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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）
数学
本试卷共10 页，19 小题，满分150 分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知
，则
（ ）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
2. 已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A. p 和q 都是真命题
B.
和q 都是真命题
C. p 和
都是真命题
D.
和
都是真命题
3. 已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 1
4. 某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并
整理如下表
亩产量
[900，
950）
[950，
1000）
[1000，
1050）
[1050，
1100）
[1100，
1150）
[1150
，
1200）
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频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确
是（ ）
A. 100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B. 100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C. 100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D. 100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
5. 已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A.
（
）
B.
（
）
C.
（
）
D.
（
）
6. 设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一
个交点，则
（ ）
A
B.
C. 1
D. 2
7. 已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角的正切值为
（ ）
A.
B. 1
C. 2
D. 3
8. 设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D. 1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分.
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9. 对于函数
和
，下列说法中正确的有（ ）
A.
与
有相同的零点
B.
与
有相同的最大值
C.
与
有相同的最小正周期
D.
与
的图象有相同的对称轴
10. 抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点
过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A
l 与
相切
B. 当P，A，B 三点共线时，
C. 当
时，
D. 满足
点
有且仅有2 个
11. 设函数
，则（ ）
A. 当
时，
有三个零点
B. 当
时，
是
的极大值点
C. 存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D. 存在a，使得点
为曲线
的对称中心
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
________.
13. 已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
_______.
14. 在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法
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在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求A．
（2）若
，
，求
的周长．
16. 已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
17. 如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点
E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
（1）证明：
；
（2）求平面PCD 与平面PBF 所成
二面角的正弦值．
18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一
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名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少投中一次，则该队进入第二
阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成绩为第
二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，
各次投中与否相互独立．
（1）若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
（2）假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19. 已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构
造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，
记
的坐标为
.
（1）若
，求
；
（2）证明：数列
是公比为
的等比数列；
（3）设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
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数学
本试卷共10 页，19 小题，满分150 分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
【1 题答案】
【答案】C
【2 题答案】
【答案】B
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】C
【5 题答案】
【答案】A
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
【答案】C
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二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分.
【9 题答案】
【答案】BC
【10 题答案】
【答案】ABD
【11 题答案】
【答案】AD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
【12 题答案】
【答案】95
【13 题答案】
【答案】
【14 题答案】
【答案】 ①. 24
. 112
②
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15 题答案】
【答案】（1）
（2）
【16 题答案】
【答案】（1）
（2）
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【19 题答案】
【答案】（1）
，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
