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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知复数z 满足
，则
（ ）
A.
B.
C. 4
D. 8
3. 双曲线
的离心率为（ ）
A
B.
C.
D.
4. 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B. 横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D. 纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
5. 已知
是公差不为零
等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A.
B.
C. 16
D. 18
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6. 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
” 是“ 对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，
则
的最小值为（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），
其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加
20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（ ）
A. 2h
B. 4h
C. 20h
D. 40h
10. 在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
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11. 已知抛物线
的顶点到焦点的距离为3，则
________．
12. 已知
，则
________；
________．
13. 已知
，且
，
.写出满足条件
一组
的值
________，
_________．
14. 某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF 是一个平面
多边形，平面
平面ABC ，平面
平面ABC ，
，
.若
，则该多面体的体积为
________．
15. 关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立
函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
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16. 在
中，
．
（1）求c 的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
17. 如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
（1）若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
（2）若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.
为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学生该题的答题数据，其中
甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计
概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名，设X 为这2 名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握
该知识点，甲校学生选择正确的概率为
，乙校学生选择正确的概率为
.设甲、乙两校高一年级
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学生掌握该知识点的概率估计值分别为
，
，判断
与
的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆
的离心率为
，椭圆E 上的点到两焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设O 为坐标原点，点
在椭圆E 上，直线
与直线
，
分别交于点A，B．设
与
的面积分别为
，比较
与
的大小．
20. 已知函数
的定义域是
，导函数
，设
是曲线
在
点
处的切线．
（1）求
的最大值；
（2）当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线
的上方；
（3）设过点A 的直线
与直线
垂直，
，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的取值范围．
21. 已知集合
，从M 中选取n 个不同的元素组成一个
序列：
，其中
称为该序列的第i 项
，若该序列的相邻
项
满足：
或
，则称该序列为K 列．
（1）对于第1 项为
的K 列，写出它的第2 项．
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（2）设
为K 列，且
中
项
满足：当i 为奇数时，
：当i 为偶
数时，
.判断
，
能否同时为
中的项，并说明理由；
（3）证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
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数学
本试卷共12 页，150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
【1 题答案】
【答案】D
【2 题答案】
【答案】B
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】A
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】C
【7 题答案】
【答案】A
【8 题答案】
【答案】C
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】D
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第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
【11 题答案】
【答案】
【12 题答案】
【答案】 ①.
.
②
【13 题答案】
【答案】 ①.
（答案不唯一） ②.
（答案不唯一）
【14 题答案】
【答案】
【15 题答案】
【答案】②③
三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16 题答案】
【答案】（1）6 （2）答案见解析
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）
，
（3）
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【19 题答案】
【答案】（1）
（2）
【20 题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【21 题答案】
【答案】（1）
或
（2）不能，理由见解析
（3）证明过程见解析
