关注微信公众号：加油高三
专题六数列
第十五讲等差数列
答案部分
2019
年
1.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：设等差数列
n
a
的公差为d ，由
4
5
0
5
S
a
=
=
，
，
得
1
1
4
6
0
4
5
a
d
a
d
+
=
+
=
，解得
1
3
2
a
d
= −
=
，
所以
2
5
4
2
n
n
a
n
S
n
n
=
−
−
=
，
，故选A．
2.解析
解析
解析
解析
解析 设等差数列{
}
n
a
的公差为d ，则
由
1
0
a
，
2
1
3
a
a
=
可得，
1
2
d
a
=
，
10
1
10
1
1
1
5
1
5
1
1
1
10(
)
2(2
9 )
2(2
18 )
4
5(
)
2
4
2
8
S
a
a
a
d
a
a
S
a
a
a
d
a
a
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
.
3.解析
解析
解析
解析
解析 设等差数列{
}
n
a
的首项为
1a ，公差为d ，
则
1
1
1
1
(
)(
4 )
7
0
9 8
9
27
2
a
d a
d
a
d
a
d
+
+
+
+
=
+
=
，解得
1
5
2
a
d
= −
=
．
所以
8
1
8 7
8
6 ( 5) 15 2
16
2
d
S
a
=
+
=
−
+
=
.
4.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：由题意得，
2
1
5
1
3
5 10
10
a
a
d
S
a
d
=
+
= −
=
+
= −
，解得
1
4
1
a
d
= −
=
.
所以
5
1
4
0
a
a
d
=
+
=
.
因为
n
a
是一个递增数列，且
5
0
a =
，
所以
n
S 的最小值为
4
S 或
5
S ，
(
)
4
5
4 3
4
4
1
10
2
S
S
=
= −
+
= −
.
2010-2018
年
关注微信公众号：加油高三
1
B
．【解析】通解
设等差数列
{
}
na
的公差为d ，∵
3
2
4
3
=
+
S
S
S ．
∴
1
1
1
3 2
4 3
3(3
)
2
4
2
2
+
=
+
+
+
a
d
a
d
a
d ，解得
1
3
2
= −
d
a ，
∵
1
2
=
a
，∴
3
= −
d
，
∴
5
1
4
2
4 ( 3)
10
=
+
=
+ −
= −
a
a
d
．故选
．
B
优解
设等差数列
{
}
n
a
的公差为d ，∵
3
2
4
3
=
+
S
S
S ，∴
3
3
3
3
4
3
=
−
+
+
S
S
a
S
a ，
∴
3
4
3
=
−
S
a
a ，∴
1
3 2
3
2
+
=
a
d
d ，
∵
1
2
=
a
，∴
3
= −
d
，∴
5
1
4
2
4 ( 3)
10
=
+
=
+ −
= −
a
a
d
．故选B．
2
C
．【解析】解法一由
6
1
6
3
4
3(
)
3(
)
48
S
a
a
a
a
=
+
=
+
=
，得
3
4
16
a
a
+
=
，
由
4
5
3
4
(
)
(
)
8
a
a
a
a
+
−
+
=
，得
5
3
8
a
a
−
=
，
设公差为d ，即
2
8
d =
，所以
4
d =
．选C．
解法二设公差为
d ，则有
1
1
2
7
24 ,
6
15
48
a
d
a
d
+
=
+
=
解得
4
d =
，故选C．
3
A
．【解析】设{
}
na
的公差为d （
0
d
），由
2
3
2
6
a
a a
=
，得
2
(1
2 )
(1
)(1 5 )
d
d
d
+
=
+
+
，
所以
2
d = −
，
6
6 5
6 1
( 2)
24
2
S
= +
−
= −
．选
．
A
4
C
．
【解析】∵
6
5
5
4
6
5
(
)
(
)
S
S
S
S
a
a
d
−
−
−
=
−
=
，当
0
d
，可得
4
6
5
+
2
S
S
S
；当
4
6
5
+
2
S
S
S
，可得
0
d
．所以“
0
d
”是“
4
6
5
+
2
S
S
S
” 充分必要条件，选
．
C
5
C
．【解析】设等差数列{
}
n
a
的公差为d ，因为{
}
na
为等差数列，且
9
5
9
27
S
a
=
=
，所
以
5
3
a =
．又
10
8
a
=
，解得
10
5
5
5
d
a
a
=
−
=
，所以
1
d =
，所以
100
5
95
98
a
a
d
=
+
=
，
选
．
C
6
B
．【解析】由等差数列的性质得
6
4
2
2
2 2
4
0
a
a
a
=
−
=
−
=
，选B
4
2
a =
．
7
B
．【解析】由
3
4
8
,
,
a a
a 成等比数列可得：
2
1
1
1
(
3 )
(
2 ) (
7 )
a
d
a
d
a
d
+
=
+
?
，
即
1
3
5
0
a
d
+
=
，所以
1
5
3
a
d
= -
，所以
1
0
a d <
．
关注微信公众号：加油高三
又
2
1
4
4
1
(
) 4
2
2(2
3 )
0
2
3
a
a
dS
d
a
d d
d
+
?
=
=
+
= -
<
．
8．C【解析】∵数列
1
{2
}
n
a a
为递减数列，
1
1
1
1
1
1
[
(
1) ]
(
)
n
a a
a a
n
d
a dn
a a
d
=
+
−
=
+
−
，等式
右边为关于n 的一次函数，∴
1
0
a d
．
9．C【解析】 设等差数列{
}
na
的公差为d ，则
3
1
3
3
S
a
d
=
+
，所以
12
3 2 3d
= +
，解得
2
d =
，所以
6
12
a =
．
10．B【解析】由等差数列的性质得
1
7
3
5
a
a
a
a
+
=
+
，因为
1
2
a =
，3
5
10
a
a
+
=
，所以
7
8
a =
，
选
．
B
11．【解析】有题意知
C
m
S
=
1
(
)
2
m
m a
a
+
=0，∴
1a = −
m
a = −（
m
S
−
1
m
S
−）= −2
，
1
m
a + =
1
m
S
+ −
m
S =3，∴公差d =
1
m
a + −
m
a =1，∴3=
1
m
a + =−
2
m
+
，
∴m
=5，故选C.
12．D【解析】设
1
(
1)
n
a
a
n
d
dn
m
=
+
−
=
+
，所以
1p 正确；如果
3
12
n
a
n
=
−
则满足已
知，但
2
3
12
n
na
n
n
=
−
并非递增所以
2p 错；如果若
1
n
a
n
=
+
，则满足已知，但
1
1
n
a
n
n
= +
，是递减数列，所以
3p 错；
3
4
n
a
nd
dn
m
+
=
+
，所以是递增数列，
4p 正
确．
13．B【解析】由题意有
1
5
3
2
10
a
a
a
+
=
=
,
3
5
a =
,又∵
4
7
a =
，∴
4
3
2
a
a
−
=
，∴
2
d =
．
14．B【解析】
4
8
6
6
+
=2
=16
=8
a
a
a
a
，而
(
)
1
11
11
6
11
+
=
=11
=88
2
a
a
S
a
，故选B.
15．B【解析】由
10
11
S
S
=
，得
11
11
10
0
a
S
S
=
−
=
，
1
11
(1 11)
0
( 10) ( 2)
20
a
a
d
=
+
−
=
+ −
−
=
．
16．A【解析】
10
1
2
10
1 4 7 10
( 1)
(3 10 2)
a
a
a
+
++
= −+ −+
++ −
−
9
10
( 1
4)
( 7
10)
[( 1)
(3 9
2)
( 1)
(3 10
2)]
15
= −+
+ −+
++ −
−
+ −
−
=
．
17．D【解析】因为
7
a 是
3
a 与
9
a 的等比中项，所以
2
7
3
9
a
a a
=
，又数列
na
的公差为2
−，
所以
2
1
1
1
(
12)
(
4)(
16)
a
a
a
−
=
−
−
，解得
1
20
a =
，
关注微信公众号：加油高三
故
20
(
1)
( 2)
22
2
n
a
n
n
=
+
−
−
=
−
，
所以
1
10
10
10(
)
5 (20
2)
110
2
a
a
S
+
=
=
+
=
．
18．A【解析】
8
8
7
64
49
15
a
S
S
=
−
=
−
=
．
19．14【解析】解法一设
{
}
na
的公差为d ，首项为
1a ，则
1
1
1
2
0
5
6
14
a
d
a
d
a
d
+
=
+
+
+
=
，
解得
1
4
2
a
d
= −
=
，所以
7
7 6
7 ( 4)
2
14
2
S
= −
+
=
．
解法二
3
2
7
14
a
d
+
=
，所以
2
d =
．故
4
3
2
a
a
d
=
+
=
，故
7
4
7
7
2
14
S
a
=
=
=
．
20．
6
3
n
a
n
=
−【解析】设等差数列的公差为d ，
2
5
1
1
4
6
5
36
a
a
a
d
a
d
d
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
6
d =
，∴
3
(
1) 6
6
3
n
a
n
n
=
+
−
=
−
．
21．2
1
n
n +
【解析】设等差数列的首项为
1a ，公差为d ，则
1
1
2
3
4 3
4
10
2
a
d
a
d
+
=
+
=
，
解得1
1
a =
，
1
d =
，
∴
1
(
1)
(
1)
2
2
n
n n
n n
S
na
d
−
+
=
+
=
，所以
1
2
1
1
2(
)
(
1)
1
n
S
k k
k
k
=
=
−
+
+
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2[(1
)
(
)
(
)]
2(1
)
2
2
3
1
1
1
n
k
k
n
S
n
n
n
n
=
=
−
+
−
++
−
=
−
=
+
+
+
．
22．10 【解析】由
3
4
5
6
7
25
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
得
5
5
25
a =
，所以5
5
a =
，
故
2
8
5
2
10
a
a
a
+
=
=
．
23．8 【解析】∵数列
na
是等差数列，且
7
8
9
8
3
0
a
a
a
a
+
+
=
，
8
0
a
．又
7
10
8
9
0
a
a
a
a
+
=
+
，∴
9
0
a
．当n =8 时，其前n 项和最大．
24．
7
( 1,
)
8
−−
【解析】由题意可知，当且仅当
8
=
n
时
n
S 取最大值，可得
8
9
0
0
0
d
a
a
，解得
7
1
8
d
−
−
．
关注微信公众号：加油高三
25
49
．－
【解析】设
na
的首项为
1a ，公差d ，由
10
0
S
=
，
15
25
S
=
，得
1
1
2
9
0
3
21
5
a
d
a
d
+
=
+
=
，
解得1
2
3,
3
a
d
= −
=
，∴
(
)
3
2
1
10
3
n
nS
n
n
=
−
，
设
( )
(
)
3
2
1
10
3
f n
n
n
=
−
，
( )
2
20 ,
3
f
n
n
n
=
−
当
20
0
3
n
时
( )
0
f
n
，当
20
3
n
，
( )
0
f
n
，由
*
n
N
，
当
6
n =
时，
( )
(
)
3
1
6
6
10 36
48
3
f
=
−
= −
当
7
n =
时，
( )
(
)
3
2
1
7
10 7
49
3
f n =
−
= −
∴
7
n =
时，
n
nS 取得最小值49
−
．
26．20【解析】 依题意
1
2
9
10
a
d
+
=
，
所以
(
)
5
7
1
1
1
3
3
4
6
4
18
20
a
a
a
d
a
d
a
d
+
=
+
+
+
=
+
=
．
或：
(
)
5
7
3
8
3
2
20
a
a
a
a
+
=
+
=
27．1，
(
1)
4
n n +
【解析】设公差为
则
d,
1
1
2
2
a
d
a
d
+
=
+
,把
1
1
2
a =
代入得
1
2
d =
，
∴
2
1
a = ，
n
S =1
(
1)
4 n n +
28
35
．
【解析】（解法一）因为数列
{
},{ }
n
n
a
b
都是等差数列，所以数列
n
n
a
b
+
也是等差
数列．故由等差中项的性质，得
(
) (
)
(
)
5
5
1
1
3
3
2
a
b
a
b
a
b
+
+
+
=
+
，
即 (
)
5
5
7
2 21
a
b
+
+
=
，解得5
5
35
a
b
+
=
．
（解法二）设数列
{
},{ }
n
n
a
b
的公差分别为
1
2
,
d d ,
因为
3
3
1
1
1
2
(
2
)
(
2
)
a
b
a
d
b
d
+
=
+
+
+
1
1
1
2
(
)
2(
)
a
b
d
d
=
+
+
+
1
2
7
2(
)
21
d
d
=
+
+
=
所以1
2
7
d
d
+
=
.所以
5
5
3
3
1
2
(
)
2(
)
35
a
b
a
b
d
d
+
=
+
+
+
=
.
29．
2
1
n
a
n
=
−【解析】
2
2
1
3
2
1,
4
1 2
(1
)
4
a
a
a
d
d
=
=
−+
=
+
−
2
2
1
n
d
a
n
=
=
−
30．10【解析】设{
}
na
的公差为d ，由
9
4
S
S
=
及
1
1
a =
，
得
9 8
4 3
9 1
4 1
2
2
d
d
+
=
+
，所以
1
6
d = −
．又
4
0
k
a
a
+
=
，
关注微信公众号：加油高三
所以
1
1
[1
(
1)
(
)] [1
(4 1) (
)]
0
6
6
k
+
−
−
+
+
−
−
=
，
即
10
k =
．
31．【解析】(1)设{
}
n
a
的公差为，由题意得
d
1
3
3
15
a
d
+
= −
．
由
1
7
a = −
得
．
d=2
所以{
}
n
a
的通项公式为
2
9
n
a
n
=
−
．
(2)
(1)
由
得
2
2
8
(
4)
16
n
S
n
n
n
=
−
=
−
−
．
所以当
4
n =
时，
n
S 取得最小值，最小值为−16．
32．【解析】（Ⅰ）易知
1
1
a =
，
2
2
a =
，
3
3
a =
且
1
1
b = ，
2
3
b =
，
3
5
b =
所以
1
1
1
1 1
0,
c
b
a
=
−
= −=
2
1
1
2
2
max{
2 ,
2
}
max{1
2 1,3
2 2}
1
c
b
a b
a
=
−
−
=
−
−
= −
，
3
1
1
2
2
3
3
max{
3 ,
3
,
3 }
max{1 3 1,3
3 2,5
3 3}
2
c
b
a b
a b
a
=
−
−
−
=
−
−
−
= −
．
下面证明：对任意n
*
N 且
2
n≥
，都有
1
1
n
c
b
a
n
=
−
．
当 k
*
N 且
2
k
n
≤≤
时，
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a
n
b
a n
−
−
−
[(2
1)
] 1
k
nk
n
=
−
−
−+
(2
2)
(
1)
k
n k
=
−
−
−
(
1)(2
)
k
n
=
−
−
∵ 1
0
k −
且
2
0
n
−≤
∴
1
1
(
)
(
)
0
k
k
b
a
n
b
a n
−
−
−
≤
1
1
(
)
(
)
k
k
b
a
n
b
a
n
−
−
≥
．
因此对任意n
*
N 且
2
n≥
，
1
1
1
n
c
b
a
n
n
=
−
= −
，则
1
1
n
n
c
c
+
−
= −．
又∵2
1
1
c
c
−
= −，
故
1
1
n
n
c
c
+
−
= −
对n
*
N 均成立，从而{ }
nc
是等差数列
（Ⅱ）设数列{
}
n
a
和{
}
n
b
的公差分别为
,
a
b
d
d ，下面我们考虑
nc 的取值．
关注微信公众号：加油高三
对1
1
b
a
n
−
，
2
2
b
a
n
−
，
n
n
b
a
n
−
，
考虑其中任意项i
i
b
a n
−
(i
*
N 且
1
)
i
n
≤≤
，
i
i
b
a n
−
1
1
[
(
1)
] [
(
1)
]
b
a
b
i
d
a
i
d
n
=
+
−
−
+
−
1
1
(
)
(
1)(
)
b
a
b
a n
i
d
d
n
=
−
+
−
−
下面分
0
a d =
，
0
a d
，
0
a d
三种情况进行讨论．
（）若
1
0
a d =
，则
i
i
b
a n
−
1
1
(
)
(
1)
b
b
a n
i
d
=
−
+
−
①若
0
b d ≤
，则
1
1
(
)
(
)
(
1)
0
i
i
b
b
a n
b
a n
i
d
−
−
−
=
−
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
1
n
c
b
a
n
=
−
此时
1
1
n
n
c
c
a
+
−
= −
，故{ }
nc
是等差数列
②
0
b d
，则
(
)
(
)
(
)
0
i
i
n
n
b
b
a n
b
a
n
i
n d
−
−
−
=
−
≤
则对于给定的正整数n 而言，
1
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a n
=
−
=
−
此时
1
1
n
n
b
c
c
d
a
+
−
=
−
，故{ }
nc
是等差数列
此时取
1
m = ，则
1
2
3
,
,
,
c c c 是等差数列，命题成立．
（）若
2
0
a d
，则此时
a
b
d
n
d
−
+
为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．
故必存在m
*
N ，使得当n
m
≥
时，
0
a
b
d
n
d
−
+
则当n
m
≥
时，
1
1
(
)
(
)
(
1)(
0
i
i
a
b
b
a n
b
a n
i
d
n
d
−
−
−
=
−
−
+
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
因此，当n
m
≥
时，
1
1
n
c
b
a
n
=
−
．
此时
1
1
n
n
c
c
a
+
−
= −
，故{ }
nc
从第m 项开始为等差数列，命题成立．
（）
3
0
a d
，则此时
a
b
d
n
d
−
+
为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．
故必存在s
*
N ，使得当n
s
≥时，
0
a
b
d
n
d
−
+
则当n
s
≥
时，
(
)
(
)
(
)(
0
i
i
n
n
a
b
b
a n
b
a
n
i
n
d
n
d
−
−
−
=
−
−
+
)≤
(
,1
)
i
i
n
*
N
≤≤
关注微信公众号：加油高三
因此当n
s
≥
时，
n
n
n
c
b
a
n
=
−
．
此时
n
n
n
n
n
c
b
a
n
b
a
n
n
n
−
=
= −
+
1
1
(
)
b
a
a
b
b
d
d
n
d
a
d
n
−
= −
+
−
+
+
令
0
a
d
A
−
=
，
1
a
b
d
a
d
B
−
+
=
，
1
b
b
d
C
−
=
下面证明
n
c
C
An
B
n
n
=
+
+
对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n
m
≥
时，
n
c
M
n
．
①若
0
C≥
，则取
|
|
[
] 1
M
B
m
A
−
=
+ （[ ]x 表示不等于x 的最大整数）
当n
m
≥
时，
|
|
([
] 1)
n
c
M
B
M
B
An
B
Am
B
A
B
A
B
M
n
A
A
−
−
+
+
=
+
+
+
=
≥
≥
此时命题成立．
若
0
C
，则取
|
|
[
] 1
M
C
B
m
A
−
−
=
+
当n
m
≥
时
|
|
([
] 1)
n
c
M
C
B
An
B
C
Am
B
C
A
B
C
n
A
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
≥
≥
M
C
B
B
C
M
−
−
+
+
=
≥
此时命题成立．
因此，对任意正数M ，使得当n
m
≥
时，
n
c
M
n
．
综合以上三种情况，命题得证．
33．【解析】Ⅰ
(
)因为数列
n
a
的前n 项和
n
n
Sn
8
3 2 +
=
，
所以
11
1 =
a
，当
2
n
时，
5
6
)1
(
8
)1
(
3
8
3
2
2
1
+
=
−
−
−
−
+
=
−
=
−
n
n
n
n
n
S
S
a
n
n
n
，
又
5
6 +
= n
an
对
1
=
n
也成立，所以
5
6 +
= n
an
．
又因为
n
b
是等差数列，设公差为d ，则
d
b
b
b
a
n
n
n
n
+
=
+
=
+
2
1
．
当
1
=
n
时，
d
b
−
=11
2 1
；当
2
=
n
时，
d
b
−
=17
2 2
，
解得
3
=
d
，所以数列
n
b
的通项公式为
1
3
2
+
=
−
=
n
d
a
b
n
n
．
关注微信公众号：加油高三
(
)
Ⅱ由
1
1
1
2
)
3
3
(
)
3
3
(
)
6
6
(
)
2
(
)1
(
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
c
，
于是
1
4
3
2
2
)3
3
(
2
12
2
9
2
6
+
+
+
+
+
+
=
n
n
n
T
，
两边同乘以２，得
2
1
4
3
2
)3
3
(
2
)
3
(
2
9
2
6
2
+
+
+
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
T
，
两式相减，得
2
1
4
3
2
2
)3
3
(
2
3
2
3
2
3
2
6
+
+
+
−
+
+
+
+
=
−
n
n
n
n
T
2
2
2
2
)3
3
(
2
1
)
2
1(
2
3
2
3
+
+
−
−
−
+
=
n
n
n
2
2
2
2
3
2
)3
3
(
)
2
1(
2
3
12
+
+
=
+
+
−
+
−
=
n
n
n
n
n
n
T
．
34．【解析】(Ⅰ)由题意得
2
1
n
n
n
b
a a +
=
，有
2
2
1
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
b
a
a
a a
da
+
+
+
+
+
=
−
=
−
=
，
因此
2
1
2
1
2 (
)
2
n
n
n
n
c
c
d a
a
d
+
+
+
−
=
−
=
，所以数列
n
c
是等差
．
数列
(Ⅱ)
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
2
1
2
(
)
(
)
(
)
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
−
= −
+
+ −
+
++ −
+
2
4
2
2 (
)
n
d a
a
a
=
+
++
2
2
(
)
2
2
n
n a
a
d
+
=
2
2
(
1)
d n n
=
+
．
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(1
)
2
(
1)
2
1
2
1
2
n
n
n
k
k
k
k
T
d
k k
d
k
k
d
n
d
=
=
=
=
=
−
=
−
+
+
+
．
35．【解析】（）由已知
1
1
2
n
n
s
a
a
=
−
有
(
)
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
a
s
s
a
a
n
−
−
=
−
=
−
，
即
(
)
1
2
2
n
n
a
a
n
−
=
，
从而
2
1
3
1
2
,
4
a
a a
a
=
=
．
又因为
1
2
3
,
1,
a a
a
+
成等差数列，即
1
3
2
2(
1)
a
a
a
+
=
+
．
所以
1
1
1
4
2(2
1)
a
a
a
+
=
+
，解得
1
2
a =
．
所以，数列{
}
n
a
是首项为，公比为
的等比数列．故
2
2
2n
n a =
．
（）
）得
2
由（1
1
1
2 n
n
a
=
．
所以
2
3
1
1
[1 ( ) ]
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
T
−
=
+
+
+
+
=
= −
−
．
关注微信公众号：加油高三
由
1
|
1| 1000
n T −
，得
1
1
|1
1|
2
1000
n
−
−
，即 2
1000
n
．
因为
9
10
2
512
1000
1024
2
=
=
，
所以
10
n
．
于是，使
1
|
1| 1000
n T −
成立的
的最小值为
．
n
10
36．【解析】（）由题意有，
Ⅰ
1
1
10
45
100
2
a
d
a d
+
=
=
，即
1
1
2
9
20
2
a
d
a d
+
=
=
．
解得
1
1
2
a
d
=
=
或
1
9
2
9
a
d
=
=
，故
1
2
1
2
n
n
n
a
n
b
−
=
−
=
或
1
1
(2
79)
9
2
9 ( )
9
n
n
n
a
n
b
−
=
+
=
．
（Ⅱ）由
1
d ，知
2
1
na
n
=
−，
1
2n
nb
−
=
，故
1
2
1
2
n
n
n
c
−
−
=
，于是
2
3
4
1
3
5
7
9
2
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
−
−
= +
+
+
+
+
+
，
①
2
3
4
5
1
1
3
5
7
9
2
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
T
−
=
+
+
+
+
+
+
.
②
①②
-
可得
2
2
1
1
1
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
−
−
+
=
+
+
+
+
−
=
−
，故
nT
1
2
3
6
2n
n
−
+
=
−
．
37．【解析】Ⅰ
(
)方程
2
5
6
0
x
x
−
+
=
的两根为2,3，由题意得
2
4
2,
3.
a
a
=
=
设数列
n
a
的公差为，则
d
4
2
2 ,
a
a
d
−
=
故
1 ,
2
d =
从而
1
3 ,
2
a =
所以
n
a
的通项公式为
1
1
2
n
a
n
=
+
．
（Ⅱ）设
2
n
n
a
的前
项和为
n
,
ns
由（I）知
1
2 ,
2
2
n
n
n
a
n
+
+
=
则
2
3
1
3
4
1
2
...
,
2
2
2
2
n
n
n
n
n
s
+
+
+
=
+
+
+
+
3
4
1
2
1
3
4
1
2
...
.
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
s
+
+
+
+
=
+
+
+
+
两式相减得
3
1
2
1
3
1
1
2
(
...
)
2
4
2
2
2
n
n
n
n
s
+
+
+
=
+
+
+
−
1
2
3
1
1
2
(1
)
.
4
4
2
2
n
n
n
−
+
+
=
+
−
−
所以
1
4
2
2
n
n
n
s
+
+
=
−
．
关注微信公众号：加油高三
38．【解析】Ⅰ
(
)由题设，
1
1
2
1
1,
1.
n
n
n
n
n
n
a a
S
a
a
S
+
+
+
+
=
−
=
−
两式相减得
1
2
1
(
)
.
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
−
=
由于
1
0
n
a +
，所以
2
.
n
n
a
a
+ −
=
（Ⅱ）由题设，
1
1
a =
，
1
2
1
1
a a
S
=
−，可得
2
1.
a
=
−
由Ⅰ知，
(
)
3
1.
a
=
+
令
2
1
3
2a
a
a
=
+
，解得
4.
=
故
2
4
n
n
a
a
+ −
=
，由此可得
2
1
n
a
−
是首项为，公差为
的等差数列，
1
4
2
1
4
3
n
a
n
−=
−
；
2n
a
是首项为，公差为
的等差数列，
3
4
2
4
1
n
a
n
=
−.
所以
2
1
n
a
n
=
−，
1
2
n
n
a
a
−−
=
.
因此存在
4
=
，使得数列
na
为等差数列．
39．【解析】（Ⅰ）由题意，
36
)
3
3
)(
2
(
1
1
=
+
+
d
a
d
a
，
将
1
1 =
a
代入上式得
2
=
d
或
5
−
=
d
，
因为
0
d
，所以
2
=
d
，从而
1
2 −
= n
an
，
2n
Sn =
（
N
n
）.
（Ⅱ）由（1）知，
)1
)(
1
2
(
1
+
−
+
=
+
+
+
+
+
k
k
m
a
a
a
k
n
n
n
，
所以
65
)1
)(
1
2
(
=
+
−
+
k
k
m
，
由
N
,k
m
知，
1
)1
)(
1
2
(
+
−
+
k
k
m
，
所以
=
+
=
−
+
5
1
13
1
2
k
k
m
，所以
=
=
4
5
k
m
.
40．【解析】（Ⅰ）设
na
的公差为d ，则
n
S =
1
(
1)
2
n n
na
d
−
+
．
由已知可得
1
1
1
3
3
0,
1,
1.
5
10
5,
a
d
a
d
a
d
+
=
=
= −
+
= −
解得
=2
.
n
n
a
a
n
−
故
的通项公式为
关注微信公众号：加油高三
（）由（）知
2
Ⅰ
2
1
2
1
1
1
1
1
1
(
),
(3 2 )(1 2 )
2 2
3
2
1
n
n
a
a
n
n
n
n
−
+
=
=
−
−
−
−
−
从而数列
2
1
2
1
1
n
n
n
a
a
−
+
的前项和为
1
1
1 1
1
1
1
+
+
+
)
2
1
1 1
3
2
3
2
1
1 2
n
n
n
n
−
−
−
=
−
−
−
−
（
.
41．【 解析】（Ⅰ）因为数列{
}
n
a
的公差
1
d =
，且
1
3
1,
,
a a 成等比数列，
所以
2
1
1
1 (
2)
a
a
=
+
，
即
2
1
1
2
0
a
a
−
−
=
，解得
1
1
a = −或
1
2
a =
．
（Ⅱ）因为数列{
}
n
a
的公差
1
d =
，且
5
1
9
S
a a
，
所以
2
1
1
1
5
10
8
a
a
a
+
+
；
即
2
1
1
3
10
0
a
a
+
−
，解得
1
5
2
a
−
42．【解析】（）设
Ⅰ
{
}
n
a
的公差为d ，由题意，
2
11
1 13
a
a a
=
即
(
)
(
)
2
1
1
1
10
12
a
d
a a
d
+
=
+
于是
(
)
1
2
25
0
d
a
d
+
=
所以
0
d =
（舍去），
2
d = −
故
2
27
n
a
n
= −
+
（）令
Ⅱ
1
4
7
3
2
n
n
S
a
a
a
a
−
=
+
+
++
．
由（）知
Ⅰ
3
2
6
31
n
a
n
−
= −
+
，所以
3
2
n
a
−
是首项为25，公差为6
−的等差数列，从而
(
)
2
1
3
2
3
28
2
n
n
n
S
a
a
n
n
−
=
+
= −
+
．
43．【解析】（Ⅰ）设等差数列
na
的首项为
1a ，公差为d
，
由
4
2
4
S
S
=
，
2
2
1
n
n
a
a
=
+ 得
1
1
1
1
4
6
8
4
(2
1)
2
2(
1)
1
a
d
a
d
a
n
a
n
d
+
=
+
+
−
=
+
−
+
，
解得，
1
1
a =
，
2
d =
．
关注微信公众号：加油高三
因此
2
1
n
a
n
=
−
*
(
)
n
N
．
（Ⅱ）由题意知：
1
2
n
n
n
T
−
=
−
所以
2
n
时，
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
b
T
T −
−
−
−
=
−
= −
+
故，
1
2
2
1
2
2
1
(
1)( )
2
4
n
n
n
n
n
c
b
n
−
−
−
=
=
=
−
*
(
)
n
N
所以
0
1
2
3
1
1
1
1
1
1
0 ( )
1 ( )
2 ( )
3 ( )
(
1) ( )
4
4
4
4
4
n
n
R
n
−
=
+
+
+
++
−
，
则
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
0 ( )
1 ( )
2 ( )
(
2) ( )
(
1)
( )
4
4
4
4
4
4
n
n
n
R
n
n
−
=
+
+
++
−
+
−
两式相减得
1
2
3
1
3
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
(
1) ( )
4
4
4
4
4
4
n
n
n
R
n
−
=
+
+
++
−
−
1
1
( )
1
4
4
(
1)( )
1
4
1
4
n
n
n
−
=
−
−
−
整理得
1
1
3
1
(4
)
9
4
n
n
n
R
−
+
=
−
，
所以数列
n
c
的前n 项和
1
1
3
1
(4
)
9
4
n
n
n
R
−
+
=
−
．
44．【解析】（）设等差数列
Ⅰ
{
}
n
a
的公差为d ，则
1
(
1) .
n
a
a
n
d
=
+
−
由
1
2
1,
3
1
2
3.
a
a
d
=
= −
+
= −
可得
解得d =
2
－．
从而，
1
(
1) ( 2)
3
2 .
n
a
n
n
= +
−
−
=
−
（Ⅱ）由（I）可知
3
2
n
a
n
=
−
，
所以
2
[1 (3
2 )]
2
.
2
n
n
n
S
n
n
+
−
=
=
−
进而由
2
1
35
2
35,
S
k
k
= −
−
= −
可得
即
2
2
35
0
k
k
−
−
=
，解得
7
5.
k
k
=
= −
或
又
*
,
7
k
N
k
=
故
为所求．
45．【解析】Ⅰ
(
)由题意知
6
S =
5
15
S
−
=－3,
6
6
5
a
S
S
=
−
=
8
－．
关注微信公众号：加油高三
所以
1
1
5
10
5,
5
8.
a
d
a
d
+
=
+
= −
解得
1a =7，所以
6
S =
3
－，1a =7．
（Ⅱ）因为
5
6
S S +15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15 )+15=0
d
，
即2a12+9da1+10d2+1=0．
故(4a1+9d)2=d2
－．所以
8
d2≥．
8
故
的取值范围为
d
d≤－2 2
或≥
d
2
2 ．
