
,解得MN=700,故MN 的长度为
700 米.
(2)方案二的设计符合要求.理由如下:
因为S△AMN=1
2·AM·AN·sin A=245 000sin A,
5
S△BMN=1
2·BM·BN·sin B=200 000sin B.又sin A=sin B,所以S△AMN>S△BMN.
故选择方案二的设计,建设市民公园的费用较低.
因为AM=AN=MN=700 米,所以△AMN 是等边三角形,则∠A=∠B=60°,
所以S△BMN=1
2·BM·BN·sin B=100 000√3≈173 200 平方米,所以总造价为80×173 200=13 856 000
元.
故方案二符合要求,最低造价为13 856 000 元.
6.(1)证明 由题意得,sin A -sinC
sinC
= sin
2 A - sin
2C
sin
2B
,即
1
sinC = sin A +sinC
sin
2B
.由正弦定理得,
b2=c2+ac.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
所以c=a-2ccos B,即sin C=sin A-2sin Ccos B,
故sin C=sin(B+C)-2sin Ccos B,
整理得sin C=sin(B-C).
又△ABC 为锐角三角形,则C∈(0,π
2 ),B∈(0,π
2 ),B-C∈(-π
2 , π
2 ),所以C=B-C,即B=2C.
(2)解 在△BCD 中,由正弦定理得,
a
sin∠BDC = BD
sinC ,所以
4
sin∠BDC = BD
sinC ,所以BD=
4 sinC
sin ∠BDC = 4 sinC
sin 2C =
2
cosC .
因为△ABC 为锐角三角形,且B=2C,
所以{
0<C < π
2 ,
0<2C < π
2 ,
0<π -3C < π
2 ,
解得π
6 <C<π
4 .
故√2
2 <cos C<√3
2 ,所以4√3
3
<BD<2√2.
因此线段BD 的长度的取值范围为(4√3
3
,2√2).
