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1．(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC 的面积为2.
(1)求A 到平面A1BC 的距离；
(2)设D 为A1C 的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD 与平面BCD 夹角
的正弦值．
2. 如图，四棱锥P－ABCD 的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，M 是PC 的中点，PA＝AB.
(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)设直线AM 与平面PBD 交于O，求证：AO＝2OM.
3. 如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC
＝90°，E，F 分别为PB，AB 的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求点B 到平面PCF 的距离．
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4. (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC
的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面
ABD 所成的角的正弦值．
5．(2023·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E 为
AB 的中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几
何体中解答下列问题．
(1)证明：AC⊥DE；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值．
①四棱锥A－BCDE 的体积为2；
②直线AC 与EB 所成角的余弦值为.
6. (2022·连云港模拟)如图，在三棱锥A－BCD 中，△ABC 是正三角形，平面ABC⊥平面
BCD，BD⊥CD，点E，F 分别是BC，DC 的中点．
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(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；
(2)若∠BCD＝60°，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面AEG 与平面
ACD 的夹角最小．
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