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第2 节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐
标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平
面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1
＋
λ 2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋
x 2，
y 1＋
y 2)，a－b＝( x 1－
x 2，
y 1－
y 2)，λa＝( λx
1，
λy
1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－
x 1，
y 2－
y 1)，|AB|＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－
x 2y1＝
0 .
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a 与b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的
向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1
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1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)设a，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2 满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件可以表示成＝.( )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.(2022·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b|＝10，则
向量b 的坐标为( )
A.
B.(－6，8)
C.
D.(6，－8)
答案 D
解析 因为向量b 与a 方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|
＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若 A，
B，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )
A.－2
B.
C.1
D.－1
答案 ABD
解析 各选项代入验证，若A，B，C 三点不共线即可构成三角形.因为AB＝OB
－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)
＝(m，m＋1).假设A，B，C 三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只
要m≠1，A，B，C 三点就可构成三角形，故选ABD.
4.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE＝－
2DE，若EF＝xAB＋yAD，则x＋y＝( )
A.1
B.6
C.
D.
答案 C
2
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解析 因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以AB＝DC，AD＝BC，
因为CE＝－2DE，所以EC＝AB，
EF＝EC＋CF＝AB－BC＝AB－AD，
又因为EF＝xAB＋yAD，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
5.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB反向的单位向量为________.
答案
解析 由已知得AB＝(12，－5)，所以|AB|＝13，
因此与AB反向的单位向量为－AB＝.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)，在这三个向量中任意取
两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案 2
解析 易知a∥b，a 与c 不共线，b 与c 不共线，所以能构成基底的组数为2.
考点一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC 中，点D，E 分别在边BC，AC 上，且BD＝2DC，CE＝3EA，
若AB＝a，AC＝b，则DE等于( )
A.a＋b
B.a－b
C.－a－b
D.－a＋b
答案 C
解析 DE＝DC＋CE
＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC
＝－AB－AC＝－a－b.
(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP＝CA＋CB，Q 是BC 的中点，AQ 与
CP 的交点为M，又CM＝tCP，则t 的值为________.
答案
解析 如图所示.
3
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∵A，M，Q 三点共线，
∴CM＝xCQ＋(1－x)CA
＝CB＋(1－x)CA，
又∵CP＝CA＋CB，CM＝tCP，
∴解得t＝.
感悟提升 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或
三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，
利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基
底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量
在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
训练1 (1)在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为CD，BC 的中点.
若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ 等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－
AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
(2)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，F 是线段DC 上的点.若DC＝
3DF，设AC＝a，BD＝b，则AF＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
答案 B
解析 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点
O，F 是线段DC 上的点，且DC＝3DF，
∴DF＝DC＝(OC－OD)＝(AC－BD)，AD＝OD－OA＝BD＋
AC.
则AF＝AD＋DF＝＋(AC－BD)＝BD＋AC＝a＋b，故选B.
考点二 平面向量的坐标运算
4
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1.在平行四边形ABCD 中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC 与BD 交于
点O，则CO的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为在平行四边形ABCD 中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC 与
BD 交于点O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝.
2.向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正
方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝AO＝(－1，1)，b＝OB＝(6，2)，c＝BC＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴＝＝4.
3.已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|
AC|，则向量OB的坐标是________.
答案 (4，7)
解析 由点C 是线段AB 上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.
设点B 为(x，y)，
则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
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即解得
所以向量OB的坐标是(4，7).
4.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹
角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝
2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ 的值为________.
答案 6
解析 以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，
则A(1，0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，
B(cos 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，)，B.
由OC＝λOA＋μOB得，
∴∴λ＋μ＝6.
感悟提升 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若
已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求
解.
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数
例2 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝
________.
答案
解析 2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C 三点共线，
则k＝________.
答案 －
解析 AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
AC＝OC－OA＝(－2k，－2).
因为A，B，C 三点共线，所以AB，AC共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
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角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
例3 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P
的坐标为________.
答案 (3，3)
解析 法一 由O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA
＝(4λ－4，4λ).
又AC＝OC－OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3，3)，
所以点P 的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以＝，
即x＝y.
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解得x＝y＝3，
所以点P 的坐标为(3，3).
感悟提升 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝
(x2，y2)，则a∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的
坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
训练2 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d 的坐标.
解 (1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，
2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，
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∴解得
或
∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3).
等和线的应用
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线
结论可知，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由
△OAB 与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得OP′＝
kOP，则OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋
μ)＝k；反之也成立.
(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′
在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把
直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和(高)线.
例 给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为
120°，如图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝
xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y 的最大值是________.
答案 2
解析 法一 由已知可设OA 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系.
其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
则有OC＝(cos θ，sin θ)
＝x(1，0)＋y，
即得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y)max＝2，
当且仅当θ＝时取得.
法二 如图，连接AB 交OC 于点D，
设OD＝tOC，由于OC＝xOA＋yOB，
所以OD＝t(xOA＋yOB).
因为D，A，B 三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y
＝，
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由于|OD|＝t|OC|＝t，当OD⊥AB 时t 取到最小值，
当点D 与点A，或点B 重合时t 取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y 的最大值为2.
法三 (等和线法)连接AB，过C 作直线l∥AB，则直线l 为
以OA，OB为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然
当l 与圆弧相切于C1时，定值最大，
因为∠AOB＝120°，所以OC1＝OA＋OB，
所以x＋y 的最大值为2.
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A.(2，2)
B.(－2，－2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
答案 D
解析 因为A(2，2)，B(1，1)，
所以AB＝(－1，－1).
2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
答案 B
解析 对于A，C，D 都有e1∥e2，所以只有B 成立.
3.如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE
＝( )
A.b－a
B.a－b
C.a－b
D.b－a
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答案 D
解析 DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝AC－AB＝b－a.
4.(多选)(2021·威海调研)设a 是已知的平面向量且a≠0，关于向量a 的分解，有
如下四个命题(向量b，c 和a 在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c
B.给定向量b 和c，总存在实数λ 和μ，使a＝λb＋μc
C.给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a＝λb＋μc
D.给定正数λ 和μ，总存在单位向量b 和单位向量c，使a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量b，c 和a 在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，
给定向量a 和b，只需求得其向量差a－b，
即为所求的向量c，
故总存在向量c，使a＝b＋c，故A 正确；
当向量b，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b，c 可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，
无论λ 取何值，向量λb 都平行于x 轴，而向量μc 的模恒等于2，
要使a＝λb＋μc 成立，根据平行四边形法则，向量μc 的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；
因为λ 和μ 为正数，所以λb 和μc 代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使a＝λb＋μc 成立，故D 错误.故选AB.
5.(2022·岳阳一模)已知等边三角形ABC 的边长为4，O 为三角形内一点，且OA＋
OB＋2OC＝0，则△AOB 的面积是( )
A.4
B.
C.
D.2
答案 D
解析 根据题意，设AB 边的中点为D，
因为△ABC 是等边三角形，则CD⊥AB.
由AB 的中点为D，得OA＋OB＝2OD，
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又由OA＋OB＋2OC＝0，得OC＝－OD，则O 是CD 的中点，又△ABC 的边长为
4，则AD＝2，CD＝2，则OD＝，
所以S△AOB＝×4×＝2.
6.(2021·揭阳联考)在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M，N 分别是AB，AD 上的
动点，且满足2|AM|＋|AN|＝1，设AC＝xAM＋yAN，则2x＋3y 的最小值为( )
A.48
B.49
C.50
D.51
答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).
设M(m，0)，N(0，n)，因为2|AM|＋|AN|＝1，
所以2m＋n＝1.
因为AC＝xAM＋yAN＝AB＋AD，
所以x＝，y＝，
所以2x＋3y＝＋＝(2m＋n)＝25＋＋≥25＋24＝49，
当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号，故选B.
7.已知O 为坐标原点，向量OA＝(1，2)，OB＝(－2，－1)，若2AP＝AB，则|OP|
＝________.
答案
解析 设P 点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，
AP＝(x－1，y－2)，
则由2AP＝AB得2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
所以解得
故|OP|＝＝.
8.(2021·青岛质检)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝
________.
答案 －
解析 因为a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
9.(2022·衡水质检)已知在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D 是
△ABC 内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则＝________.
答案
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解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线
为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的
坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D 点的坐标为(m，m)(m≠0).
AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以
＝.
10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k 为何值时，ka－b 与a＋2b 共线，
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且A，B，C 三点共线，求m 的值.
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b 与a＋2b 共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一 ∵A，B，C 三点共线，
∴AB＝λBC，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二 AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C 三点共线，∴AB∥BC，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
11.如图，在△ABC 中，AM＝AB＋AC.
(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；
(2) 若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P ，且AP ＝xAB ＋
yAC(x，y∈R)，求x＋y 的值.
解 (1)在△ABC 中，
由AM＝AB＋AC，
得4AM－3AB－AC＝0，
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即3(AM－AB)＝AC－AM，即3BM＝MC，
即点M 是线段BC 上的靠近B 的四等分点，
∴△ABM 与△ABC 的面积之比为.
(2)∵AM＝AB＋AC，AP
＝xAB＋yAC(x，y∈R)，
AP∥AM，AN＝AB，
∴设AP＝λAM＝AB＋AC
＝AN＋AC.
∵N，P，C 三点共线，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
12.在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上.若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ 的最大值为( )
A.3
B.2
C.
D.2
答案 A
解析 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，B(1，0)，
D(0，2)，C(1，2)，直线BD 的方程为BD：y＝－2x＋2，
⊙C 方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又AB＝(1，0)，AD＝(0，2)，则AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，
圆与直线BD 相切，则半径r＝.
P 点坐标可表示为x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，
则λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
当sin(θ＋φ)＝1 时，有最大值，为2＋×＝3.
13.(多选)(2022·珠海一模)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD＝DC，若P 为
BD 上一点，且满足AP＝λAB＋μAC(λ，μ 为正实数)，则下列结论正确的是( )
A.λμ 的最小值为16
B.λμ 的最大值为
C.＋的最大值为16
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D.＋的最小值为4
答案 BD
解析 因为D 为AC 上一点且满足AD＝DC，所以AC＝4AD，因为AP＝λAB＋
μAC，
所以AP＝λAB＋4μAD，
因为P 为BD 上一点，所以B，P，D 三点共线，则有λ＋4μ＝1，
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，
当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ 的最大值为，故A 错误，B 正确；
＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，
故＋的最小值为4，故C 错误，D 正确.
14.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA，OB，OC满足
条件：OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为
45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，求m＋n 的值.
解 以O 为原点，OA的方向为x 轴的正方向，建立如图所示
的平面直角坐标系，
由tan α＝7 知α 为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C 的坐标分别为
，，
∴OB＝，OC＝.
又OC＝mOA＋nOB，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.
14
