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专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
2019
年
1.
19
（2019
天津理
）设
na
是等差数列，
nb
是等比数列. 已知
1
1
2
2
3
3
4,
6
2
2,
2
4
a
b
b
a
b
a
=
=
=
−
=
+
，
.
（Ⅰ）求
na
和
nb
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
nc
满足
1
1
1,
2
2
,
2
,
1,
,
k
k
n
k
k
c
n
c
b n
+
=
=
=
其中
*
k N .
（）求数列
i
(
)
2
2
1
n
n
a
c
−
的通项公式；
（）求
ii
(
)
2
*
1
n
i i
i
a c
n
=
N
.
2010-2018
年
一、选择题
1．（2013 大纲）已知数列
na
满足
1
2
4
3
0,
3
n
n
a
a
a
+
+
=
= −
，则
na
的前
项和等于
10
A．
10
6(1 3
)
−
−
−
B．
10
1
(1 3 )
9
−
C．
10
3(1 3
)
−
−
D．
10
3(1 3
)
−
+
2．(2012
)
上海设
25
sin
1
n
n
an =
，
n
n
a
a
a
S
+
+
+
=
2
1
，在
100
2
1
,
,
,
S
S
S
中，正数的个
数是
A
25 B
50 C
75 D
100
．
．
．
．
二、填空题
3
(2018
．
全国卷Ⅰ记
)
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，若
2
1
n
n
S
a
=
+ ，则
6 S = _____．
4
2017
．（
新课标Ⅱ）等差数列{
}
n
a
的前n 项和为
n
S ，
3
3
a =
，
4
10
S =
，则
1
1
n
k
k
S
=
=
．
5
2015
．（
新课标Ⅱ）设
n
S 是数列{
}
n
a
的前n 项和，且
1
1
1
1,
n
n
n
a
a
S S
+
+
= −
=
，则
n
S = _
_ ．
6
2015
．（
江苏）数列
}
{
n
a
满足
1
1 =
a
，且
1
1
+
=
−
+
n
a
a
n
n
（
*
N
n
），则数列
}
1
{
na
前10
项的和为
．
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7
2013
．（
新课标Ⅰ）若数列{
n
a
}的前
项和为
n
n
S ＝2
1
3
3
n a +
，则数列{
n
a }的通项公式是
n
a =______.
8
2013
．（
湖南）设
n
S 为数列
na
的前
项和，
n
1
( 1)
,
,
2
n
n
n
n
S
a
n
N
= −
−
则
（）
1
3 a = _____；
（）
2
1
2
100
S
S
S
+
++
= ___________
．
9
2012
．（
新课标）数列
}
{
n
a
满足
1
2
)1
(
1
−
=
−
+
+
n
a
a
n
n
n
，则
}
{
na
的前
项和为
60
．
10．（
福建）数列
2012
na
的通项公式
cos
1
2
n
n
a
n
=
+
，前n 项和为
n
S ，则
2012
S
=___________．
三、解答题
11．（2018 浙江）已知等比数列
1
{ }
a
的公比
1
q
，且
3
4
5
28
a
a
a
+
+
=
，
4
2
a +
是
3
a ，
5
a
的等差中项．数列{ }
nb
满足
1
1
b =
，数列
1
{(
)
}
n
n
n
b
b a
+ −
的前n 项和为
2
2n
n
+
．
(1)求q 的值；
(2)求数列{ }
nb
的通项公式．
12．(2018
)
天津设{
}
n
a
是等比数列，公比大于
，其前
0
n 项和为
n
S (
)
n
N
，{ }
nb
是等差
数列．已知
1
1
a =
，
3
2
2
a
a
=
+
，
4
3
5
a
b
b
=
+
，
5
4
6
2
a
b
b
=
+
．
(1)求{
}
n
a
和{ }
nb
的通项公式；
(2)设数列{
}
n
S
的前n 项和为
nT (
)
n
N
，
(i)求
nT ；
(ii)证明
2
2
1
(
)
2
2
(
1)(
2)
2
n
n
k
k
k
k
T
b
b
k
k
n
+
+
=
+
=
−
+
+
+
(
)
n
N
．
13．（ 2017 江苏）对于给定的正整数k ，若数列{
}
n
a
满足
1
1
1
1
2
n k
n k
n
n
n k
n k
n
a
a
a
a
a
a
ka
−
−+
−
+
+ −
+
+
++
+
++
+
=
对任意正整数n (
)
n
k
总成立，则称数列{
}
n
a
是“ ( )
P k
数列”．
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（）证明：等差数列
1
{
}
n
a
是“
(3)
P
数列”；
（）若数列
2
{
}
n
a
既是“
(2)
P
数列，又是
”
“ (3)
P
数列，证明：
”
{
}
n
a
是等差数列．
14．（2016 年全国II）
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，且
1
1
a = ，
7
28
S =
．记
lg
n
n
b
a
=
，
其中
x 表示不超过x 的最大整数，如
0.9
0
=
，
lg99
1
=
．
（Ⅰ）求1b ，
11
b ，101
b
；
（Ⅱ）求数列
nb
的前1000 项和．
15．（ 2015 新课标Ⅰ）
n
S 为数列{
}
na
的前n 项和，已知
0
n a
，
2
2
4
3
n
n
n
a
a
S
+
=
+
（Ⅰ）求{
}
na
的通项公式：
（Ⅱ）设
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，求数列{ }
nb
的前n 项和．
16．（ 2015 广东）数列{
}
n
a
满足：
1
2
1
2
2
4
2
n
n
n
a
a
na
−
+
+
++
=
−
，
*
N
n
．
（）求
1
3
a 的值；
（）求数列
2
{
}
n
a
的前n 项和
nT ；
（）令
3
1
1
b
a
=
，
1
1
1
1
(1
)
2
3
n
n
n
T
b
a
n
n
−
=
+
+
+
++
(
2)
n≥
证明：数列{ }
nb
的前n项和
n
S 满足
2
2ln
n
S
n
+
．
17．（ 2014 广东）设各项均为正数的数列
n
a
的前n 项和为
n
S ，且
n
S 满足
(
)
(
)
=
+
−
−
+
−
N
n
n
n
S
n
n
S
n
n
,0
3
3
2
2
2
．
（Ⅰ）求
1a 的值；
（Ⅱ）求数列
n
a
的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有
(
)
(
)
(
)
.
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
+
+
+
+
+
n
n a
a
a
a
a
a
18．（ 2013 湖南）设
n
S 为数列{
n
a }的前项和，已知
0
1
a
，2
n
n
S
S
a
a
•
=
−
1
1
，
n
N
(
)
Ⅰ求
1
a ，
2
a ，并求数列｛
n
a ｝的通项公式；
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(
)
Ⅱ求数列｛
n
na ｝的前n 项和．
19．（ 2011 广东）设
0
b
，数列
na
满足
1a
b
=
，
1
1
(
2)
2
2
n
n
n
nba
a
n
a
n
−
−
=
+
−
．
（）求数列
1
na
的通项公式；
（）证明：对于一切正整数
2
n ，
1
1
1.
2
n
n
n
b
a
+
+
+
