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专题六
数列
第十五讲
等差数列
2019
年
1.（2019
1
9
全国
理）记
n
S 为等差数列{
}
na
的前
项和．已知
n
4
5
0
5
S
a
=
=
，
，则
A．
2
5
na
n
=
−
B．
3
10
n
a
n
=
−
C．
2
2
8
n
S
n
n
=
−
D．
2
1
2
2
n
S
n
n
=
−
2.（2019 全国3 理14）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，
1
2
1
0
3
a
a
a
=
≠，
，则
10
5
S
S
=___________.
3. （
）已知数列
2019 江苏8
*
{ }(
)
na
nN
是等差数列，
n
S
是其前
项和
n
. 若
2
5
8
9
0,
27
a a
a
S
+
=
=
，则
8
S 的值是 .
4.
2019
（
北京理10）设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
5
3
10
a
S
= −
= −
，
,则
5 a =
________ . n
S 的最小值为_______.
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)记
nS 为等差数列{
}
na
的前n 项和，若
3
2
4
3S
S
S
=
+
，
1
2
a =
，则
=
5a
A．12
−
B
．10
−
C
．10
D
．12
2
2017
．（
新课标Ⅰ）记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和．若
4
5
24
a
a
+
=
，
6
48
S =
，则{
}
na
的公差为
A
1 B
2 C
4 D
8
．
．
．
．
3
2017
．（
新课标Ⅲ）等差数列{
}
n
a
的首项为，公差不为
1
0．若
2a ，
3a ，
6a 成等比数列，
则{
}
n
a
前
项的和为
6
A．−
24 B．
−
3
C
3
．
D
8
．
4
2017
．（
浙江）已知等差数列
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，则“ 0
d
”是
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“
4
6
5
+
2
S
S
S
”的
A
．
充分不必要条件
．
必要不充分条件
B
C
D
．
充分必要条件
．既不充分也不必要条件
5
2016
I
．（
年全国）已知等差数列{
}
n
a
前
项的和为
，
9
27
10=8
a
，则
100=
a
A
100
B
99
C
98 D
．
．
．
．97
6．（2015 重庆）在等差数列
na
中，若
2
4
4,
2
a
a
=
=
，则
6a ＝
A
1 B
0 C
1 D
6
．－
．
．
．
7
2015
．（
浙江）已知{
}
n
a
是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是
n
S ．若
3
4
8
,
,
a a a 成等比
数列，则
A．
1
4
0,
0
a d
dS
B．
1
4
0,
0
a d
dS
C．
1
4
0,
0
a d
dS
D．
1
4
0,
0
a d
dS
8
2014
．（
辽宁）设等差数列{
}
na
的公差为d ，若数列
1
{2
}
n
a a
为递减数列，则
A． 0
d
B．
0
d
C．
1
0
a d
D．
1
0
a d
9
2014
．（
福建）等差数列{
}
n
a
的前n 项和
n
S ，若
1
3
2,
12
a
S
=
=
，则
6 a =
A
8 B
10 C
12 D
．
．
．
．14
10．（ 2014 重庆）在等差数列{
}
na
中，
1
3
5
2,
10
a
a
a
=
+
=
，则
7 a =
A．5
B．
8 C．
10
D．
14
11．（2013 新课标Ⅰ）设等差数列{
}
n
a
的前
项和为
n
n
S ，
1
m
S
−＝－2，
m
S ＝，
0
1
m
S
+ ＝，
3
则m ＝
A
3
B
4
C
5
D
6
．
．
．
．
12．（2013 辽宁）下面是关于公差 0
d
的等差数列{
}
n
a
的四个命题：
1 :
n
p
a
数列
是递增数列；
2 :
n
p
na
数列
是递增数列；
3 :
na
p
n
数列
是递增数列；
4 :
3
n
p
a
nd
+
数列
是递增数列；
其中的真命题为
A．
1
2
,
p
p
B．
3
4
,
p
p
C．
2
3
,
p
p
D．
1
4
,
p
p
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13．（ 2012 福建）等差数列
na
中，
1
5
10
a
a
+
=
,
4
7
a =
，则数列
na
的公差为
A
1 B
2 C
3 D
4
．
．
．
．
14．（ 2012 辽宁）在等差数列
na
中，已知
4
8
+
=16
a
a
，则该数列前
项和
11
11=
S
A
58 B
88
C
143 D
．
．
．
．176
15．（ 2011 江西）设{
}
na
为等差数列，公差
2
d = −,
n
S 为其前n 项和，若
10
11
S
S
=
，
则
1 a =
A
18
B
20
C
22 D
．
．
．
．24
16．（ 2011 安徽）若数列
na
的通项公式是
1
2
10
( 1) (3
2),
n
n
a
n
a
a
a
= −
−
+
+
+
=
则
A
15 B
12 C
．
．
．
−
D．
−
17．（2011 天津）已知
na
为等差数列，其公差为2
−
，且
7a 是
3a 与
9a 的等比中项，
n
S 为
na
的前n 项和，
*
n
N
，则
10
S 的值为
A．－110
B
C
D
110
．－90
．90
．
18．（ 2010 安徽）设数列{
}
na
的前n 项和
2
nS
n
=
，则
8a 的值为
A
15 B
16 C
49 D
．
．
．
．64
二、填空题
19．(2018
)
北京设{
}
na
是等差数列，且
1
3
a =
，
2
5
36
a
a
+
=
，则{
}
na
的通项公式为
．
___
20．(2018
)
上海记等差数列{
}
na
的前几项和为
n
S ，若
3
0
a =
，6
7
14
a
a
+
=
，则
7S
= ．
21．（ 2017 新课标Ⅱ）等差数列{
}
n
a
的前n 项和为
n
S ，
3
3
a =
，
4
10
S =
，则
1
1
n
k
kS
=
=
．
22．（
广东）在等差数列
2015
na
中，若
3
4
5
6
7
25
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
，则
2
8
a
a
+
=
．
23．（ 2014 北京）若等差数列
na
满足
7
8
9
0
a
a
a
+
+
，
7
10
0
a
a
+
，则当 n =__时
na
的前n项和最大．
24．（ 2014 江西）在等差数列
na
中，
7
1 =
a
，公差为d ，前n 项和为
n
S ，当且仅当
8
=
n
时
n
S 取最大值，则d 的取值范围_________
．
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25．（ 2013 新课标）等差数列
2
na
的前n 项和为
n
S ，已知
10
0
S
=
，
15
25
S
=
，则
n
nS 的
最小值为____.
26．（2013 广东）在等差数列
na
中,已知
3
8
10
a
a
+
=
, 则
5
7
3a
a
+
=_____．
27．（ 2012 北京）已知{
}
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和．若1
1
2
a =
，
2
3
S
a
=
，
则
2 a =
；
n
S
= .
28．（2012 江西）设数列
{
},{ }
n
n
a
b
都是等差数列，若
1
1
7
a
b
+
=
，
3
3
21
a
b
+
=
，则
5
5
a
b
+
= ___________．
29．（ 2012 广东）已知递增的等差数列{
}
n
a
满足
1
1
a =
，
2
3
2
4
a
a
=
−
，则
na =____
．
30．（ 2011 广东）等差数列{
}
n
a
前
项的和等于前
项的和．若
9
4
1
1
a =
，
4
0
ka
a
+
=
，
则k=_________．
三、解答题
31．（2018 全国卷Ⅱ）记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和，已知
1
7
= −
a
，
3
15
= −
S
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求
n
S ，并求
n
S 的最小值．
32．（2017 北京）设{
}
na
和{ }
nb
是两个等差数列，记
1
1
2
2
max{
,
,
,
}
n
n
n
c
b
a n b
a n
b
a n
=
−
−
−
(
1,2,3,
)
n =
，
其中
1
2
max{ ,
,
,
}
s
x x
x
表示
1
2
,
,
,
s
x x
x
这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若
na
n
=
，
2
1
nb
n
=
−，求
1
2
3
,
,
c c c 的值，并证明{ }
nc
是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n
m
≥
时，
nc
M
n
；或者存在
正整数m ，使得
1
2
,
,
,
m
m
m
c
c
c
+
+ 是等差数列．
33．（ 2016 年山东高考）已知数列
na
的前n 项和
2
3
8
n
S
n
n
=
+
，
nb
是等差数列，且
1.
n
n
n
a
b
b +
=
+
（Ⅰ）求数列
nb
的通项公式；
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（Ⅱ）令
1
(
1)
.
(
2)
n
n
n
n
n
a
c
b
+
+
=
+
求数列
nc
的前n 项和Tn.
34．
（2016 年天津高考）已知
na
是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的
*
N
n
，
nb 是
na 和
1
na + 的等差中项．
(Ⅰ)设
2
2
*
1
,
N
n
n
n
c
b
b n
+
=
−
，求证：数列
nc
是等差数列；
(Ⅱ)设
(
)
2
2
*
1
1
,
1
,
N
n
k
n
k
k
a
d T
b n
=
=
=
−
，求证：
2
1
1
1 .
2
n
k
kT
d
=
35．（ 2015 四川）设数列{
}
na
的前n 项和
1
2
n
n
S
a
a
=
−
，且
1
2
3
,
1,
a a
a
+
成等差数列
（）求数列
1
{
}
na
的通项公式；
（）记数列
2
1
{
}
na
的前n项和
nT ，求得
1
|
1| 1000
n
T −
成立的n 的最小值。
36．(
)
2015 湖北设等差数列{
}
na
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，等比数列{ }
n
b
的公比为q ．已
知
1
1
b
a
=
，
2
2
b =
，q
d
=
，
10
100
S
=
．
(Ⅰ)求数列{
}
na
，{ }
n
b
的通项公式；
(Ⅱ)当 1
d 时，记
n
n
n
a
c
b
=
，求数列{ }
nc
的前n 项和
nT ．
37．（ 2014 新课标）已知
1
na
是递增的等差数列，
2a ，
4a 是方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
的根．
(
)
Ⅰ求
na
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
2
n
n
a
的前n 项和．
38．(2014
{
新课标1)已知数列
na }的前n项和为
n
S ，
1a =1，
0
n a
，
1
1
n
n
n
a a
S
+ =
−，其
中为常数．
(
)
Ⅰ证明：
2
n
n
a
a
+ −
=
；
（Ⅱ）是否存在，使得{
na }为等差数列？并说明理由．
39．（ 2014 浙江）已知等差数列{
}
na
的公差 0
d
，设{
}
na
的前
项和为
n
n
S ，
1
1
a = ，
2
3
36
S
S
=
．
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（Ⅰ）求d 及
nS ；
（Ⅱ）求,
m k （
*
,
m k
N
）的值，使得
1
2
65
m
m
m
m k
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
=
．
40．（2013新课标）已知等差数列
1
{
}
na
的前n 项和
n
S 满足
3
0
S = ，
5
5
S = −．
（）求
Ⅰ
{
}
na
的通项公式；
（）求数列
Ⅱ
2
1
2
1
1
{
}
n
n
a
a
−
+
的前n 项和．
41．（ 2013 福建）已知等差数列{
}
n
a
的公差 1
d =
，前n项和为
n
S ．
（）若
Ⅰ
1
3
1,
,
a a 成等比数列，求
1a ；
（Ⅱ）若
5
1
9
S
a a
，求
1a 的取值范围．
42．（
新课标）已知等差数列
2013
2
{
}
na
的公差不为零，
1
25
a =
，且
1a ，
11
a
，
13
a
成等比
数列．
（）求
Ⅰ
{
}
n
a
的通项公式；
（）求
Ⅱ
1
4
7
3
2
+
n
a
a
a
a
−
+
++
．
43．（
）设等差数列
2013 山东
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
2
4
S
S
=
，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ ．
（Ⅰ）求数列
na
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
nb
的前n 项和
nT ,且
1
2
n
n
n
a
T
+
+
=
（为常数），令
λ
2
n
n
c
b
=
（
*
nN ）．求
数列
nc
的前n 项和
n
R ．
44．（ 2011 福建）已知等差数列
na
中，
1a =1，
3
3
a = −．
（）求数列
Ⅰ
na
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
na
的前k 项和
35
k S = −
，求k 的值．
45．（2010 浙江）设
1a ，d为实数，首项为
1a ，公差为d 的等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
满足
5
6
S S +15=0．
（Ⅰ）若
5S =5，求
6S 及
1a ；
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（Ⅱ）求d 的取值范围．
