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第4 节 复 数
考试要求 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代
数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式
的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数
叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b 为实数)
复数的
分类
a＋bi 为实数⇔b ＝
0
a＋bi 为虚数⇔b ≠
0
a＋bi 为纯虚数⇔a ＝
0 且
b ≠
0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a ＝
c 且
b ＝
d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi 与c＋di 共轭⇔a ＝
c ，
b ＝－
d (a，b，c，d∈R).
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模，记作| a ＋
b i| 或| z | ，即|z|＝|a＋bi|＝
(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi 与复平面内的点Z ( a ，
b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一
对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
1
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复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、
减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
1.i 的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·z＝|z|2＝|z|2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应
的向量的模.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·北京卷)在复平面内，复数z 满足(1－i)·z＝2，则z＝( )
A.1
B.i
C.1－i
D.1＋i
答案 D
解析 由题意可得z＝＝＝1＋i.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 A
解析 ＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.
4.(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|z－i|＝________.
答案
解析 ∵z＝1－3i，∴z＝1＋3i，∴z－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|z－i|＝＝.
5.已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________.
2
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答案 1
解析 由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.
6.(易错题)i 为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m 等于________.
答案 2
解析 因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i 是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋
2m≠0，解得m＝2.
考点一 复数的概念
1.(2022·北京朝阳区一模)如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A.－2
B.1
C.2
D.4
答案 A
解析 ＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b 的值为－2，故选A.
2.(多选)若复数z＝，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z 的虚部为－1
B.|z|＝
C.z2为纯虚数
D.z 的共轭复数为－1－i
答案 ABC
解析 z＝＝＝＝1－i，对于A，z 的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z 的共轭复数为1＋i，错误.
3.(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A.若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
B.若z1＝z2，则z1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2
D.若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案 ABC
解析 对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以z1＝z2为真；
对于B，若z1＝z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1＝z2为真；
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对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则＝，
即a＋b＝a＋b，
所以z1·z1＝a＋b＝a＋b＝z2·z2，
所以z1·z1＝z2·z2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，
所以z＝z 为假.故选ABC.
4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________.
答案 －1
解析 ∵z 为纯虚数，∴
∴x＝－1.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b 分别是它的实部和虚部.若z 为
实数，则虚部b＝0，与实部a 无关；若z 为虚数，则虚部b≠0，与实部a 无关；
若z 为纯虚数，当且仅当a＝0 且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－bi，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|
＝，若z∈R，则z＝z.
考点二 复数的四则运算
例1 (1)(2021·辽宁百校联盟质检)＝( )
A.＋i
B.－i
C.－＋i
D.－－i
答案 D
解析 原式＝＝＝－－i.
(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A.－3－4i
B.－3＋4i
C.3－4i
D.3＋4i
答案 C
解析 因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
(3)(2021·全国乙卷)设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝( )
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A.1－2i
B.1＋2i
C.1＋i
D.1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，可得
4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
感悟提升 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子
分母同乘以分母的共轭复数.
训练1 (1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.－＋i
D.－－i
答案 B
解析 z＝＝＝＝－1＋i.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z＋i)＝( )
A.6－2i
B.4－2i
C.6＋2i
D.4＋2i
答案 C
解析 因为z＝2－i，
所以z(z＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
(3)(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝－i，则( )
A.|z|＝2
B.|z|＝4
C.z 的共轭复数z＝＋i
D.z2＝4－2i
答案 AC
解析 依题意得|z|＝＝2，故A 正确，B 错误；
z＝＋i，C 正确；
z2＝(－i)2＝3－2i＋i2＝2－2i，D 错误.
考点三 复数的几何意义
例2 (1)(2021·珠海一模)设i 是虚数单位，复数z1＝i2 021，复数z2＝，则z1＋z2在
复平面上对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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答案 A
解析 因为复数z1＝i2 021＝i，z2＝＝＝－i，所以z1＋z2＝＋i，故z1＋z2在复平面
上对应的点为，在第一象限.
(2)(2021·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.1
答案 B
解析 因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝＝≥，所以|z|的最小值为.
(3)(多选)(2021·德州二模)已知复数z1＝(i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为－1
C.z＝4
D.满足|z|＝|z1|的复数z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上
答案 AB
解析 由题意，复数z1＝
＝＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所
以A 正确；
复数z1的虚部为－1，所以B 正确；
z＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C 不正确；
由|z1|＝＝，得满足|z|＝|z1|的复数z 对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以D 不正确.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
Z(a，b)
OZ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结
合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练2 (1)(2022·长沙一模)已知复数z＝，则复数z 在复平面内对应的点位于(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 D
解析 因为z＝＝＝－i，所以复数z 在复平面内对应的点为，在第四象限.
(2)若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i 为虚
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数单位，则实数a 的取值范围为( )
A.(－，)
B.(－，0)
C.(0，)
D.[0，)
答案 B
解析 z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i 在复平面内对应的点在第三象限，
∴解得－<a<0.
(3)如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A.1＋3i
B.－3－i
C.3－i
D.3＋i
答案 D
解析 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋
＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
考点四 复数与方程
例3 已知x＝－1＋i 是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b 的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
解 (1)把x＝－1＋i 代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i 代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i 是方程的另一个根.
感悟提升 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没
有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的
功能失去了，其他仍适用.
训练3 在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.
解 因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，
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所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.
设(m＋ni)2＝3－4i，则
解得或
所以3－4i 的平方根为±(2－i)，
所以x＝＝，
得x1＝＝1，x2＝＝－1＋i，
即原方程的根为x1＝1，x2＝－1＋i.
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i 为虚数单位)，则a＝( )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
答案 C
解析 法一 因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.
法二 因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.
2.(2021·岳阳一模)已知＝1＋i(其中i 为虚数单位)，则复数|z|＝( )
A.i
B.－i
C.1
D.2
答案 C
解析 因为＝1＋i，所以z＝，故|z|＝＝＝1.
3.(2021·石家庄二模)在复平面内，复数z＝(i 为虚数单位)，则z 对应的点的坐标
为( )
A.(3，4)
B.(－4，3)
C.
D.
答案 D
解析 因为z＝＝＝＝－＋i，所以z＝－－i，所以复数z 所对应的点的坐标为.
4.(2021·日照一模)复平面内表示复数z＝i(a－i)(a＜0)的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 D
解析 z＝i(a－i)＝1＋ai 表示的点为(1，a)，因为a＜0，所以点(1，a)位于第四
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象限.
5.(2021·南京三模)已知i 为虚数单位，若复数z＝＋i，则复数的虚部为( )
A.－
B.
C.－i
D.i
答案 A
解析 结合复数的运算得＝＝＝－i，因而复数的虚部为－.
6.设复数z 满足|z－i|＝|z＋i|，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为Z(x，
y)，则下列结论一定正确的是( )
A.x＝1
B.y＝1
C.x＝0
D.y＝0
答案 D
解析 因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z 为复平面内到点(0，－1)和(0，1)的距离相等
的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x 轴，其方程为y＝0.
7.(多选)(2021·重庆质检)已知i 为虚数单位，复数z＝，则以下说法正确的是(
)
A.z 在复平面内对应的点在第一象限
B.z 的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
答案 AD
解析 ∵z＝＝＝＋i，∴z 在复平面内对应的点为，在第一象限，故A 正确；
z 的虚部是，故B 不正确；
|z|＝＝，故C 不正确；
设z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1 得＋＝1，则点(x，y)在以为圆心，以1 为
半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为1＋＝1＋，即|z1|的最大值为1
＋，故D 正确.
8.如果关于x 的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0 至少有一个模等于1 的根，那么实数a
的值( )
A.不存在
B.有一个
C.有三个
D.有四个
答案 C
解析 (1)当根为实数时，将x＝1 代入原方程得a2＋2a＋2＝0，无解；
将x＝－1 代入原方程得a2－4a＋2＝0，解得a＝2±，都符合要求；
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(2)当根为虚数时，Δ＝a(a＋8)＜0，
∴－8＜a＜0.
此时有x1x2＝(x1)2＝1＝，
即a2－a－2＝0.
解得a＝－1 或a＝2(舍去)，故a 的值共有三个.
9.若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.
答案 －2
解析 (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，
由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，
∴a＝－2.
10.若复数z＝i＋i2 022，则z＋的模等于________.
答案 6
解析 z＝i＋i2 022＝i－1，z＋＝1＋i＋＝6＋6i，其模为6.
11.设O 是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量
BA对应的复数是________.
答案 5－5i
解析 ∵向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
∴OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，
∴BA＝OA－OB＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
12.若2－3i 是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，
a＝________.
答案 2＋3i 13
解析 设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)
＝13.
13.(多选)(2022·福州一模)设z 为复数，则下列命题中正确的是( )
A.|z|2＝z·z
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D.若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
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答案 ACD
解析 对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＝a－bi，
∴|z|2＝a2＋b2，而z·z＝a2＋b2，
所以|z|2＝z·z成立；
对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab 均不为0 时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C，|z|＝1 可以看成以O(0，0)为圆心，1 为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看
成点P 到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于D，|z－1|＝1 可以看成以M(1，0)为圆心，1 为半径的圆上的点N，则|z|表
示点N 到原点的距离，故O，N 重合时，|z|＝0 最小，当O，M，N 三点共线时，
|z|＝2 最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.
14.(多选)(2021·济南十一学校联考)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i 为虚数单位，
x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，
建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.ei为纯虚数
C.复数的模长等于
D.ei的共轭复数为－i
答案 BC
解析 对于A，e2i＝cos 2＋isin 2，
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；
对于B，ei＝cos ＋isin ＝i，可得ei为纯虚数，故B 正确；
对于C，＝
＝
＝＋i，
可得其模长为
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＝，故C 正确；
对于D，ei＝cos ＋isin ＝＋i，可得ei的共轭复数为－i，故D 错误.
15.已知复数z 满足是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.
答案
解析 设z＝a＋bi，
则＝.
因为为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.
所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|
＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|
＝
＝
＝.
当a＝－时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为.
16.(2022·枣庄模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则的取值范
围是________.
答案
解析 复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2，0)，半径为1 的圆，
则表示圆上的点与原点连线的斜率，
由题意设过点O 且与圆相切的直线方程为
y＝kx，则
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－或k＝，
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